Corrigé du Contrôle Continu no 2

MAT404 - Ann´ee universitaire 2016-2017
Math´ematiques
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Corrig´e du Contrˆole Continu no2 - 17/03/2017
Exercice 1.
Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin´eaires ? Sont-elles sym´etriques ?
1. φ :R2×R2→R, φ x1
x2,y1 y2=x1y2+x2y2.
2. φ :C2×C2→C, φ x1
x2,y1 y2=ix1y2+ix2x1.
3. φ :C([0,1],C)×C([0,1],C)→C, φ(f, g) = Z1
0
f(x)g(1 −x)dx.
Corrig´e de l’Exercice 1. Voir TD.
Exercice 2.
1. On consid`ere la forme bilin´eaire suivante 1
φ:R3×R3→R, φ 
x1
x2
x3
,
y1
y2
y3
=x1y2+ 2x2y1+x2y3+ 5x3y2.
Calculer la matrice de φdans la base canonique de R3, donner son rang et calculer son noyau.
2. On consid`ere la forme bilin´eaire sym´etrique suivante 2
φ:R2[X]×R2[X]→R, φ(P, Q) = Z1
−1
P(x)Q(−x)dx.
D´eterminer l’orthogonal pour φdu sous-espace vectoriel Wde R2[X] d´efini par W= Vect(X), et
en donner une base et la dimension.
Corrig´e de l’Exercice 2.
1. On trouve par des calculs directs que la matrice Mde φdans la base canonique de R3est
donn´ee par
M=
0 1 0
2 0 1
0 5 0
.
1. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilin´eaire.
2. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilin´eaire sym´etrique.
1

Puisque la troisi`eme colonne est ´egale `a deux fois la premi`ere, le rang de Mest inf´erieur ou ´egal `a
deux. Et puisque les deux premiers vecteurs sont lin´eairement ind´ependants, on en d´eduit que le
rang de Mest ´egal `a deux.
Calculons le noyau de M: le vecteur X=
x1
x2
x3
appartient au noyau si et seulement si MX = 0,
soit 
x2= 0
2x1+x3= 0
5x2= 0
ce qui aboutit `a X=x1
1
0
−2
. Ainsi KerMest de dimension un (ce que l’on savait d´ej`a d’apr`es
le th´eor`eme du rang) et c’est la droite vectorielle engendr´ee par 
1
0
−2
.
2. On a par d´efinition
W⊥φ={P∈R2[X]; φ(P, w) = 0,∀w∈W}.
Puisque W= Vect(X), on en d´eduit que P=a+bX +cX2appartient `a W⊥φsi et seulement si
Z1
−1
(a+bx +cx2)(−x)dx = 0
soit, en utilisant le fait que les int´egrales de monˆomes de degr´e impair sont nulles :
b= 0.
Ainsi P=a+cX2et on conclut que W⊥φ= Vect(1, X2) est de dimension deux.
Exercice 3.
1. Soit M∈Mn(R). Montrer que Ms’´ecrit de fa¸con unique comme la somme d’une matrice M1
sym´etrique et d’une matrice M2antisym´etrique 3.Indication : on pourra ´ecrire tMen fonction de
M1et M2.
2. Soit φ:Rn×Rn→Rune forme bilin´eaire. Montrer que φs’´ecrit de fa¸con unique comme
somme d’une forme bilin´eaire φ1symm´etrique et d’une forme bilin´eaire φ2antisym´etrique 4
Corrig´e de l’Exercice 3.
1. Supposons qu’il existe M1et M2respectivement sym´etrique et antisym´etrique telles que
M=M1+M2. Alors n´ecessairement, tM=tM1+tM2=M1−M2. Ainsi, on trouve M1et M2
explicitement en fonction de M:
M1=1
2(M+tM)
M2=1
2(M−tM).
3. C’est-`a-dire telle que tM2=−M2.
4. C’est-`a-dire telle que φ2(y, x) = −φ2(x, y) pour tout (x, y)∈Rn×Rn.
2

R´eciproquement, si M1et M2sont d´efinies comme ci-dessus, elles sont bien respectivement sym´etrique
et antisym´etrique et on a bien M=M1+M2. Ce couple convient donc, et c’est l’unique possible.
2. On s’inspire du raisonnement de la question pr´ec´edente : si φ(x, y) = φ1(x, y) + φ2(x, y) pour
tout (x, y)∈Rn×Rn, avec φ1sym´etrique et φ2antisym´etrique, alors n´ecessairement φ(y, x) =
φ1(y, x) + φ2(y, x) = φ1(x, y)−φ2(x, y). Ainsi, on trouve
φ1(x, y) = 1
2(φ(x, y) + φ(y, x))
φ2(x, y) = 1
2(φ(x, y)−φ(y, x)).
R´eciproquement, si φ1et φ2sont d´efinies comme ci-dessus alors le couple (φ1, φ2) convient. C’est
donc l’unique possible.
Remarque. On peut aussi passer par les matrices des formes bilin´eaires, en remarquant que φ
est sym´etrique (resp. antisym´etrique) si et seulement si sa matrice dans toute base l’est.
3