Télécharger - Génie Industriel

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Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques - Tanger
[email protected] Année universitaire 2012-2013
(portail E.E.A et G.ID )
Calcul des Prbabilités
Cours et Exercices
Pour
Génie Industriel
&
Génie Electrique- Electronique
Par
Settati Adel

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Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et
de la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et les
lois de probabilités d’usage courant.
Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes références, des ou-
vrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de
plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance.
Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestions
ou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.

Table des matières
Introduction 5
1 Calcul des probabilités 7
1.1 Permutations............................... 7
1.1.1 Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Arrangements .............................. 8
1.2.1 Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise) 8
1.2.2 Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise) 9
1.3 Combinaisons .............................. 9
1.3.1 Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . . 9
1.3.2 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exercices ................................. 10
1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2 Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.3 Indépendance.......................... 16
1.9 Exercices ................................. 16
2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 19
2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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4TABLE DES MATIÈRES
2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Variance ............................. 22
2.3.3 Covariance............................ 23
2.3.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 23
2.3.5 Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 LoideBernoulli......................... 25
2.4.3 Loibinomiale.......................... 25
2.4.4 Loigéométrique......................... 27
2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . . 27
2.5.1 LoidePoisson.......................... 27
2.5.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 28
2.6 Exercices ................................. 29
2.6.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 31
3.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Quantiles............................. 32
3.1.3 Mode............................... 32
3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Laloiuniforme ......................... 33
3.2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3 Laloinormale.......................... 34
3.2.4 Cas particulier : La loi normale centrée réduite . . . . . . . 34
3.2.5 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Approximations............................. 35
3.4 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRES 5
3.4.1 Fonction densité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Exercices ................................. 37