Livret-corriges-Partie-01

Mathématiques 5e
Livret de corrigés
Rédaction :
Claudine Albin-Vuarand
Nicole Cantelou
Marie-Jo Quéffelec
Marie-France Lefèvre
Marc Le Crozler
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
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c
c
Séquence 1
SÉQUENCE 1
Séance 1
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Je révise les acquis de la 6e
1)
® (d4) est la médiatrice de [AB]
˛ (d3) est la médiatrice de [AC]
® (d2) est la médiatrice de [BC]
˛ (d1) est la bissectrice de
BCA
∑
2)
® Il est quelconque.
® Il est rectangle.
˛ Il est équilatéral.
˛ Il est isocèle.
3)
˛ Il est isocèle.
˛ Il admet un axe de symétrie.
® Il est quelconque.
® Il est équilatéral.
4)
˛ (AC) est la médiatrice de [BD].
˛ (AC) est la bissectrice de
BAD
∑
˛ I est le milieu de [BD].
˛
ABD ADB
∑ ∑
=
1) On rappelle que la médiatrice d’un segment
est la droite perpendiculaire à ce segment
passant par son milieu.
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage
cet angle en deux angles adjacents et égaux.
La droite (d
4
) n’est pas perpendiculaire à (AB).
(d
4
) n’est donc pas la médiatrice de [AB].
La droite (d
3
) est perpendiculaire à [AC] et
passe par son milieu : c’est donc la médiatrice
de [AC].
On ne sait pas si (d
2
) passe par le milieu de
[BC]. On ne peut donc pas dire que (d
2
) est la
médiatrice de [BC].
D’après les codages d’angles, on voit que (d
1
)
est la bissectrice de l’angle
BCA
∑
.
2) Le triangle EFG a trois côtés de même
longueur. Il est donc équilatéral par définition.
Le triangle EFG a trois, donc deux côtés de
même longueur, il est donc également isocèle
(en E, en F et en G).
Il ne fallait donc pas oublier de cocher « isocèle ».
Tout triangle équilatéral est un triangle isocèle.
3) On a vu en 6e la propriété suivante :
« Si un triangle a deux angles égaux, alors il est
isocèle ».
D’après les codages, le triangle IJK est donc isocèle.
On sait qu’un triangle isocèle admet un axe de
symétrie.
On ne peut pas dire que le triangle IJK est
équilatéral car rien ne prouve que ses trois
côtés sont de même longueur.
4) • On a : AB = AD et : CB = CD. Les
points A et C sont donc équidistants de B et de
D. Ils appartiennent donc à la médiatrice de
[BD]. La droite (AC) est donc la médiatrice
de [BD].
• Le triangle ABD est isocèle en A. On sait
donc que la médiatrice de [BD] est aussi la
bissectrice de
BAD
∑
.
• La médiatrice d’un segment coupe ce
segment en son milieu.
I est donc le milieu de [BD].
• Dans un triangle isocèle les angles à la base
sont égaux.
Dans le triangle ABD isocèle en A, on a donc :
ABD ADB
∑ ∑
=
.
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c
Séquence 1
Exercice 1
a)
!"
#
CM
CM CM
b)
$
%&
²
CM
CM
x
c)
'
(
I
CM
CM
Il y a plusieurs solutions
a) On a vu en 6e comment construire un
triangle dont on connaît les longueurs de
chacun des trois côtés. On commence par
tracer le plus long côté, ici [AB], puis on
prend un compas. On trace un arc de cercle de
centre A et de rayon 2,6 cm, un autre arc de
centre B et de rayon 3,2 cm. Ces deux arcs se
coupent en C.
!"
#
CM CM
CM
Remarque : il y avait en fait 2 possibilités :
!"
#
#g
CM
CM
CM
CM
b) On pouvait commencer par tracer un
segment [EF] de 5,3 cm de longueur.
Ensuite, à l’aide d’un rapporteur, on trace un
angle
F
Ex
∑
de 27°.
EF
27°
27°27°
On prend ensuite un écartement de 6,4 cm avec
son compas. On trace un arc de cercle de centre
E et de rayon 6,4 cm qui coupe [Ex) en D.
D
EF
27°
5,3 cm
6,4 cm
c) Il y avait en fait une infinité de triangles
possibles. Il suffisait de tracer un segment
[GI] de 4,7 cm, un cercle de centre G et
de rayon 3,8 cm et un point H sur le cercle
(n’importe lequel). Cela permettait d’obtenir
un triangle GHI aux conditions demandées.
G
H
I
4,7 cm
3,8 cm
H'
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Séquence 1
Exercice 2
a)
JK
L
75°
35°
4,2 cm
b)
N
P
M
70 ° 48 °
c)
QR
S
28°
4,6 cm
2,9 cm
a)
*+
²
CM
On commence par tracer un segment [JK] de
4,2 cm. On trace ensuite deux angles à l’aide
d’un rapporteur : un de sommet J, de mesure
35°, dont un côté est [JK), l’autre de sommet K,
de mesure 75° ayant [KJ) pour l’un de ses côtés.
JK
75°
4,2 cm
75°75°
b) On commence par tracer un segment [MN] : on
peut le choisir de n’importe quelle longueur ! Ensuite,
on prend son rapporteur et on trace deux angles
répondant à l’énoncé de la même façon que dans
l’exemple précédent. Il y a une infinité de triangles
répondant aux conditions demandées car on peut
choisir n’importe quelle longueur pour [MN].
NN' M'
P'
P
M
70 ° 70 ° 48 °
48 °
c) On commence par tracer un segment [RQ]
de 4,6 cm. On trace ensuite un angle de sommet
Q, de mesure 28°, dont un côté est [QR).
Q
28°
On trace ensuite un arc de cercle de centre R
et de rayon 2,9 cm. Cet arc coupe le côté de
l’angle que l’on vient de tracer en deux points.
On appelle S l’un d’eux.
Q
28°
R
S
S'
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Séquence 1
Exercice 3
1) Dans quelle(s) question(s) des exercices 1 et 2 est-on sûr que tous les élèves de la classe ont tracé
des triangles superposables ?
˛ Ex 1 a) ˛ Ex 1 b) ® Ex 1 c)
˛ Ex 2 a) ® Ex 2 b) ® Ex 2 c)
2) a) Connaître les longueurs de deux côtés d’un triangle suffit-il pour le reproduire à l’identique ?
Non, on a vu dans le c) de la question 1) qu’il y avait plusieurs triangles possibles.
b) De même, connaître les mesures de deux angles d’un triangle suffit-il pour le reproduire à
l’identique ? Non, on a vu dans le b) de la question 2) qu’il y avait plusieurs triangles possibles.
3) D’après les exercices 1 et 2, pour reproduire à l’identique un triangle donné, que suffit-il par
exemple de connaître ?
• les longueurs de ses trois côtés
• les longueurs et un angle de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés
• la longueur d’un côté et la mesure des angles ayant pour sommets les extrémités de ce côté.
Exercice 4
38° 43°
E
T
B
4 cm
Je mesure EB. Je trouve environ 2,5 cm.
La distance entre Erwann et le bateau est environ 250 m.
Je mesure TB. Je trouve environ 2,75 cm.
La distance entre Thomas et le bateau est environ 275 m.
On reproduit la figure en prenant 1 cm pour
100 m. On trace un segment [TE] de 4 cm.
On connaît la longueur d’un côté et la mesure
des deux angles qui lui sont adjacents : on
utilise la méthode employée dans le a) de
l’exercice 2.
On mesure EB. On trouve environ 2,5 cm.
1 cm représente 100 m donc 2,5 cm
représentent 2,5 x 100 m soit 250 m.
On mesure TB. On trouve environ 2,75 cm.
1 cm représente 100 m donc 2,75 cm
représentent 2,75 x 100 m soit 275 m.
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