3. CORRIGES DES PROBLEMES : PARALLELISME, PERPENDICULAIRES, FIGURES PLANES ELEMENTAIRES. Problème 1 : O est sur la médiatrice de [AB] donc OA = OB et O est sur la médiatrice de [AC] donc OA = OC donc O est équidistant des points A, B et C. Donc le cercle de centre O et de rayon OA passe par les points B et C. Comme O est équidistant de B et C, il appartient à la médiatrice de [BC], donc les médiatrices des trois côtés du triangle sont concourantes en un point noté ici O. Problème 2 : concours a/ un angle de 90° : on trace une droite puis une perpendiculaire à cette droite avec le compas. b/ un angle de 45° : on trace alors la bissectrice au compas de cet angle droit. c/ un angle de 60° : on trace un triangle équilatéral d/ un angle de 30° : on trace la bissectrice d’un des angles de 60°. Problème 3 : concours a/ Deux figures possibles : le trapèze rectangle et un quadrilatère avec deux angles opposés à 90°. b/ impossible, s’il a 3 angles droits, il en a quatre et donc il est un rectangle ! c/ d/ possible, il suffit que les diagonales en se coupent pas en leur milieu. Problème 4 : Tracer un segment [AC] de 10 cm puis la perpendiculaire à (AC) passant par A. Placer le point B sur cette perpendiculaire tel que AB = AC en reportant la longueur avec le compas. Tracer la médiatrice de [AC], puis le demi-cercle de diamètre [AC] dont le centre est le point d’intersection de cette médiatrice avec [AC]. Ce demi-cercle passe par A et est extérieur au triangle ABC. Cet arc de cercle coupe la médiatrice de [AC] en D. Problème 5 : concours Chaque réponse sera justifiée. a/ il s’agit de l’ensemble des points du demi-plan contenant A et limité par la médiatrice de [AB]. b/ donc AM < BM (1) et AM < AB (2). La condition (1) rappelle le a/, pour la condition (2), l’ensemble des points M est le disque de centre A et de rayon AB (privé du cercle). L’ensemble cherché est l’intersection du demi-plan et du disque privé du cercle. c/ Si ABM est un triangle rectangle en A, l’ensemble des points M est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par A privé de A. Si ABM est un triangle rectangle en B, l’ensemble des points M est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par B privé de B. Si ABM est un triangle rectangle en M, l’ensemble des points M est le cercle de diamètre AB privé de A et B. L’ensemble cherché est la réunion de ces trois ensembles. Master 1, UE 4 , EC4A : Eléments de géométrie chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 1