Corrigé du Contrôle Continu no 2

MAT404 - Année universitaire 2016-2017
Mathématiques
Durée : une heure
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Corrigé du Contrôle Continu no 2 - 17/03/2017
Exercice 1.
Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilinéaires ? Sont-elles symétriques ?
x1
y
2
2
1. φ : R × R → R, φ
, 1
= x1 y2 + x2 y2 .
x2
y2
y
x1
2
2
= ix1 y2 + ix2 x1 .
, 1
2. φ : C × C → C, φ
y2
x2
Z 1
3. φ : C([0, 1], C) × C([0, 1], C) → C, φ(f, g) =
f (x)g(1 − x) dx.
0
Corrigé de l’Exercice 1. Voir TD.
Exercice 2.
1. On considère la forme bilinéaire suivante 1
   
x1
y1
3
3




x2 , y2  = x1 y2 + 2x2 y1 + x2 y3 + 5x3 y2 .
φ : R × R → R, φ
x3
y3
Calculer la matrice de φ dans la base canonique de R3 , donner son rang et calculer son noyau.
2. On considère la forme bilinéaire symétrique suivante 2
Z
φ : R2 [X] × R2 [X] → R, φ(P, Q) =
1
P (x)Q(−x) dx.
−1
Déterminer l’orthogonal pour φ du sous-espace vectoriel W de R2 [X] défini par W = Vect(X), et
en donner une base et la dimension.
Corrigé de l’Exercice 2.
1. On trouve par des calculs directs que la matrice M de φ dans la base canonique de R3 est
donnée par


0 1 0
M = 2 0 1 .
0 5 0
1. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilinéaire.
2. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilinéaire symétrique.
1
Puisque la troisième colonne est égale à deux fois la première, le rang de M est inférieur ou égal à
deux. Et puisque les deux premiers vecteurs sont linéairement indépendants, on en déduit que le
rang de M est égal à deux.
 
x1

Calculons le noyau de M : le vecteur X = x2  appartient au noyau si et seulement si M X = 0,
x3
soit


x 2 = 0
2x1 + x3 = 0


5x2 = 0
 
1

ce qui aboutit à X = x1 0 . Ainsi KerM est de dimension un (ce que l’on savait déjà d’après
−2
 
1
le théorème du rang) et c’est la droite vectorielle engendrée par  0 .
−2
2. On a par définition
W ⊥φ = {P ∈ R2 [X]; φ(P, w) = 0,
∀w ∈ W } .
Puisque W = Vect(X), on en déduit que P = a + bX + cX 2 appartient à W ⊥φ si et seulement si
Z 1
(a + bx + cx2 )(−x) dx = 0
−1
soit, en utilisant le fait que les intégrales de monômes de degré impair sont nulles :
b = 0.
Ainsi P = a + cX 2 et on conclut que W ⊥φ = Vect(1, X 2 ) est de dimension deux.
Exercice 3.
1. Soit M ∈ Mn (R). Montrer que M s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice M1
symétrique et d’une matrice M2 antisymétrique 3 . Indication : on pourra écrire t M en fonction de
M1 et M2 .
2. Soit φ : Rn × Rn → R une forme bilinéaire. Montrer que φ s’écrit de façon unique comme
somme d’une forme bilinéaire φ1 symmétrique et d’une forme bilinéaire φ2 antisymétrique 4
Corrigé de l’Exercice 3.
1. Supposons qu’il existe M1 et M2 respectivement symétrique et antisymétrique telles que
M = M1 + M2 . Alors nécessairement, t M =t M1 +t M2 = M1 − M2 . Ainsi, on trouve M1 et M2
explicitement en fonction de M :


M1 = 1 (M +t M )
2
1

M2 = (M −t M ).
2
3. C’est-à-dire telle que t M2 = −M2 .
4. C’est-à-dire telle que φ2 (y, x) = −φ2 (x, y) pour tout (x, y) ∈ Rn × Rn .
2
Réciproquement, si M1 et M2 sont définies comme ci-dessus, elles sont bien respectivement symétrique
et antisymétrique et on a bien M = M1 + M2 . Ce couple convient donc, et c’est l’unique possible.
2. On s’inspire du raisonnement de la question précédente : si φ(x, y) = φ1 (x, y) + φ2 (x, y) pour
tout (x, y) ∈ Rn × Rn , avec φ1 symétrique et φ2 antisymétrique, alors nécessairement φ(y, x) =
φ1 (y, x) + φ2 (y, x) = φ1 (x, y) − φ2 (x, y). Ainsi, on trouve


φ1 (x, y) = 1 (φ(x, y) + φ(y, x))
2
1

φ2 (x, y) = (φ(x, y) − φ(y, x)).
2
Réciproquement, si φ1 et φ2 sont définies comme ci-dessus alors le couple (φ1 , φ2 ) convient. C’est
donc l’unique possible.
Remarque. On peut aussi passer par les matrices des formes bilinéaires, en remarquant que φ
est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si sa matrice dans toute base l’est.
3