fonctions

1re ST I
Ch05 : Fonctions
2006/2007
FONCTIONS
Table des matières
I
Rappels
I.1 Courbe représentative d’une fonction . . . . . . . . . .
I.2 Lecture d’une image ou d’un antécédent à partir d’une
I.3 Fonction croissante et décroissante . . . . . . . . . . .
I.4 Tableau de variations d’une fonction . . . . . . . . . .
I.5 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6 Tableau de signes d’une fonction . . . . . . . . . . . .
II Fonctions de référence
II.1 Graphique . . . . . . . .
II.2 Fonction affine . . . . .
II.3 Fonction carré . . . . . .
II.4 Fonction inverse . . . .
II.5 Fonction cube . . . . . .
II.6 Fonction racine carrée .
II.7 Fonction valeur absolue
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
courbe
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
3
4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
6
6
7
7
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III Fonction composée
8
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆ ⋆
→
→
Dans tout le chapitre, on munit le plan d’un repère (O; −
ı ;−
)
I
I.1
Rappels
Courbe représentative d’une fonction
Pour tracer la courbe représentative d’un fonction, on commence par faire un tableau de valeurs, puis
on place chacun des points dans un repère
Exemple 1
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f (x) =
5x
+1
x2
➔ On commence par compléter un tableau de valeurs :
x
−3
−2, 5
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0, 5
1
1, 5
2
f (x)
−1, 5
−1, 7
−2
−2, 3
−2, 5
−2
0
2
2, 5
2, 3
2
http://nathalie.daval.free.fr
-1-
1re ST I
Ch05 : Fonctions
2006/2007
➔ Puis on place les points M (x; f (x)) dans le repère ci-dessous :
3
2
Cf
1
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
−3

➔ Le point de coordonnées 
I.2
10

 n’est pas sur la courbe représentative de la fonction f car f (10) = 0, 495 6= 0, 5
0, 5
Lecture d’une image ou d’un antécédent à partir d’une courbe
Lire l’image d’un nombre :
Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre
2
2
1
1
−1
−1
1
2
3
4
−1
−1
−2
−2
−3
−3
1
2
3
4
on place x sur l’axe des abscisses
on trace une horizontale passant par cette
on se déplace verticalement pour rencontrer Cf
valeur
on lit f (x) sur l’axe des ordonnées
à partir des points d’intersection, on se déplace
verticalement vers l’axe des abscisses pour lire
les antécédents
L’image de 1 par f est −2
Les antécédents de 1 par f sont 0 et 4
http://nathalie.daval.free.fr
-2-
1re ST I
I.3
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Fonction croissante et décroissante
Définition 1
➤ On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et
x2 dans I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≤ f (x2 )
➤ On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1
et x2 dans I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≥ f (x2 )
Donner les variations d’une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis
sur quels intervalles la fonction est décroissante
4
Cf
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
Exemple 2
➔ Cette fonction f est croissante sur [ −3; 2 ] et sur [ 5; 7 ], décroissante sur [ −5; −3 ] et sur [ 2; 5 ]
➔ On peut écrire : f croissante sur [ −3; 2 ] ∪ [ 5; 7 ], décroissante sur [ −5; −3 ] ∪ [ 2; 5 ]
I.4
Tableau de variations d’une fonction
Le tableau de variations d’une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction
Exemple 3
Le tableau de variations de la fonction f est :
x
−5
−3
2
4
f (x)
7
4
ց
ր
−1
http://nathalie.daval.free.fr
5
0
ց
ր
−2
-3-
1re ST I
I.5
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Extremum d’une fonction
Définition 2
➤ On dit que la fonction f admet un maximum M sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel
que soit le réel x dans I, on a f (x) ≤ f (x0 ) = M
➤ On dit que la fonction f admet un minimum m sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que
soit le réel x dans I, on a f (x) ≥ f (x0 ) = m
Exemple 4
➔ Le maximum de f sur [ −5; 7 ] est M = 2, atteint pour x = −5 et x = 2
➔ Le minimum de f sur [ −5; 7 ] est m = −2, atteint pour x = 5
Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle !
Par exemple, le minimum de f sur [ −5; 2 ] est m = −1, atteint pour x = −3
I.6
Tableau de signes d’une fonction
On réuni au sein d’un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction
f , c’est à dire sa position par rapport à l’axe des abscisses
Exemple 5
Le tableau de signes de la fonction f est :
−5
x
signe de f (x)
II
−4
+
0
−1
−
0
+
4
7
0 −
0
Fonctions de référence
II.1
Graphique
f (x) = |x|
f (x) =
−8
−7
1
x
−6
−5
f (x) = x2
8
7
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
f (x) = x3
http://nathalie.daval.free.fr
−1−1
−2
−3
−4
−5
f (x) =
1
2
3
4
5
6
7
√
x
8
-4-
1re ST I
II.2
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Fonction affine
Définition 3
Soient a et b deux réels. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine
Remarque 1
• Si b = 0, la fonction f définie par f (x) = ax est une fonction linéaire
• Si a = 0, la fonction f définie par f (x) = b est une fonction constante
Propriété 1
Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b, alors :
♦ Si a > 0, f est croissante sur R
♦ Si a < 0, f est décroissante sur R
♦ Si a = 0, f est constante sur R
Exemple 6
➔ La fonction f définie par f (x) = 3x + 2 est croissante
➔ La fonction f définie par f (x) = −2x + 3 est décroissante
➔ La fonction f définie par f (x) = 5 est constante
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite
d3
d1
1
0
1
d2
Représentation graphique des fonctions f1 , f2 et f3 d’équations :
• f1 (x) = x + 1
• f2 (x) = −2
• f3 (x) = −2x
http://nathalie.daval.free.fr
-5-
1re ST I
II.3
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Fonction carré
Définition 4
La fonction définie sur R par x 7−→ x2 s’appele la fonction carré
Propriété 2
La fonction carré est strictement décroissante sur −∞0 et strictement croissante sur 0+∞
−∞
x
0
+∞
+∞
Tableau de variations :
+∞
ց
f
ր
0
→
→
Dans un repère (O; −
ı ;−
 ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O
Remarque 2
Cette parabole admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire.
II.4
Fonction inverse
Définition 5
1
La fonction définie sur R∗ = ] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [ par x 7−→ est appelée fonction inverse
x
Propriété 3
La fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [
x
−∞
0
0
Tableau de variations :
f
+∞
+∞
ց
ց
−∞
0
→
→
Dans un repère (O; −
ı ;−
 ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre O
Remarque 3
Cette hyperbole admet l’origine O du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction
impaire
http://nathalie.daval.free.fr
-6-
1re ST I
II.5
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Fonction cube
Définition 6
La fonction définie sur R par f : x 7−→ x3 est appelée fonction cube
La fonction cube est strictement croissante sur
R et impaire
La courbe représentant la fonction cube dans un
repère orthogonal est appelée cubique
x
−∞
0
+∞
0
f
ր
ր
−∞
II.6
+∞
Fonction racine carrée
Définition 7
√
La fonction définie sur R+ = 0+∞ par f : x 7−→ x est appelée fonction racine carrée
x
0
+∞
+∞
La fonction racine carrée est strictement croissante sur 0+∞
ր
f
0
II.7
Fonction valeur absolue
Définition 8
La fonction définie sur R par f : x 7−→ |x| est appelée fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur −∞0 et strictement croissante sur
0+∞
La courbe représentatve de la fonction valeur
absolue est une fonction affine par morceaux
http://nathalie.daval.free.fr
x
−∞
0
+∞
+∞
f
+∞
ց
ր
0
-7-
1re ST I
III
Ch05 : Fonctions
2006/2007
Fonction composée
Définition 9
Soient f et g deux fonctions, la fonction h qui a x associe g(f (x)), est notée g ◦ f et est appelé
composée de f suivie de g
Exemple 7
Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = −x + 1, et g la fonction définie sur R par g(x) = x2
Déterminer l’image du nombre 3 par la fonction h, composée de f suivie de g, puis donner l’expression générale de h
en fonction de x
f
g
➔ 3 7−→ f (3) = −3 + 1 = −2 7−→ g(−2) = (−2)2 = 4
Ainsi, on a h(3) = g(f (3)) = 4.
f
g
➔ x 7−→ f (x) = −x + 1 7−→ g(−x + 1) = (−x + 1)2
Ainsi, on a h(x) = g(f (x)) = (−x + 1)2
Remarque 4
En général la fonction f suivie de g n’est pas égale à la fonction g suivie de f
Exemple 8
On a vu que la fonction composée de f suivie de g de l’exemple précédent est définie par g(f (x)) = (x − 1)2
Par contre, la fonction composée de g suivie de f est différente :
g
f
➔ x 7−→ g(x) = x2 7−→ f (x2 ) = −x2 + 1
➔ Ainsi, on a f (g(x)) = −x2 + 1 et on peut constater que f (g(x)) 6= g(f (x)
Propriété 4
♦ La composée de deux fonctions croissantes ou décroissantes est croissante
♦ La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissantes est décroissante
Exemple 9
Si on reprend les fonctions f et g précedentes, alors :
➔ Sur R+ , f est décroissante et g est croissante, la composée est donc décroisante.
➔ Sur R− , f et g sont toutes deux décroissantes, la composée est donc croisante
http://nathalie.daval.free.fr
-8-