Questions préliminaires Un maximum sur On(R)

Lyc´ee Thiers - MP Devoir maison 9 2016-17
Notations et rappels
Soit nun entier sup´erieur `a 1. On d´esigne par diag(α1,··· , αn) la matrice diagonale
de Mn(R) dont les coefficients diagonaux sont les r´eels α1,··· , αndans cet ordre.
Si M∈ Mn(R), on note t Msa transpos´ee.
On munit l’espace vectoriel E=Rndu produit scalaire canonique not´e h | i et de la
norme euclidienne k k associ´ee. On note S(E) le sous-espace des endomorphismes
sym´etriques de E, c’est-`a-dire l’ensemble des endomorphismes sde Ev´erifiant :
∀(x, y)∈E2,hs(x)|yi=hx|s(y)i.
Un endomorphisme sym´etrique sde Eest dit sym´etrique positif (respectivement
sym´etrique d´efini positif) si :
∀x∈E, hs(x)|xi ≥ 0 (respectivement ∀x∈E\ {0},hs(x)|xi>0).
Une matrice Sde Mn(R) est dite sym´etrique positive (respectivement sym´etrique
d´efinie positive) si :
∀X∈ Mn,1(R),t XSX ≥0 (respectivement ∀X∈ Mn,1(R)\ {0},t XSX > 0).
On note S+
n(R) (respectivement S++ n(R)) l’ensemble des matrices sym´etriques posi-
tives (respectivement sym´etriques d´efinies positives) de Mn(R).
On rappelle qu’un endomorphisme sde Eest sym´etrique (respectivement sym´etrique
positif, sym´etrique d´efini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base
orthonorm´ee de Eest sym´etrique (respectivement sym´etrique positive, sym´etrique
d´efinie positive).
On admet que, pour tous r´eels positifs a1,··· , an,
n
Y
i=1
ai!1/n ≤1
n
n
X
i=1
ai(in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique).
Objectif du probl`eme
On se donne une matrice Sde S+
n(R) (ou S++ n(R)) et on ´etudie le maximum (ou
minimum) de la forme lin´eaire A7→ Tr(AS) sur des ensembles de matrices.
Questions pr´eliminaires
1.
1.a Enoncer (sans d´emonstration) le th´eor`eme de r´eduction des endomor-
phismes sym´etriques de l’espace euclidien Eet sa version relative aux ma-
trices sym´etriques r´eelles.
1.b Toute matrice sym´etrique `a coefficients complexes est-elle n´ecessairement
diagonalisable ? On pourra par exemple consid´erer la matrice de M2(C) :
S=i1
1−i.
2. Soit s∈ S(E), de valeurs propres (r´eelles) λ1,··· , λnrang´ees dans l’ordre crois-
sant :
λ1≤λ2≤ ··· ≤ λn.
Soit β= (1,··· , n) une base orthonorm´ee de Etelle que, pour tout i∈
{1,··· , n},iest un vecteur propre associ´e `a la valeur propre λi. Pour tout
vecteur xde E, on pose :
Rx(x) = hs(x)|xi.
2.a Exprimer Rs(x) `a l’aide des λiet des coordonn´ees de xdans la base β.
2.b En d´eduire l’inclusion : Rs(S(0,1)) ⊂[λ1, λn] o`u S(0,1) d´esigne la sph`ere
unit´e de E.
3.
3.a On suppose dans cette question que sest sym´etrique positif (respectivement
sym´etrique d´efini positif). D´emontrer que les valeurs propres de ssont
toutes positives (respectivement strictement positives).
3.b Soit S= (si,j )∈ S+
n(R), de valeurs propres λ1,··· , λnrang´ees dans l’ordre
croissant :
λ1≤λ2≤ ··· ≤ λn.
On note sl’endomorphisme de Erepr´esent´e par Sdans la base canonique
B= (e1,··· , en). Exprimer le terme g´en´eral si,j de Scomme un produit
scalaire et d´emontrer que :
∀i∈ {1,··· , n}λ1≤si,i ≤λn.
Un maximum sur On(R)
On note Inla matrice unit´e de Mn(R) et On(R) le groupe des matrices orthog-
onales de Mn(R).
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4. D´emontrer que l’application M7→ t MM −Inest continue de Mn(R) dans
Mn(R).
5. Justifier que, si A= (ai,j ) est une matrice orthogonale, alors :
∀(i, j)∈ {1,··· , n}2|ai,j | ≤ 1.
6. En d´eduire que le groupe orthogonal On(R) est une partie compacte de Mn(R).
7. Soit S∈ S+
n(R), de valeurs propres (positives) λ1,··· , λn. On pose ∆ =
diag(λ1,··· , λn).
Si Aest une matrice orthogonale, on note T(A) le nombre r´eel T(A) = Tr(AS).
7.a Soit A∈ On(R). D´emontrer qu’il existe une matrice orthogonale Btelle
que :
T(A) = Tr(B∆).
7.b D´emontrer que l’application Tde On(R) dans Radmet un maximum sur
On(R)
que l’on notera t.
7.c D´emontrer que, pour toute matrice orthogonale Ade On(R), T(A)≤Tr(S),
puis d´eterminer le r´eel t.
In´egalit´e d’Hadamard
Soit S= (si,j )∈ S+
n(R), de valeurs propres (r´eelles positives) λ1,··· , λnrang´ees
dans l’ordre croissant :
0≤λ1≤λ2≤ ··· ≤ λn.
8. D´emontrer l’in´egalit´e valable pour tout S∈ S+
n(R) :
det(S)≤1
nTr(S)n
(∗).
9. Soit α= (α1,··· , αn)∈Rn,D= diag(α1,··· , αn) et Sα=t DSD. D´emontrer
que Sα∈ S+
n(R) et calculer Tr(Sα).
10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonaux si,i de Ssont
strictement positifs et, pour 1 ≤i≤n, on pose αi=1
√si,i
. En utilisant
l’in´egalit´e (∗), d´emontrer que :
det(S)≤
n
Y
i=1
si,i.
11. Pour tout r´eel ε > 0, on pose Sε=S+εIn. D´emontrer que det(Sε)≤
n
Y
i=1
(si,i+ε),
puis conclure que :
n
Y
i=1
λi≤
n
Y
i=1
si,i (in´egalit´e d’Hadamard).
Application de l’in´egalit´e d’Hadamard : d´etermination
d’un minimum
Soit S∈ S++
n(R), de valeurs propres 0 < λ1≤ ··· ≤ λn, et ∆ =
diag(λ1, . . . , λn). Soit Ω ∈ On(R) telle que S= Ω∆ t Ω. On d´esigne par U
l’ensemble des matrices de S++
n(R) de d´eterminant ´egal `a 1.
12. D´emontrer que, pour tout A∈ U, la matrice B=t ΩAΩ est une matrice de U
v´erifiant :
Tr(AS) = Tr(B∆).
13. D´emontrer que {Tr(AS)\A∈ U} ={Tr(B∆) \B∈ U}, puis que ces ensembles
admettent une borne inf´erieure que l’on notera m.
14. D´emontrer que, si B= (bi,j )∈ U :
Tr(B∆) ≥n(λ1···λn)1/n(b1,1···bn,n)1/n.
15. En d´eduire que, pour B= (bi,j )∈ U, Tr(B∆) ≥n(det(S))1/n.
16. Pour tout entier ktel que 1 ≤k≤n, on pose µk=1
λk
(det(S))1/n et D=
diag(µ1,··· , µn).
D´eterminer le r´eel m.
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