Correction : Equations 14 11 2013

22 novembre 2013
Correction contrôle de mathématiques
Du jeudi 14 novembre 2013
Exercice 1
Résoudre dans R les équations suivantes :
(4 points)
1) 3x + 7 − (5x + 3) = 4x − 2(1 + 2x) + 1, on a alors :
3x + 7 − 5x − 3 = 4x − 2 − 4x + 1
3x − 5x − 4x + 4x = −7 + 3 − 2 + 1
−2x = −5
( )
5
5
S =
x=
2
2
x 1 + 5x
1
, on a alors :
2) 3 + (x − 4) − =
3
2
6
(×6)
3) 2x −
18 + 2(x − 4) − 3x = 1 + 5x
18 + 2x − 8 − 3x = 1 + 5x
2x − 3x − 5x = −18 + 8 + 1
−6x = −9
( )
3
3
x=
S =
2
2
3x + 1 3x − 1 3x + 1
=
+
, on a alors :
4
8
2
(×8)
16x − 2(3x + 1) = 3x − 1 + 4(3x + 1)
16x − 6x − 2 = 3x − 1 + 12x + 4
16x − 6x − 3x − 12x = 2 − 1 + 4
−5x = 5
x = −1
S = {−1}
4) (2x + 1)(2 − 3x) + 6x2 = 2 − 3x, on a alors :
4x − 6x2 + 2 − 3x + 6x2 = 2 − 3x
4x − 3x + 3x = 2 − 2
4x = 0
x=0
S = {0}
Paul Milan
1
Seconde B
correction du contrôle de mathématiques
Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes
(5 points)
1) 2(3x + 4)(2x − 1) = 0 Èquation produit :
3x + 4 = 0 ou 2x − 1 = 0
1
4
ou
x=
x=−
3
2
(
)
4 1
S = − ;
3 2
2) (2x + 3)(7x + 2) − (4x + 1)(2x + 3) = 0
On factorise par (2x + 3) :
(2x + 3)[(7x + 2) − (4x + 1)] = 0
(2x + 3)(7x + 2 − 4x − 1) = 0
(2x + 3)(3x + 1) = 0
2x + 3 = 0 ou 3x + 1 = 0
1
3
ou
x=−
x=−
2
3
)
(
3 1
S = − ;−
2 3
3) x2 − 4x(x − 3) = 0 On factorise par x :
x[x − 4(x − 3)] = 0
x(x − 4x + 12) = 0
x(−3x + 12) = 0
−3x(x − 4) = 0
x = 0 ou
x−4=0
x=4
S = {0; 4}
4) 4x2 + 28x + 49 = 0
2
(2x + 7) = 0
On factorise par une l’identité remarquable :
⇔
2x + 7 = 0
⇔
7
x=−
2
⇔
( )
7
S = −
2
5) (x − 3)(x + 2) + (x − 3)(2x + 3) + x2 − 9 = 0 On met en évidence un facteur commum :
(x − 3)(x + 2) + (x − 3)(2x + 3) + (x + 3)(x − 3) = 0
(x − 3)(x + 2 + 2x + 3 + x + 3) = 0
(x − 3)(4x + 8) = 0
4(x − 3)(x + 2) = 0
x − 3 = 0 ou
x=3
ou
x+2=0
x = −2
S = {−2; 3}
Paul Milan
2
Seconde B
correction du contrôle de mathématiques
6) (5x + 3)2 = (2 − 3x)2
Égalité de deux carrés :
5x + 3 = 2 − 3x
5x + 3x = 2 − 3
8x = 1
1
x=−
8
ou
ou
ou
5x + 3 = −2 + 3x
5x − 3x = −2 − 3
2x = −5
5
ou
x=−
2
(
)
5 1
S = − ;−
2 8
Exercice 3
Equation du troisième degré.
(3 points)
1) Résoudre dans R : (2x2 + 3)(x − 4) = 0
On a : ∀x ∈ R, 2x2 + 3 > 3 donc 2x2 + 3 , 0
On a alors qu’une seule solution : x = 4
soit
S = {4}
2) a) Développer, réduire et ordonner : P(x) = (x + 3)(2x − 5)(−x + 4)
On a :
P(x) = (2x2 − 5x + 6x − 15)(−x + 4)
= (2x2 + x − 15)(−x + 4)
= −2x3 + 8x2 − x2 + 4x + 15x − 60
= −2x3 + 7x2 + 19x − 60
b) Du a) on déduit que :
−2x3 + 7x2 + 19x − 60 = 0
⇔
(x + 3)(2x − 5)(−x + 4) = 0
On obtient les solutions suivantes :
x + 3 = 0 ou
x = −3
2x − 5 = 0 ou
5
ou
x=
ou
2
(
)
5
S = −3; ; 4
2
−x + 4 = 0
x=4
Exercice 4
Forme développée, semi-développée et factorisée
(4 points)
1) a) On a :
E(x) = 25x2 − 30x + 9 + (−2x + 2)(5x − 3)
= 25x2 − 30x + 9 − 10x2 + 6x + 10x − 6
= 15x2 − 14x + 3
b) On factorise par (5x − 3)
E(x) = (5x − 3)[(5x − 3) − 2(x − 1)]
= (5x − 3)(5x − 3 − 2x + 2)
= (5x − 3)(3x − 1)
Paul Milan
3
Seconde B
correction du contrôle de mathématiques
2) a) E(x) = 0
⇔
(5x − 3)(3x − 1) = 0
5x − 3 = 0
3
x=
5
ou 3x − 1 = 0
1
ou
x=
3
(
)
1 3
S =
;
3 5
b) E(x) = 3
⇔
15x2 − 14x + 3 = 3
x=0
c) E(x) = (5x − 3)2
⇔
⇔
x(15x − 14) = 0
ou 15x − 14 = 0
14
x=
15
(
)
14
S = 0;
15
(5x − 3)2 − 2(x − 1)(5x − 3) = (5x − 3)2
⇔
2x(x − 1)(5x − 3) = 0
x − 1 = 0 ou
5x − 3 = 0
3
x=1
ou
x=
5
(
)
3
S =
;1
5
Exercice 5
Problèmes.
(4 points)
1) Soit x : prix initial d’un chemise en e.
On calcule ce que le commerçant a encaissé :
43x + 17(x − 1) + 1, 5(100 − 43 − 17) = 1243
43x + 17x − 17 + 1, 5 × 40 = 1243
60x = 1243 + 17 − 60
60x = 1200 ⇔ x = 20
Le prix initial de la chemise est de 20 e.
2) Soit x : l’âge de Xavier
On fait la somme des âges des 3 frères :
(x − 3) + x + (x + 5) = 26
3x + 2 = 26
3x = 24
⇔
x=8
Xavier a donc 8 ans, son petit frère 5 ans et son grand frère 13 ans.
Paul Milan
4
Seconde B