Rappels de seconde sur les fonctions

Tale ES : pourAurore...
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Rappels de seconde sur les fonctions
Table des matières
I
Vocabulaire des fonctions
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Tableau de valeurs d’une fonction . .
I.3 Courbe représentative d’une fonction
I.4 Sens de variation d’une fonction . . .
I.5 Tableau de variations d’une fonction
I.6 Extremum d’une fonction . . . . . .
I.7 Tableau de signes d’une fonction . .
II Fonctions de références
II.1 Fonction affine . . . . . .
II.2 Fonction carré . . . . . . .
II.3 Fonction inverse . . . . .
II.4 Fonction cube . . . . . . .
II.5 Fonction racine carrée . .
II.6 Fonction valeur absolue .
II.7 Représentation graphique
http://nathalie.daval.free.fr
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2
2
2
2
4
4
5
5
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5
7
7
7
8
8
9
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I
I.1
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Vocabulaire des fonctions
Définitions
Définition 1
Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y.
f
On note : x 7→ y ou encore f : x 7→ y ou encore y = f (x).
On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f .
Exemple 1
Prenons la fonction f qui à tout nombre réel x associe le nombre y défini comme le triple de x auquel on soustrait 1.
➔ On peut décrire cette fonction en utilisant une expression algébrique : pour tout x ∈ R : f (x) = 3x − 1.
➔ L’image du nombre 5 est f (5) = 3 × 5 − 1 = 14.
➔ Il existe un nombre x dont l’image par f est égale à 8 si f (x) = 8 ce qui nous donne 3x − 1 = 8 donc x = 3.
On dit que 8 a un antécédent par f qui est 3.
Définition 2
Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette
fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f , que l’on notera Df .
Exemple 2
La fonction f : x 7→
1
a pour ensemble de définition ] − ∞; 2 [ ∪] 2; +∞[
2x − 4
1
➔ En effet, l’expression
n’a de sens que pour les valeurs de x telles que 2x − 4 6= 0 (car le dénominateur d’une
2x − 4
fraction ne peut être égal à 0), c’est-à-dire pour x 6= 2.
➔ On dira aussi que 2 est une valeur interdite pour la fonction f .
I.2
Tableau de valeurs d’une fonction
Pour une fonction f , donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient
des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images respectives y.
Exemple 3
2
Prenons la fonction f définie sur R∗ par f (x) = x + , on obtient le tableau suivant :
x
I.3
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
f (x)
−4, 7
−3, 7
−3
−3
∅
3
3
3, 7
Courbe représentative d’une fonction
−
→ −
→
Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère (O; i ; j ).
Définition 3
Dans un tel repère l’ensemble des points M
courbe représentative de la fonction f , souvent notée Cf .
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de
coordonnées
(x; f (x))
forme
la
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Rappels de seconde sur le fonctions
Exemple 4
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f (x) =
5x
+1
Tracons la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre −3 et 2 :
x2
➔ On commence par compléter un tableau de valeurs :
x
−3
−2, 5
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0, 5
1
1, 5
2
f (x)
−1, 5
−1, 7
−2
−2, 3
−2, 5
−2
0
2
2, 5
2, 3
2
➔ Puis on place les points M (x; f (x)) dans le repère ci-dessous :
3
2
Cf
1
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
−3

10

➔ Le point de coordonnées   n’est pas sur la courbe représentative de la fonction f car f (10) = 0, 495 6= 0, 5.
0, 5
Comment lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe ?
Lire l’image d’un nombre :
Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre
2
2
1
1
−1
−1
1
2
3
4
−1
−1
−2
−2
−3
−3
1
2
3
4
on place x sur l’axe des abscisses
on trace une horizontale passant par cette
on se déplace verticalement pour rencontrer Cf
valeur
on lit f (x) sur l’axe des ordonnées
à partir des points d’intersection, on se déplace
verticalement vers l’axe des abscisses pour lire
les antécédents
L’image de 1 par f est −2
Les antécédents de 1 par f sont 0 et 4
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I.4
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Sens de variation d’une fonction
Définition 4
➤ On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2 dans
I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même ordre que x1 et x2 .
➤ On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2
dans I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans l’ordre inverse de x1 et x2 .
2
1
1
−3
−3
−2
−2
−1
−1
−1
−1
−2
−2
fonction croissante.
−3
fonction décroissante.
Donner les variations d’une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis sur
quels intervalles la fonction est décroissante.
4
Cf
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
Exemple 5
➔ Cette fonction f est croissante sur [−3; 2] et sur [5; 7], décroissante sur [−5; −3] et sur [2; 5]
➔ On peut écrire : f croissante sur [−3; 2] ∪ [5; 7], décroissante sur [−5; −3] ∪ [2; 5].
I.5
Tableau de variations d’une fonction
Le tableau de variations d’une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant
les variations de la fonction.
Exemple 6
Le tableau de variations de la fonction f ci dessus est :
x
−5
−3
2
4
f (x)
7
4
ց
ր
−1
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5
0
ց
ր
−2
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I.6
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Extremum d’une fonction
Définition 5
➤ On dit que la fonction f admet un maximum M sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit
le réel x dans I, on a f (x) ≤ f (x0 ) = M .
➤ On dit que la fonction f admet un minimum m sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit
le réel x dans I, on a f (x) ≥ f (x0 ) = m.
Exemple 7
➔ Le maximum de f sur [−5; 7] est M = 2, atteint pour x = −5 et x = 2.
➔ Le minimum de f sur [−5; 7] est m = −2, atteint pour x = 5.
Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle !
Par exemple, le minimum de f sur [−5; 2] est m = −1, atteint pour x = −3.
I.7
Tableau de signes d’une fonction
On réuni au sein d’un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction
f , c’est à dire sa position par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple 8
Le tableau de signes de la fonction f est :
x
signe de f (x)
II
II.1
−5
−4
+
0
−1
−
0
+
4
7
0 −
0
Fonctions de références
Fonction affine
Définition 6
Soient a et b deux réels. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine.
Remarque 1
➔ Si b = 0, la fonction f définie par f (x) = ax est une fonction linéaire
➔ Si a = 0, la fonction f définie par f (x) = b est une fonction constante
Propriété 1
Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b, alors :
♦ Si a > 0, f est croissante sur R,
♦ Si a < 0, f est décroissante sur R,
♦ Si a = 0, f est constante sur R.
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Rappels de seconde sur le fonctions
Exemple 9
➔ La fonction f définie par f (x) = 3x + 2 est croissante.
➔ La fonction f définie par f (x) = −2x + 3 est décroissante.
➔ La fonction f définie par f (x) = 5 est constante.
d3
d1
La représentation graphique d’une fonction
affine est une droite :
Représentation graphique des fonctions f1 , f2
et f3 d’équations :
• f1 (x) = x + 1
• f2 (x) = −2
• f3 (x) = −2x
II.2
1
0
1
d2
Fonction carré
Définition 7
La fonction définie sur R par x 7−→ x2 s’appele la fonction carré.
La fonction carré est strictement décroissante
sur ] − ∞; 0] et strictement croissante sur
[0; +∞[.
−
→ −
→
Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de
sommet O.
II.3
x
−∞
0
+∞
+∞
+∞
ց
f
ր
0
Fonction inverse
Définition 8
1
La fonction définie sur R∗ = ] − ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [ par x 7−→ est appelée fonction inverse.
x
La fonction inverse est strictement décroissante
sur ] − ∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [.
−
→ −
→
Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole
de centre O.
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x
−∞
0
0
f
+∞
+∞
ց
ց
−∞
0
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II.4
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Fonction cube
Définition 9
La fonction définie sur R par f : x 7−→ x3 est appelée fonction cube.
x
La courbe représentant la fonction cube dans un
repère orthogonal est appelée cubique.
−∞
+∞
+∞
0
f
−∞
II.5
0
ր
ր
Fonction racine carrée
Définition 10
√
La fonction définie sur R+ par f : x 7−→ x est appelée fonction racine carrée.
x
0
+∞
+∞
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[.
ր
f
0
II.6
Fonction valeur absolue
Définition 11
La fonction définie sur R par f : x 7−→ |x| est appelée fonction valeur absolue.
La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] − ∞; 0] et strictement croissante
sur [0; +∞[.
La courbe représentatve de la fonction valeur
absolue est une fonction affine par morceaux.
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x
−∞
0
+∞
+∞
f
+∞
ց
ր
0
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II.7
2008-2009
Rappels de seconde sur le fonctions
Représentation graphique
f (x) = x2
8
f (x) = |x|
7
6
5
4
f (x) =
3
√
x
2
1
1
f (x) =
x
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
−4
f (x) =
x3
−5
−6
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