Livret-corriges-Partie-01

Mathématiques 5e
Livret de corrigés
Rédaction :
Claudine Albin-Vuarand
Nicole Cantelou
Marie-Jo Quéffelec
Marie-France Lefèvre
Marc Le Crozler
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que
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c
c
Séquence 1
SÉQUENCE 1
Séance 1
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Je révise les acquis de la 6e
1)
® (d4) est la médiatrice de [AB]
˛ (d3) est la médiatrice de [AC]
® (d2) est la médiatrice de [BC]
∑
˛ (d1) est la bissectrice de BCA
2)
® Il est quelconque.
® Il est rectangle.
˛ Il est équilatéral.
˛ Il est isocèle.
3)
˛ Il est isocèle.
˛ Il admet un axe de symétrie.
® Il est quelconque.
® Il est équilatéral.
4)
˛ (AC) est la médiatrice de [BD].
∑
˛ (AC) est la bissectrice de BAD
˛ I est le milieu de [BD].
∑ = ADB
∑
˛ ABD
1) On rappelle que la médiatrice d’un segment
est la droite perpendiculaire à ce segment
passant par son milieu.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage
cet angle en deux angles adjacents et égaux.
La droite (d4) n’est pas perpendiculaire à (AB).
(d4) n’est donc pas la médiatrice de [AB].
La droite (d3) est perpendiculaire à [AC] et
passe par son milieu : c’est donc la médiatrice
de [AC].
On ne sait pas si (d2) passe par le milieu de
[BC]. On ne peut donc pas dire que (d2) est la
médiatrice de [BC].
D’après les codages d’angles, on voit que (d1)
∑ .
est la bissectrice de l’angle BCA
2) Le triangle EFG a trois côtés de même
longueur. Il est donc équilatéral par définition.
Le triangle EFG a trois, donc deux côtés de
même longueur, il est donc également isocèle
(en E, en F et en G).
Il ne fallait donc pas oublier de cocher « isocèle ».
Tout triangle équilatéral est un triangle isocèle.
3) On a vu en 6e la propriété suivante :
« Si un triangle a deux angles égaux, alors il est
isocèle ».
D’après les codages, le triangle IJK est donc isocèle.
On sait qu’un triangle isocèle admet un axe de
symétrie.
On ne peut pas dire que le triangle IJK est
équilatéral car rien ne prouve que ses trois
côtés sont de même longueur.
4) • On a : AB = AD et : CB = CD. Les
points A et C sont donc équidistants de B et de
D. Ils appartiennent donc à la médiatrice de
[BD]. La droite (AC) est donc la médiatrice
de [BD].
• Le triangle ABD est isocèle en A. On sait
donc que la médiatrice de [BD] est aussi la
∑ .
bissectrice de BAD
• La médiatrice d’un segment coupe ce
segment en son milieu.
I est donc le milieu de [BD].
• Dans un triangle isocèle les angles à la base
sont égaux.
Dans le triangle ABD isocèle en A, on a donc :
∑
ABD = ∑
ADB .
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c
Séquence 1
Exercice 1
a)
a) On a vu en 6e comment construire un
triangle dont on connaît les longueurs de
chacun des trois côtés. On commence par
tracer le plus long côté, ici [AB], puis on
prend un compas. On trace un arc de cercle de
centre A et de rayon 2,6 cm, un autre arc de
centre B et de rayon 3,2 cm. Ces deux arcs se
coupent en C.
#
CM
CM
!
c
"
CM
#
b)
$
x
CM
CM
!
"
CM
Remarque : il y avait en fait 2 possibilités :
CM
#
CM
CM
!
²
%
CM
"
CM
&
CM
#g
c)
(
b) On pouvait commencer par tracer un
segment [EF] de 5,3 cm de longueur.
Ensuite, à l’aide d’un rapporteur, on trace un
∑ de 27°.
angle FEx
CM
27°
I
E
F
On prend ensuite un écartement de 6,4 cm avec
son compas. On trace un arc de cercle de centre
E et de rayon 6,4 cm qui coupe [Ex) en D.
D
6,4 cm
27°
E
5,3 cm
F
c) Il y avait en fait une infinité de triangles
possibles. Il suffisait de tracer un segment
[GI] de 4,7 cm, un cercle de centre G et
de rayon 3,8 cm et un point H sur le cercle
(n’importe lequel). Cela permettait d’obtenir
un triangle GHI aux conditions demandées.
H
H'
cm
Il y a plusieurs solutions
CM
3,8
'
G
4,7 cm
I
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c
c
Séquence 1
a)
Exercice 2
a)
L
²
*
J
On commence par tracer un segment [JK] de
4,2 cm. On trace ensuite deux angles à l’aide
d’un rapporteur : un de sommet J, de mesure
35°, dont un côté est [JK), l’autre de sommet K,
de mesure 75° ayant [KJ) pour l’un de ses côtés.
75°
35°
K
4,2 cm
+
CM
b)
P
75°
J
70 °
48 °
N
M
K
4,2 cm
b) On commence par tracer un segment [MN] : on
peut le choisir de n’importe quelle longueur ! Ensuite,
on prend son rapporteur et on trace deux angles
répondant à l’énoncé de la même façon que dans
l’exemple précédent. Il y a une infinité de triangles
répondant aux conditions demandées car on peut
choisir n’importe quelle longueur pour [MN].
P
c)
S
P'
2,9 cm
R
28°
4,6 cm
70 °
Q
N
70 ° 48 °
N'
48 °
M
M'
c) On commence par tracer un segment [RQ]
de 4,6 cm. On trace ensuite un angle de sommet
Q, de mesure 28°, dont un côté est [QR).
28°
Q
On trace ensuite un arc de cercle de centre R
et de rayon 2,9 cm. Cet arc coupe le côté de
l’angle que l’on vient de tracer en deux points.
On appelle S l’un d’eux.
S
S'
28°
R
4
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Q
c
Séquence 1
c
Exercice 3
1) Dans quelle(s) question(s) des exercices 1 et 2 est-on sûr que tous les élèves de la classe ont tracé
des triangles superposables ?
˛ Ex 1 a) ˛ Ex 1 b) ® Ex 1 c)
˛ Ex 2 a) ® Ex 2 b) ® Ex 2 c)
2) a) Connaître les longueurs de deux côtés d’un triangle suffit-il pour le reproduire à l’identique ?
Non, on a vu dans le c) de la question 1) qu’il y avait plusieurs triangles possibles.
b) De même, connaître les mesures de deux angles d’un triangle suffit-il pour le reproduire à
l’identique ? Non, on a vu dans le b) de la question 2) qu’il y avait plusieurs triangles possibles.
3) D’après les exercices 1 et 2, pour reproduire à l’identique un triangle donné, que suffit-il par
exemple de connaître ?
• les longueurs de ses trois côtés
• les longueurs et un angle de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés
• la longueur d’un côté et la mesure des angles ayant pour sommets les extrémités de ce côté.
Exercice 4
B
38°
T
43°
4 cm
E
Je mesure EB. Je trouve environ 2,5 cm.
La distance entre Erwann et le bateau est environ 250 m.
Je mesure TB. Je trouve environ 2,75 cm.
La distance entre Thomas et le bateau est environ 275 m.
On reproduit la figure en prenant 1 cm pour
100 m. On trace un segment [TE] de 4 cm.
On connaît la longueur d’un côté et la mesure
des deux angles qui lui sont adjacents : on
utilise la méthode employée dans le a) de
l’exercice 2.
On mesure EB. On trouve environ 2,5 cm.
1 cm représente 100 m donc 2,5 cm
représentent 2,5 x 100 m soit 250 m.
On mesure TB. On trouve environ 2,75 cm.
1 cm représente 100 m donc 2,75 cm
représentent 2,75 x 100 m soit 275 m.
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c
c
Séquence 1
Exercice 5
a)
a) On trace un segment [BC] de 3,4 cm.
On trace ensuite deux arcs de cercle de rayon
4,3 cm de centres respectifs B et C. Ces deux
arcs se coupent en A.
A
A
4,3 cm
4,3 cm
B
B
C
C
3,4 cm
b)
3,4 cm
b) On trace un segment [EF] de 4,6 cm.
On trace ensuite un angle de sommet E, de
mesure 42° dont un côté est [EF). Soit [Ex)
le deuxième côté.
D x
42°
E
42°
F
D
4,6 cm
F
On trace ensuite un arc de cercle de centre E,
de rayon EF, qui coupe le côté [Ex) en D.
x
42°
E
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F
c
Séquence 1
x
c)
c
c) Cette construction est plus complexe : on
commence par tracer un segment [HI] de
4,8 cm. On trace ensuite un angle de sommet
H, de mesure 64°, dont un côté est [HI). Soit
[Hx) le deuxième côté de l’angle.
G
x
64°
H
64°
H
I
4,8 cm
On ne sait ensuite rien d’autre que : « le
triangle GHI est isocèle en G ».
On sait donc que le point G est à égale
distance de H et de I, c’est-à-dire qu’il est sur
la médiatrice du segment [HI]. On trace cette
médiatrice à l’aide d’un compas.
Le point G cherché est à l’intersection de [Hx)
et de la médiatrice du segment [HI].
H
d)
64°
13,5
soit 4,5.
3
L
J
4,5 cm
I
d) Le périmètre d’un triangle équilatéral est
trois fois son côté.
Le nombre qui multiplié par 3 donne 13,5 est
L
J
I
K
4,5 cm
K
On trace donc un triangle équilatéral de côté
4,5 cm.
Pour cela, on commence par tracer un segment
[JK] de 4,5 cm.
On trace ensuite deux arcs de cercle de rayon
4,5 cm, de centres respectifs J et K. Ils se
coupent en L.
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c
c
Séquence 1
Exercice 6
a)
A
3,5 cm
a) On trace le triangle ABC à l’aide d’une
équerre.
On peut commencer par tracer un angle droit
de sommet A, et prolonger ensuite les tracés
des deux côtés à l’aide d’une règle graduée,
pour obtenir : AB = 3,5 cm et AC = 6,1 cm.
On trace ensuite le segment [BC].
B
A
3,5 cm
B
6,1 cm
6,1 cm
C
C
b)
F
2,7 cm
b) On commence par tracer un angle droit,
puis on prolonge le tracé d’un des côtés à
l’aide d’une règle graduée de façon à obtenir :
FE = 2,7 cm.
On doit ensuite tracer un segment [DE] de
5,2 cm. Pour cela, on trace un arc de cercle
de centre E et de rayon 5,2 cm. Cet arc coupe
l’autre côté de l’angle droit (celui qui va
devenir [FD)). On prolonge le tracé de ce côté
si nécessaire.
E
5,2 cm
D
2,7 cm
E
D
F
c)
I
5,3 cm
H
34°
c) On peut commencer par tracer un segment
[IH] de 5,3 cm.
On trace ensuite un angle de sommet H, de
mesure 34° dont un côté est [HI). Soit [Hx)
le deuxième côté de l’angle.
5,3 cm
I
H
34°
x
G
On trace ensuite une demi-droite d’origine I
perpendiculaire à (IH) qui coupe [Hx) en G..
I
x
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5,3 cm
H
34°
c
Séquence 1
Séance Ce que tu devais faire
c
Les commentaires du professeur
Exercice 7
"g
!g
#g
Les commentaires du professeur :
• On peut commencer par tracer une demi-droite d’origine A’. Pour construire C’, on prend la longueur AC de la figure initiale et
on reporte cette longueur à partir du point A sur la demi-droite. On obtient ainsi le point C’.
"
!
!g
#
#g
• On prend comme écartement de compas la longueur AB. On trace l’arc de centre A’ et de rayon AB.
"
!
!g
#
#g
• On prend comme écartement de compas la longueur CB. On trace l’arc de centre C’ et de rayon CB. Le point d’intersection des
deux arcs est le point B’.
"g
"
!
#
!g
#g
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c
c
Séquence 1
Exercice 8
x
x
/
x
/
y
/
y
y
Les commentaires du professeur :
On utilise la méthode décrite dans le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice.
Exercice 9
z
x
z
.g
x
y
-
.g
-
.
y
.
/
/
Les commentaires du professeur :
On prend un point M sur [Ox), un point N sur [Oy) puis on trace N’ tel que les triangles ONM et ON’M soient superposables :
- on trace un arc de cercle de centre M et de rayon MN
- puis un arc de cercle de centre O et de rayon ON, qui coupe le premier arc en N’.
10
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c
Séquence 1
Exercice 10
a)
Le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
Le triangle ACG est rectangle en C.
b)
a)
Á En effet, les faces d’un cube sont carrées.
Á Si tu as des difficultés à le «voir», prends
une boîte cubique et vérifie-le à l’aide d’une
équerre.
b)
On sait que le triangle ABC est rectangle
isocèle en B et que :
AB = 2,5 cm (le segment [AB] est une arête
du cube).
On sait construire ce type de triangle.
L’autre triangle est plus difficile à construire :
on sait qu’il est rectangle en C, on connaît CG
(le segment [CG] est une arête du cube).
Par contre, on ne connaît pas la longueur AC
(qui n’est pas égale à 2,5 cm).
On peut cependant tracer le triangle ACG
à partir du segment [AC] obtenu par la
construction du triangle ABC.
Il suffit alors de tracer une demi-droite
perpendiculaire à (AC) d’origine C, de placer G
sur cette demi-droite tel que : CG = 2,5 cm,
puis de tracer le segment [AG].
'
#
"
CM
c
!
Exercice 11
Je commence par construire le triangle AEC : on connaît la longueur d’un de ses côtés : [EC] ainsi que
∑ et ECA
∑.
la mesure des deux angles qui lui sont adjacents : AEC
Je construis ensuite le triangle ECD : c’est un triangle rectangle dont on connaît les longueurs de deux
côtés.
Je construis enfin le triangle ABC.
"
!
²
²
²
%
CM
#
CM
$
Les commentaires du professeur :
On pouvait commencer par construire ECD.
Par contre, on ne pouvait pas commencer par construire le triangle ABC !
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c
c
Séquence 1
Exercice 12
1) 2)
3)
I est sur la médiatrice de [BC] donc BI = IC.
Le triangle BIC est donc isocèle en I.
4)
Le triangle BIC est isocèle en I donc :
!
D
∑ = ICB
∑ .
IBC
∑ = 42°
Or : IBC
∑ = 42°
D’où : ICB
∑ = ACI
∑ + ICB
∑
ACB
I
∑ + 42°
soit 84° = ACI
∑ = 84° − 42° = 42°
donc ACI
5)
∑
La demi-droite [CI) coupe l’angle BCA
en deux angles de même mesure,
c’est donc la bissectrice de cet angle.
12
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²
²
#
"
9:ڹڄ”Ú[e
c
Séquence 1
Exercice 13
1) a)
ERLANCER
CM
ELANCER
CM
ELANCER
CM
CM
ELANCER
CM
CM
CM
ELANCER
c
ELANCER
CM
CM
CM
CM
CM
CM
b)
Dans certains cas les constructions sont impossibles.
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c
c
Séquence 1
2)
a) Dans chacun des cas, la plus grande longueur est inférieure
à la somme des deux autres.
b)
• Imagine un jet de dé qui n’est pas dans le tableau
et qui conduirait à une figure où les arcs se coupent.
CM
dé rouge : 6
dé jaune : 4
dé vert : 5
CM
CM
3)
a) Dans chacun des cas, la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres.
b)
• Imagine un jet de dé qui n’est pas dans le tableau et qui conduirait à une figure où les arcs se
coupent.
dé rouge : 6
CM
CM
dé jaune : 4
dé vert : 2
4)
a) Dans chacun des cas, la plus grande longueur est supérieure à la somme des deux autres.
b)
• Imagine un jet de dé qui n’est pas dans le tableau et qui conduirait à une figure où les arcs ne se
coupent pas.
dé rouge : 6
dé jaune : 1
dé vert : 4
Conclusion :
Il semble au terme de cet exercice que l’on ne peut construire un triangle dont les côtés ont pour longueur trois nombres donnés,
que si la longueur la plus grande est inférieure à la somme des deux autres. Cette propriété est en fait toujours vraie. On va
l’admettre (on ne va pas voir dans ce cours sa démonstration).
14
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c
Séquence 1
Séance 3
Ce que tu devais faire
c
Les commentaires du professeur
Exercice 14
a
b
c
possible ?
justification
3 cm
7 cm
6 cm
oui
7<3+6
7 cm
12 cm
20 cm
non
20 > 7 + 12
2 dm
32 cm
13 cm
oui
32 cm < 2 dm + 13 cm
2,1 cm
2,07 cm
4,8 cm
non
4,8 > 2,1 + 2,07
Les commentaires du professeur :
On applique la propriété vue dans la séance précédente :
« On ne peut construire un triangle dont les côtés ont pour longueurs trois nombres donnés que si la plus grande longueur est
inférieure à la somme des deux autres ».
Dans le 1er cas et le 3e, on peut construire le triangle car la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.
Dans le 2e cas et le 4e, on ne peut pas construire le triangle car la plus grande longueur est supérieure à la somme des deux
autres.
Exercice 15
On applique la propriété vue dans la séance
précédente :
Si AM + MB = AB alors M ∈ [AB]
AC = 9 cm
a) AB = 5 cm BC = 4 cm AB + BC = AC, donc on a : B ∈ [AC].
A, B, C sont alignés dans cet ordre.
b) AB = 2,3 cm
BC = 7 cm AC = 4,7 cm
BA + AC = BC, donc on a : A ∈ [BC].
B, A, C sont alignés dans cet ordre.
c) AB = 3 dm
BC = 18 cm AC = 12 cm
AC + CB = AB, donc on a : C ∈ [AB].
A, C, B sont alignés dans cet ordre.
d) AB = 10,75 m BC = 8,53 m AC = 3,48 m
AB < AC + CB, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
a) On retrouve directement la formulation de
la propriété ci-dessus.
b) On utilise : AB = BA.
c) On exprime les trois longueurs dans la même
unité. AB = 30 cm.
d) On a : AB < AC + CB, on n’ applique pas
la même propriété que pour les a), b) et c). Ici,
on utilise la propriété suivante :
Si la plus grande longueur est inférieure à la
somme des deux autres, on peut construire le
triangle.
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15
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c
c
Séquence 1
Exercice 16
1)
a) Mathieu a parcouru la moitié d’un cercle de rayon 4 hm, soit (2 x π x 4) : 2 c’est-à-dire π x 4 ou
encore 4 x π hm. La troncature au dixième de ce résultat est 12,5 hm.
b) Victor a parcouru 8 hm.
c) Pierre a parcouru quatre demi-cercles de rayon 1 hm, soit deux cercles de rayon 1 hm donc
2 x (2 x π x 1) soit (2 x 2 x 1) x π c’est-à-dire 4 x π hm.
La troncature au dixième de ce résultat est 12,5 hm.
2) Cindy a parcouru 2,5 hm + 2 hm + 1,5 hm + 2 hm + 1,2 hm + 1,2 hm + 2 hm soit 12,4 hm.
Mathieu et Pierre ont parcouru le chemin le plus long. Victor a parcouru le chemin le plus court.
Les commentaires du professeur :
• Effectuer (2 x π x 4) : 2 revient à multiplier π x 4 par 2 et à diviser le résultat obtenu par 2. On obtient donc π x 4.
• Les trajets de Pierre et Mathieu ont la même longueur : π x 4 hm.
• De façon générale, on admet que le trajet le plus court pour aller d’un point E à un point S est le segment [ES]. En effet, tu
peux essayer de tracer d’autres trajets qui partent de E et qui arrivent en S, tu verras qu’ils seront toujours plus longs que [ES].
Cela paraît naturel et évident !
Exercice 17
1) a)
b) AB < AC + CB
2) a)
!
b) BC < BA + AC
3) D’après la propriété « du plus court chemin », on peut dire que
dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme
des longueurs des deux autres.
"
#
Les commentaires du professeur :
Il faut bien retenir le résultat obtenu dans la question 3, il sert très souvent en géométrie !
Exercice 18
a)
b)
X
-
:
9
"
c)
2
3
4
!
YZ < YX + XZ
Or : YX = 4 cm et XZ = 6 cm
donc : YZ < 10 cm
AB < AM + MB
Or : AM = 5 cm et MB = 5,5 cm Or : RS = 3 cm et ST = 5 cm
donc : AB < 10,5 cm
donc : RT < 8 cm
Les commentaires du professeur :
On a appliqué trois fois la propriété vue dans le « Je retiens » précédent.
16
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RT < RS + ST
c
Séquence 1
Exercice 19
Dans le triangle ABC, on a :
BC < BA + AC donc BC < 2 + 9 soit BC < 11 cm.
[BC] est le plus long côté du triangle, donc : BC > 9 cm.
BC est un entier pair compris entre 9 et 11, donc il est égal à
10.
c
Exercice 20
Comme le trangle est isocèle, le troisième côté mesure soit 8 cm, soit 22 cm.
S’il mesurait 8 cm, les longueurs des trois côtés seraient les suivantes : 8 cm 8 cm 22 cm
On aurait 22 cm < 8 cm + 8 cm, ce qui est impossible.
Le troisième côté mesure donc 22 cm.
Les commentaires du professeur :
Dans le triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
Exercice 21
1)
a)
!
-
-
!
"
"
!
"-
AB < AM + MB
AB
!
AB < AM + MB
= AM + MB
"
AB < AM + MB
=
b) Si M ∈ [AB] alors AB AM + MB .
Si M ∉ [AB] alors AB < AM + MB .
2)
Quelle que soit la position du point M, la distance AB est toujours inférieure ou égale à la distance
AM + MB (ce que l’on écrit : AB ≤ AM + MB).
Exercice 22
1)
I
*
²
CM
,
²
CM
+
2)
On a :
∑ = ILJ
∂ + JLK
∑
ILK
∑ = 150° + 30° = 180°
donc ILK
∑ est plat donc les points I, L et K sont alignés dans cet ordre d’où : L ∈ [IK].
L’angle ILK
On a donc : IL + LK = IK.
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c
c
Séquence 1
Séance 4
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Exercice 23
!
1) 2) a)
D
D
/
#
"
D
Le cercle de centre O qui passe par A semble également passer par B et C.
b)
La médiatrice de [BC] semble passer par O.
Les commentaires du professeur :
Rappelons comment on trace la médiatrice (d1) de [AB] : on prend un écartement de compas suffisamment grand pour que les
cercles de centre A et B se coupent en deux points. La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par ces deux points.
!
D
#
"
Conclusion : nous avons remarqué dans cet exercice que les trois médiatrices des côtés d’un triangle semblent concourantes en un
point qui est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle. Nous allons prouver ce résultat dans l’exercice suivant.
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c
Séquence 1
Exercice 24
1) I est sur la médiatrice de [AB] donc : IA = IB.
Le cercle de centre I passant par A passe donc aussi par B.
2) J est sur la médiatrice de [AC] donc : JA = JC.
Le cercle de centre J passant par A passe donc aussi par C.
3) Le cercle de centre O passant par A semble
passer par B et C.
Je vais prouver qu’il passe effectivement par B et C :
O est sur la médiatrice de [AB] donc : OA = OB.
O est sur la médiatrice de [AC] donc : OA = OC.
On a donc : OA = OB = OC.
Le cercle de centre O passant par A passe
donc aussi par B et C.
4) D’après la question précédente, on a :
OB = OC. Le point O est donc sur la
médiatrice de [BC].
D
!
c
D
*
I
/
"
#
Les commentaires du professeur :
Nous avons donc démontré que les trois médiatrices d’un triangle quelconque se coupent en un point. Ce point est le centre d’un
cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Exercice 25
!
$
#
&
%
"
Les commentaires du professeur :
On rappelle qu’il est inutile de tracer les trois médiatrices d’un triangle pour obtenir le centre de son cercle circonscrit : deux
suffisent.
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c
Séquence 1
Exercice 26
1) a) b)
!
#
"
2) Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC semble être le milieu du côté [BC].
Les commentaires du professeur :
En fait, cette conjecture est toujours vraie, mais on ne peut pas la démontrer en 5ème !
Exercice 27
1) Sur le plan :
Luciole - Patros : 8 cm
Patros - Rumeix : 9 cm
Luciole - Rumeix : 8,5 cm
On construit donc un triangle
dont les côté sont pour longueur :
8 cm, 9 cm et 8,5 cm.
2) La gare se trouve à égale distance
de Patros, Luciole et Rumeix :
c’est donc le centre G du cercle
circonscrit du triangle tracé.
3) On mesure sur le plan par exemple
la distance qui sépare Patros de la
la gare. On trouve environ 4,9 cm,
ce qui représente dans la réalité,
en tenant compte de l’échelle,
0ATROS
environ 4,9 km.
,UCIOLE
'
2UMEIX
La gare est donc située à environ
4,9 km des trois villes.
Les commentaires du professeur :
Pour le 3, on aurait pu également mesurer la distance qui sépare Rumeix de la gare, ou encore Luciole de la gare. On aurait
trouvé la même chose, car ces trois longueurs sont égales au rayon du cercle circonscrit (en fait à peu près la même chose, car il y a
toujours des incertitudes lorsqu’on effectue une mesure).
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c
Séquence 1
Exercice 28
Je cherche un point à égale distance de E, F et G.
Ce point est à égale distance de E et de F, donc il est sur la médiatrice (d) de [EF].
Ce point est à égale distance de F et de G, donc il est sur la médiatrice (d’) de [FG].
Ce point est sur (d) et (d’), donc c’est un point d’intersection de (d) et (d’).
Les droites (d) et (d’) ont-elles un point d’intersection ? Non : elles sont toutes les deux
perpendiculaires à (EF), donc elles sont parallèles.
c
D
%
Dg
&
'
Cet exercice est donc un piège : il n’y a pas de point à égale distance de E, F et G !
Exercice 29
Les triangles MKL, NKL, KQL et KPL ont tous un côté en
commun : [KL].
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est sur chacune des
médiatrices des côtés.
Appelons (d) la médiatrice du segment [KL].
Le centre du cercle circonscrit au triangle MKL est donc sur (d),
le centre du cercle circonscrit au triangle NKL est donc aussi
sur (d), …, et le centre du cercle circonscrit au triangle KPL est
aussi sur (d).
Alex Privif a donc raison : les centres des cercles circonscrits
aux triangles MKL, NKL, KQL et KPL sont bien alignés.
Cet exercice est difficile : il faut bien voir que
tous les triangles cités ont un côté commun :
[KL].
Ensuite, il faut bien comprendre que le centre
du cercle circonscrit à un triangle se trouve
sur chacune des médiatrices des côtés. Si l’on
connaît une médiatrice d’un des côtés, on sait
que ce centre est sur cette droite.
.
-
D
,
+
0
1
Ici, tous les centres sont sur la droite (d) cidessus.
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Séquence 1
Exercice 30
/
#
D
!
"
#
Deux triangles répondent à l’énoncé : ABC1 et ABC2.
Les commentaires du professeur :
Cet exercice est assez difficile : le premier élément de la consigne qui doit « mettre la puce à l’oreille » est : « le centre du cercle
circonscrit au triangle appartient à (d) ».
• On sait que le centre du cercle circonscrit est sur la médiatrice du segment [AB] : il est donc à la fois sur cette médiatrice et sur
(d). On trace donc cette médiatrice et on obtient le point O.
On peut alors tracer le cercle circonscrit au triangle ABC : c’est le cercle de centre O qui passe par A.
On a représenté sur la figure ci-contre le tracé d’un cercle de centre O et de rayon OA après avoir pris comme écartement de
compas la longueur OA.
/
D
!
"
• On sait ensuite que [BC] mesure 3,5 cm : le point C est donc sur le cercle de centre B et de rayon 3,5 cm. On trace ce cercle :
il coupe le cercle précédent en deux points qu’on nomme C1 et C2. Il y a donc deux triangles possibles : ABC1 et ABC2.
/
D
!
"
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Séquence 1
Séance Ce que tu devais faire
c
Les commentaires du professeur
Exercice 31
1) b) Le côté opposé au sommet B est [AC].
2) a) Pour construire la droite (Δ), on utilise
l’équerre et la règle. On trace en fait la droite
perpendiculaire à (BC) passant par A.
$
#
#
!
!
$g
"
Exercice 32
-ÏLINE
"
Pour construire la droite (Δ’), on commence
par prolonger le tracé de (AC). On utilise
ensuite la même méthode que précédemment.
On s’aperçoit dans cet exercice que pour
tracer une droite passant par un sommet et
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet, il
faut parfois « prolonger le côté ».
Remarque : (Δ) et (Δ’) sont deux hauteurs du
triangle ABC. On appelle hauteur d’un triangle
une droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
#APUCINE
#ORENTIN
*
+
*
I
I
I
+
D
+
D
D
*
D
D
fausse
fausse
#OLINE
I
vraie
%LOÕSE
#LÏMENT
*
* D
D
I
*
+
+
D
D
fausse
+
I
vraie
vraie
Les commentaires du professeur :
Pour tracer une hauteur, on repère un sommet et son côté opposé (attention de ne pas se tromper).
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c
Séquence 1
On fait attention de bien considérer le bon
triangle : dans la question 1), il s’agit de ABC.
Exercice 33
1)
!
!
,
+
"
&
,
+
*
I
"
&
*
#
$
%
Dans la question 2) a), il s’agit de BDE.
I
!
,
+
#
"
$
&
%
)
a)
Pour le triangle BDE :
(DI) est la hauteur issue de D ou encore : (DI) est la hauteur
relative à [BE].
b)
Pour le triangle EBF :
(EJ) est la hauteur issue de E ou encore : (EJ) est la hauteur
relative à [BF].
*
I
#
$
%
Dans la question 2) b), il s’agit de EBF.
!
,
+
"
&
*
I
#
$
Exercice 34
%
On lit la consigne. La droite (d) doit être la
hauteur relative à [AB]. Cela veut dire que la
droite (BC) est perpendiculaire à (d).
On trace la droite perpendiculaire à (d)
passant par B. Le point C est n’importe où sur
cette droite. Le point A est n’importe où sur la
droite (d). Il faut juste ne pas le choisir aligné
avec B et C.
Voici d’autres triangles ABC possibles :
A
A''
A'
C
A
(d)
C''
C
B
C'
(d)
B
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Séquence 1
Exercice 35
1)
!
c
Les trois hauteurs semblent concourantes.
"
#
2)
#
²
!
²
CM
"
Les trois hauteurs semblent concourantes.
Les commentaires du professeur :
Dans les deux cas, les hauteurs semblent concourantes. Le point de concours des hauteurs peut être « à l’intérieur » du triangle
(cas 1) du triangle ou « à l’extérieur » (cas 2). On ne va pas le démontrer, mais ce résultat est en fait en fait toujours vrai. On va
l’admettre : tu pourras ainsi l’utiliser dans des démonstrations.
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c
Séquence 1
Exercice 36
1)
D’après les codages :
AB = AD donc A est sur la médiatrice de [DB].
CD = CB donc C est sur la médiatrice de [DB].
La droite (AC) est donc la médiatrice de [DB].
2)
La droite (AC) est la médiatrice de [DB] donc (DB) et (AC)
sont perpendiculaires.
Dans le triangle ADC, la droite (DB) passe par le sommet D et
est perpendiculaire au côté opposé [AC], c’est donc la hauteur
issue de D.
1) On a déjà appliqué plusieurs fois ce
raisonnement en 6ème pour démontrer qu’une
droite est la médiatrice d’un segment. Revois
si tu le veux la séance 6 de la séquence 5 de
6ème.
2) Dès qu’un figure est constituée de plusieurs
triangles, on doit rappeler dans quel triangle
on se place si on veut parler de côté opposé à
un sommet.
En effet, étudions par exemple la figure
suivante.
Si l’on pose la question : « Quel est le côté
opposé à A », on ne sait quoi répondre. [BC]
ou [CD] ?
!
$
#
"
Par contre, si l’on pose la question « Dans le
triangle ABC, quel est le côté opposé à A »,
alors là il n’y a qu’une réponse : [BC].
Il faut donc toujours préciser le triangle
dans lequel on se place.
Exercice 37
1)
La droite (d) est la hauteur issue de A, elle est donc
perpendiculaire à (BC).
2)
a)
• Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
donc O est sur la médiatrice de (BC).
• I est le milieu de [BC] donc I est également sur la médiatrice
de (BC).
La droite (OI) est donc la médiatrice de [BC].
b)
La droite (OI) est la médiatrice de [BC] donc elle est
perpendiculaire à (BC).
3)
(d) est perpendiculaire à (BC).
(OI) est perpendiculaire à (BC).
Si deux droites sont perpendiculaire à une troisième droite,
alors elles sont parallèles.
Les droites (d) et (OI) sont donc parallèles.
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1)
On utilise la définition d’une hauteur.
2)
a)
Les deux points O et I sont sur la médiatrice
du segment [BC]. La droite (OI) est donc la
médiatrice du segment [BC].
b)
On applique la définition de la médiatrice
d’un segment.
3)
D
!
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