Exercice 5

DS n°8 – 2nde4 – 2010/2011 - Correction
Exercice 1
1) a = 30, donc f est décroissante sur ]-∞ ; 4] et croissante sur [4 ; +∞[. Elle a un minimum qui est 2.
2) a = 20, donc f est décroissante sur ]-∞ ; -1] et croissante sur [-1 ; +∞[. Elle a un minimum qui est -5.
3) a = -10, donc f est croissante sur ]-∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[. Elle a un maximum qui est 6.
4) a = -10, donc f est croissante sur ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[. Elle a un maximum qui est 7.
Exercice 2
1) Voir graphique. 2) Les points M, N et P se placent en mettant « bout à bout » les vecteurs. Pour Q, il faut
d’abord effectuer la transformation suivante :  - - - -
Exercice 3
1) a = -20, α = 1, β = 7.
x
-∞ 1 +∞
f
7
2) Voir graphique en fin de corrigé.
x
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
f(x)
-17,5
-11
-5,5
-1
2,5
5
6,5
7
6,5
5
2,5
-1
-5,5
-11
-17,5
3) Graphiquement : 
f(x) = -1  -2(x-1)²+7 = -1  -2(x-1)²+8 = 0  -2[(x-1)²-4] = 0  -2(x-1-2)(x-1+2) = 0
 -2(x-3)(x+1) = 0  x-3 = 0 ou x+1 = 0  x = 3 ou x = -1, donc .
4) a) On remarque que :
-2(5,26-1)²+7 = f(5,26) et -2(3,47-1)²+7 = f(3,47)
Or : 5,26  3,47  1 et f est décroissante sur [1 ; +∞[, donc : f(5,26)  f(3,47)  f(1)
c'est-à-dire : -2(5,26-1)²+7  -2(3,47-1)²+7
b) On remarque que :
-2(-3,1)²+7 = f(-2,1) et -2(-3,4)²+7 = f(-2,4)
Or : 1  -2,1  -2,4 et f est croissante sur ]-∞ ; 1], donc : f(1)  f(-2,1) f(-2,4)
c'est-à-dire : -2(-3,1)²+7  -2(-3,4)²+7

Exercice 4
1- Voir graphique ci contre.
2-  (D’après la relation de Chasles)
(D’après les hypothèses de l’énoncé)
 (D’après la relation de Chasles)
Donc  et  sont colinéaires et les points O, B et D
sont alignés.
Exercice 5
MN
2 ; 6 donc 1
2MN
(1;3)
Si on note x;yles coordonnées de A : NA (x-2;y-3)
Donc NA =1
2MN
x-2=1
y-3=3x=
y=6, et donc A(,6).
MQ
-1 ; 2 donc MQ
(-3;6)
Si on note x;yles coordonnées de B : MB (x;y+3)
Donc MB =3MQ  x=-3
y+3=6x= y=3, et donc B(,3).
2) En utilisant les formules, on trouve : PA
12 ; 6 et PB 6 ; 3.
3) On a PA = 2PB donc PA et PB sont colinéaires, donc A, B et P sont alignés.
Exercice 6
1) 2(x-9)(x-5) = (2x-18)(x-5) = 2x²-10x-18x+90 = 2x²-28x+90.
Les expressions (1) et (2) sont donc égales.
2(x-7)²-8 = 2(x²-14x+49)-8 = 2x²-28x+98-8 = 2x²-28x+90.
Les expressions (2) et (3) sont donc égales.
2)
a. Calculer f(0) = 90 (avec la forme développée(2)).
b. Calculer f(7) = -8 (avec la forme canonique (3)).
c. Calculer f(9) = 0 (avec la forme factorisée (1)).
d. f(x) = 0  x = 9 ou x = 5 (avec la forme factorisée (1)).
e. f(x) = 90  2x²-28x+90 = 90  2x²-28x = 0  x(2x-28)
= 0  x = 0 ou x = 14. Donc les antécédents de 90 par f sont 0
et 14.