Exercice 5

DS n°8 – 2nde4 – 2010/2011 - Correction
Exercice 1
1) a = 3>0, donc f est décroissante sur ]-∞ ; 4] et croissante sur [4 ; +∞[. Elle a un minimum qui est 2.
2) a = 2>0, donc f est décroissante sur ]-∞ ; -1] et croissante sur [-1 ; +∞[. Elle a un minimum qui est -5.
3) a = -1<0, donc f est croissante sur ]-∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[. Elle a un maximum qui est 6.
4) a = -1<0, donc f est croissante sur ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[. Elle a un maximum qui est 7.
Exercice 2
1) Voir graphique. 2) Les points M, N et P se placent en mettant « bout à bout » les vecteurs. Pour Q, il faut
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 ⟺AQ
⃗⃗⃗⃗⃗ -3BA
⃗⃗⃗⃗⃗ -3AQ
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 ⟺-2AQ
⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺
d’abord effectuer la transformation suivante : ⃗⃗⃗⃗⃗
AQ-3BQ
3
⃗⃗⃗⃗⃗ = AB
⃗⃗⃗⃗⃗ .
AQ
2
Exercice 3
1) a = -2<0, α = 1, β = 7.
x
-∞
1
7
+∞
f
2) Voir graphique en fin de corrigé.
x
f(x)
-2,5
-17,5
-2
-11
-1,5
-5,5
-1
-1
-0,5
2,5
0
5
0,5
6,5
1
7
1,5
6,5
2
5
2,5
2,5
3
-1
3,5
-5,5
3) Graphiquement : 𝑺 = {−𝟏 ; 𝟑}.
f(x) = -1 ⟺ -2(x-1)²+7 = -1 ⟺ -2(x-1)²+8 = 0 ⟺ -2[(x-1)²-4] = 0 ⟺ -2(x-1-2)(x-1+2) = 0
⟺ -2(x-3)(x+1) = 0 ⟺ x-3 = 0 ou x+1 = 0 ⟺ x = 3 ou x = -1, donc 𝑺 = {−𝟏 ; 𝟑}..
4) a) On remarque que :
-2(5,26-1)²+7 = f(5,26) et -2(3,47-1)²+7 = f(3,47)
Or : 5,26 > 3,47 > 1 et f est décroissante sur [1 ; +∞[, donc : f(5,26) < f(3,47) < f(1)
c'est-à-dire : -2(5,26-1)²+7 < -2(3,47-1)²+7
b) On remarque que :
-2(-3,1)²+7 = f(-2,1) et -2(-3,4)²+7 = f(-2,4)
Or : 1 > -2,1 > -2,4 et f est croissante sur ]-∞ ; 1], donc :
c'est-à-dire : -2(-3,1)²+7 > -2(-3,4)²+7
f(1) > f(-2,1) > f(-2,4)
4
-11
4,5
-17,5
Exercice 4
1- Voir graphique ci contre.
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC
⃗⃗⃗⃗⃗ +CD
⃗⃗⃗⃗⃗ (D’après la relation de Chasles)
2- OD
⃗⃗⃗⃗⃗ +4AB
⃗⃗⃗⃗⃗ (D’après les hypothèses de l’énoncé)
=4OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +AB
⃗⃗⃗⃗⃗ )
=4(OA
⃗⃗⃗⃗⃗
=4OB (D’après la relation de Chasles)
Donc ⃗⃗⃗⃗⃗
OD et ⃗⃗⃗⃗⃗
OB sont colinéaires et les points O, B et D
sont alignés.
Exercice 5
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1;3)
MN
2
Si on note (x;y)les coordonnées de A : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
NA(x-2;y-3)
x-2 = 1
x=3
1
Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
NA= 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MN ⟺ {
⟺{
, et donc A(3,6).
y=6
y-3 = 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2 ; 6) donc
1) a) MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (-3;6)
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MQ(-1 ; 2) donc 3MQ
Si on note (x;y)les coordonnées de B : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MB(x;y+3)
x
=
-3
x
=
-3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ {
Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
MB=3MQ
⟺{
, et donc B(-3,3).
y+3 = 6
y=3
2) En utilisant les formules, on trouve : ⃗⃗⃗⃗⃗
PA(12 ; 6) et ⃗⃗⃗⃗⃗
PB(6 ; 3).
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2PB
⃗⃗⃗⃗⃗ et PB
⃗⃗⃗⃗⃗ donc PA
⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires, donc A, B et P sont alignés.
3) On a PA
Exercice 6
1) 2(x-9)(x-5) = (2x-18)(x-5) = 2x²-10x-18x+90 = 2x²-28x+90.
Les expressions (1) et (2) sont donc égales.
2(x-7)²-8 = 2(x²-14x+49)-8 = 2x²-28x+98-8 = 2x²-28x+90.
Les expressions (2) et (3) sont donc égales.
2)
a. Calculer f(0) = 90 (avec la forme développée(2)).
b. Calculer f(7) = -8 (avec la forme canonique (3)).
c. Calculer f(9) = 0 (avec la forme factorisée (1)).
d. f(x) = 0 ⟺ x = 9 ou x = 5 (avec la forme factorisée (1)).
e. f(x) = 90 ⟺ 2x²-28x+90 = 90 ⟺ 2x²-28x = 0 ⟺ x(2x-28)
= 0 ⟺ x = 0 ou x = 14. Donc les antécédents de 90 par f sont 0
et 14.