Télécharger - Génie Industriel

1
Université Abdelmalek Essaâdi
[email protected]
Faculté des Sciences et Techniques - Tanger
Année universitaire 2012-2013
(portail E.E.A et G.ID )
Calcul des Prbabilités
Cours et Exercices
Pour
Génie Industriel
&
Génie Electrique- Electronique
Par
Settati Adel
2
Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et
de la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et les
lois de probabilités d’usage courant.
Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes références, des ouvrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de
plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance.
Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestions
ou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.
Table des matières
Introduction
5
1 Calcul des probabilités
7
1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise)
8
1.2.2
Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise)
9
1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1
Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . .
9
1.3.2
Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . .
15
1.8.1
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8.2
Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8.3
Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles
2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
19
19
4
TABLE DES MATIÈRES
2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.1
Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.2
Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.3
Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.4
Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . .
23
2.3.5
Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4.1
Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4.2
Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.3
Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.4
Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . .
27
2.5.1
Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.5.2
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
28
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.6.1
Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles
3.1
29
31
Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.1
Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.2
Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.3
Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.1
La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.2
La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.3
La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.4
Cas particulier : La loi normale centrée réduite . . . . . . .
34
3.2.5
Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.3 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
TABLE DES MATIÈRES
3.4.1
5
Fonction densité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Calcul des probabilités
1.1
1.1.1
Permutations
Permutations sans répétition
Définition 1.1.1. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est un
echantillon ordonné sans répétitions de E tout entier (on écrit EOR(n, n)).
Le nombre de permutations de E est :
Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 = n!.
Remarque 1.1.1. Par convention, on pose 0 ! = 1.
Exemple 1.1.1. Le nombre de permutation de l’ensemble {0, 1, 2, 3} est 4 !=24.
Exerice 1.1.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence par
un 7 et soit divisible par 5.
Réponse : 1440.
1.1.2
Permutations avec répétitions
Définition 1.1.2. Soit E un ensemble à n éléments comportant :
n1 éléments d’un premier type, indiscernables entre eux,
n2 éléments d’un second type, indiscernables entre eux,
...
nk élément d’un k-ième type, indiscernables entre eux. Une permutation avec répétitions (PAR(n, n1 , ..., nk )) de ces n éléments est une disposition ordonnée de ces éléments.
7
8
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
Le nombre de permutations de E est :
Pn,n1 ,...,nk =
n!
.
n1 ! × n2 ! × ... × nk !
Exemple 1.1.2. Combien de mots différents peut-on former à partir des lettres A, B, B, C, A, D, B ?
Il y a
7!
P7,2,3 =
420 mots possibles.
2! × 3!
Exerice 1.1.2. On jette successivement 12 dés. On appelle "résultat" une suite ordonnée de 12 points emmenés.
1. Combien y a-t-il de résultats où chaque face est emmenée 2 fois ?
Réponse : P12,2,2,2,2,2,2
2. Combien y a-t-il de résultats où la face "1" se retrouve 5 fois, "2" 3 fois, "3" 3
fois, et "4" 1 fois ?
Réponse : P12,5,3,3,1,0,0 .
1.2
1.2.1
Arrangements
Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise)
Définition 1.2.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, un arrangement de p
éléments choisis parmi n est un echantillon ordonné sans répétition (EOR(p, n)) de E
ayant p éléments.
Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est :
p
An =
n!
.
(n − p)!
Remarque 1.2.1. Pour p = n, on retrouve le cas de la permutation sans répétition :
Ann =
n!
= n!.
(n − n)!
Exemple 1.2.1. On tire 2 boules numérotées prises parmi 3, sans remise : il y a
A23 =
3!
1!
possibilités.
Exerice 1.2.1. Donner le nombre de podiums possibles dans une course opposant 8
8!
athlètes. Réponse : A83 = 5!
= 6 × 7 × 8 = 336.
1.3. COMBINAISONS
1.2.2
9
Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise)
Définition 1.2.2. Soit E un ensemble à n éléments. Un arrangement avec répétitions
de p éléments choisis parmi n est un echantillon ordonné avec répétition (EOR(p, n))
de E ayant p éléments.
Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est :
np .
Exemple 1.2.2. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites
différentes de pile ou face ? Il y en a : 23 .
Exerice 1.2.2. On tire 4 boules numérotées prises parmi 20, avec remise. Donner le
nombre de résultats possibles.
1.3
1.3.1
Combinaisons
Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané)
Définition 1.3.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, une combinaison sans
répétition de p éléments choisis parmi n EOR(p, n) est un echantillon de E ayant p
éléments.
Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est :
p
Cn =
n!
.
p!(n − p)!
Propriétés 1.3.1. Cn0 = Cnn = 1 et Cn1 = Cnn−1 = n.
Exemple 1.3.1. On tire simultanément (à la fois) 6 boules numérotées prises parmi
10 : il y a
10!
6
C10
=
résultats possibles.
6!4!
Exerice 1.3.1. Monter pour p ≤ n que
p
n−p
Cn = Cn ,
et
p
p
p−1
Cn = Cn−1 + Cn−1 .
10
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
1.3.2
Combinaisons avec répétitions
Définition 1.3.2. Soit p, n ≥ 0 deux entiers, une suite (p1 , ..., pn ) d’entiers positifs ou
nuls satisfaisant la relation
p = p1 + ... + pn
est appelée décomposition de p en p1 + ... + pn .
Résultat admis : Le nombre de combinaison avec répétitions (ou EOR(p, n)) est égale
au nombre de décomposition (D(p, n) ) de p objets pris parmi n est : il y en a
p
= Cn+p−1 .
Exemple 1.3.2. Soit f une fonction, à 2 variables, de classe C ∞ . Le nombre de dérivées
partielles d’odre 3 de f est
3
K23 = C2+3−1
= 4.
1.4
Exercices
p
p
Exerice 1.4.1. Donner le nombre de monômes distincts x11 ...xnn dans le développement de
(x1 + ... + xn )p .
Exerice 1.4.2. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.
1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ?
2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ?
3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ?
Exerice 1.4.3. On doit asseoir 7 personnes discernables sur 7 chaises discernables.
1. Donner le nombre de possibilités.
2. Donner le nombre de possibilités où la personne numéro 7 est sur la chaise numéro 5 ou 6.
Exerice 1.4.4. On répond par OUI ou NON à un questionnaire de 4 questions.
1. Donner le nombre de réponses.
2. Donner le nombre de réponses qui comportent au moins un OUI.
Exerice 1.4.5. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places.
Combien de possibilités peut-on dénombrer ?
Exerice 1.4.6. Une course comporte 5 chevaux.
1. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre.
1.4. EXERCICES
11
2. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre qui comportent le cheval 4.
Exerice 1.4.7. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes
se présentent.
1. Combien de recrutements distincts sont possibles ?
2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements
distincts sont possibles ?
Exerice 1.4.8. A partir d’un groupe de 5 hommes et 7 femmes on veut former
un comité de 5 personnes : toutes les personnes du groupe sont discernables.
1. Donner le nombre de comités possibles.
2. Donner le nombre de comités comportant 2 hommes et 3 femmes.
3. Donner le nombre de comités comportant au plus deux hommes.
Exerice 1.4.9. Une entreprise fabrique 4 types de pièces numérotées. On dispose d’un
stock de :
1. 8 pièces de type A,
2. 7 pièces de type B,
3. 6 pièces de type C,
4. 5 pièces de type D.
De combien de manières distinctes peut-on constituer :
1. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A ?
2. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A et au moins une pièce B ?
Exerice 1.4.10. 5 films discernables sont classés de 1 à 10.
1. Nb de classements
2. Nb de classements sachant que le film 2 a la note 4
3. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois
4. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois
Exerice 1.4.11. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordre
l’apparition de PILE ou FACE :
1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues
2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE
3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE
4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE
Exerice 1.4.12. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombre
de fois où chaque face est apparue.
12
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
1. Donner le nombre de résultats
2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2
Exerice 1.4.13. Une urne comptient 3 boules numérotées 1 ; 2 ; 3 : On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue.
1. Donner le nombre de résultats.
2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue.
3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins
une fois.
Exerice 1.4.14. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables.
1. Nb affectations.
2. Nb affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants.
3. Nb affectations si chaque l’école reçoit au moins un enseignant.
Exerice 1.4.15. Une personne dispose de 20000 e à investir sur 4 placements discernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants :
1. certains placements peuvent être ignorés.
2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro.
1.5
Espace fondamental et événements
Définition 1.5.1. On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut
prévoir le résultat.
Exemple 1.5.1. Un lancer de dé est une expérience aléatoire.
Définition 1.5.2. On appelle événement élémentaire ou encore issue le résultat d’une
expérience aléatoire.
Exemple 1.5.2. J’obtiens un "4" est un événement élémentaire.
Définition 1.5.3. On appelle événement un ensemble d’événements élémentaires.
Exemple 1.5.3. "J’obtiens un nombre pair" est un événement.
Définition 1.5.4. On appelle espace fondamental ou univers, noté Ω, l’ensemble de
tous les événements élémentaires possibles.
Exemple 1.5.4. Pour un lancer d’un dé l’espace fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Remarque 1.5.1. Chaque événement peut ainsi être vu comme un sous-ensemble de
Ω qu’on nommera avec une lettre majuscule A, B,...
Ω est l’événement certain et l’événement vide sera noté ∅.
1.6. CALCUL DES PROBABILITÉS
13
Exemple 1.5.5. L’événement "j’obtiens un 5" s’écrit aussi A = {5}, l’événement "j’obtiens un nombre impair" B = {1, 3, 5}.
Notation. Souvent, en calcul des probabilités, on se rammène à combiner des événements. On dispose de plusieurs opérations :
(i) Le complémentaire de l’événement A est noté A,
(ii) La réunion de deux événements A et B est notée A ∪ B,
(iii) L’intersection de deux événements A et B est notée A ∩ B.
Exemple 1.5.6. Dans le cas du lancer de dé, considérant les événements A = {5} et
B = {1, 3, 5} on a :
A = {1; 2; 3; 4; 6},
A ∪ B = {1; 3; 5},
A ∩ B = {5}.
Définition 1.5.5. Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints. si
A ∩ B = ∅.
Exemple 1.5.7. Les événements {1; 3; 5} et {2; 4} sont incompatibles.
Propriétés 1.5.1. Pour deux ensembles finis E et F de Ω, on a :
Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F) − Card(E ∩ F).
Si, de plus, Ω est fini on a,
Card(E) = Card(Ω) − Card(E).
1.6
Calcul des probabilités
Définition 1.6.1. On appelle probabilité sur l’espace fondamental Ω une application
P à valeurs dans [0, 1] telle que
P (Ω) = 1,
et si A1 et A2 sont deux parties disjointes de Ω, on a
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Propriétés 1.6.1. On a les propriétés suivantes
14
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
(i) P (A) = 1 − P (A).
(ii) P (∅) = 0.
(iii) Si A ⊂ B alors P (A) ≤ P (B).
(iv) 0 ≤ P (A) ≤ 1.
(v) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
1.7
Probabilité sur un ensemble fini
On suppose que l’espace fondamental Ω est fini :
Ω = {ω1 , ω2 , ..., ω3 }.
On peut construire une probabilité P en se donnant des nombres pi = P (ωi ) tels
que
0 ≤ pi ≤ 1, ∀i ∈ {1, 2, ..., n},
et
p1 + p2 + ... + pn = 1.
Cas d’équiprobabilité. Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Cette probabilité vaut alors n1 et dans ce
cas la probabilité d’un événement A contenant k événements élémentaires vaut
k
n . Plus généralement, on écrit :
P (A) =
card(A)
.
card(Ω)
On retrouve alors la définition d’une probabilité comme étant le quotient :
P (A) =
nombre de cas favorables
.
nombre de cas possibles
Exemple 1.7.1. Soit Ω = {1, 2, ..., 6}. On définit :
P ({i}) =
1
6
( dé équilibré). Dans ce cas,
P ({1, 3, 6}) =
P ({i}) = 71 , i ≤ 5 et P ({6}) =
2
7
1
2
( dé pipé). Dans ce cas
4
P ({1, 3, 6}) = .
7
1.8. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - INDÉPENDANCE
1.8
1.8.1
15
Probabilités conditionnelles - Indépendance
Probabilités conditionnelles
Définition 1.8.1. Soit P une probabilité définie sur un espace fondamental et B un
événement tel que P (B) > 0. Pour un événement quelconque A, on appelle probabilité
conditionnelle de A sachant que B est réalisé, le nombre
P (A/B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
En pratique, il est courant de connaître directement P (A/B), ce qui permet de
calculer la probabilité conjointe par la formule des probabilités composées :
P (A ∩ B) = P (B) × P (A/B).
Exemple 1.8.1. Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de A sachant B vaut :
P (A/B) =
P (A ∩ B) P (A)
=
=
P (B)
P (B)
1
6
1
2
1
= .
3
En effet, il s’agit bien de la probabilité d’obtenir un 6 sachant qu’on a un nombre pair.
Propriétés 1.8.1. (Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P (B) >
0, alors
P (B/A) × P (A)
.
P (A/B) =
P (B)
Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P (A/B) et P (B/A).
1.8.2
Partitions - Probabilités totales
Définition 1.8.2. Les événements B1 ; ...; Bn forment une partition de Ω signifie que’ils
sont deux à deux incompatibles et que
n
[
Bi = Ω.
i=1
Propriétés 1.8.2. (Formule des probabilités totales). Si les événements B1 ; ...; Bn forment
une partition de Ω, alors pour tout événement A
P (A) =
n
X
i=1
P (A ∩ Bi ) =
n
X
i=1
P (A/Bi ) × P (Bi ).
16
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
Propriétés 1.8.3. (Autre écriture de la Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P (B) > 0, alors
P (A/B) =
P (B/A) × P (A)
P (B/A) × P (A) + P (B/A) × P (A)
.
Plus généralement, si les événements H1 ; ...; Hn forment une partition de Ω alors pour
tout événement B,
P (Hj /A) × P (Hj )
P (Hj /B) = Pn
,
i=1 P (B/Hi ) × P (Hi )
pour tout j ∈ {1, 2, ..., n}.
1.8.3
Indépendance
Définition 1.8.3. Deux éléments A et B sont dit indépendants pour une probabilité P
si
P (A ∩ B) = P (A) × P (A)
Remarque 1.8.1. Il ne faut pas confondre événements indépendants et incompatibles.
Dans le cas d’événements indépendants, la réalisation de l’un des événements n’empêche pas celle du second. Par contre au d’événements incompatibles, la réalisation de
l’un des événements interdit celle de l’autre.
Exemple 1.8.2. On lance deux dés simultanément. On note A, B et C les événements
suivants : "j’obtiens 1 avec le premier dé", " j’obtiens 4 avec le second dé" et "j’obtiens 3
avec le premier dé". Les événements A et B sont indépendants alors que les événements
A et C sont incompatibles.
Propriétés 1.8.4. Si A et B sont indépendants pour P , alors :
(i) P (B/A) = P (B) si P (A) , 0 ;
(ii) P (A/B) = P (A) si P (B) , 0 ;
(iii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) × P (A)
1.9
Exercices
Exerice 1.9.1. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque
repas. La probabilité que l’un d’eux soit une banane est 0.4, une orange 0.8. La probabilité que les deux desserts soient une banane et une orange est 0.3. Calculer la
probabilité que l’on propose
1. une banane et pas d’orange ?
2. une orange et pas de banane ?
1.9. EXERCICES
17
3. ni banane, ni orange ?
Exerice 1.9.2. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite indépendamment et on
note dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : P (PILE)=2/3. Calculer la probabilité
qu’un lancer comporte deux PILE exactement.
Exerice 1.9.3. Une salle contient n personnes dont les dates de naissance sont indépendantes. Donner la probabilité qu’une personne (au moins) soit née le même jour que
moi.
Exerice 1.9.4. On jette deux dés. Soit A l’événement "la somme des chiffres indiqués
est impaire" et soit B l’événement "l’un des dés indique le chiffre 1". Les événements A
et B sont-ils indépendants ?
Exerice 1.9.5. On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois in
dépendamment : on note Ωn l’événement "le premier 5 est au rang n" et A l’événement
le "le 5 apparaît avant le 2". Calculer :
1. P (Ωn )
2. P (A ∩ Ωn )
3. P (A)
Exerice 1.9.6. Trois personnes vont au cinéma. Il passe trois films différents. Chaque
personne choisit son film au hasard et indépendamment des autres. Quelle est la probabilité que les trois personnes aient vu les trois films différents ?
Exerice 1.9.7. On lance une pièce de monnaie 4 fois de suite et on note dans l’ordre
l’apparition de PILE ou FACE :
1. Calculer la probabilité d’obtenir le lancer PFPP.
2. Calculer la probabilité que le lancer finisse par FACE.
3. Calculer la probabilité que le lancer comporte au moins un PILE.
Exerice 1.9.8. On lance 2 dés équiprobables à 6 faces. Pb que la somme des chiffres
soit supérieure ou égale à 10.
Exerice 1.9.9. Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes : on
choisit 5 personnes.
1. Calculer la probabilité qu’il n y ait aucun homme
2. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hommes et 3 femmes.
Exerice 1.9.10. On répartit 10 oeufs indiscernables dans 3 paniers discernables.
1. Calculer la probabilité de la répartition (2, 5, 3)
2. Calculer la probabilité que tous les oeufs soient dans le même panier
3. Calculer la probabilité que tous les oeufs ne soient pas dans le même panier
18
CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS
Exerice 1.9.11. On considère une population composée de 48% d’hommes et de 52%
de femmes. La probabilité qu’un homme soit daltonien est 0.05, la probabilité qu’une
femme soit daltonienne est 0.0025. Quelle proportion de la population est-elle daltonienne ?
Exerice 1.9.12. On considère un dé à six faces avec lequel on effectue un lancer. On
note A l’événement "le lancer est un nombre pair" et B l’événement "le lancer est un
multiple de trois". Dans chacun des deux cas suivants, définir la probabilité utilisée et
étudier l’indépendance des événements A et B :
1. On considère que le dé est équilibré.
2. Le dé est pipé et on a deux fois plus de chances d’obtenir un 6 qu’un autre résultat
et que les nombres de 1 à 5 ont la même probabilité d’apparaître.
Exerice 1.9.13. Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et une
machine B en fabrique 60%. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A est
de 3% et par B de 2%. On choisit une pièce au hasard.
1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.
2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par
A.
Exerice 1.9.14. Pour se rendre au Lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires :
A, B, C et D. La probabilité qu’il a de choisir A (respectivement B, C) est 1/3 (resp
1/4,1/12 ). La probabilité d’arriver en retard en empruntant A (resp. B, C) est 1/20 .
En empruntant D, il n’est jamais en retard.
1. Quelle est la probabilité : qu’il choisisse l’itinéraire D ? qu’il arrive en retard ?
2. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait
emprunté l’itinéraire C ?
Exerice 1.9.15. Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques,
notées respectivement M1, M2 et M3. 3 La moitié des appareils de son stock provient
de M1, un huitième de M2 et trois huitième de M3. Ce grossiste sait que dans son stock,
13% des appareils de la marque M1 sont rouges, que 5% des appareils de la marque
M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi. On choisit au
hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste :
1. Quelle est la probabilité qu’il vienne de M3 ?
2. Quelle est la probabilité qu’il soit rouge sachant qu’il vienne de M2 ?
3. Quelle est la probabilité que l’appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?
4. Après examen, on s’apperçoit que l’appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit de la marque M1 ?
Exerice 1.9.16. Un serveur de banque de données a calculé qu’un individu se trompe
1 fois sur 20 en saisissant son code de carte bancaire. Sachant que la machine accepte
trois essais de code, quelle est la probabilité de bloquer sa carte bancaire ?
Chapitre 2
Variables aléatoires discrètes - Lois
discrètes usuelles
2.1
Variables aléatoires discrètes
Définition 2.1.1. Soit Ω un espace fondamental et P une probabilité sur Ω. On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans une partie de finie ou
dénombrable de R :
X
Ω −→ R
ω −→ X(ω) avec X(ω) fini ou dénombrable.
Exemple 2.1.1. Soient Ω = {1, 2, ..., 6}, et P1 ({i}) = 61 . On définit :
1. X1 (ω) = ω :
P1 (X = i) = P1 ({ω ∈ Ω, X1 (ω) = i}) = P1 ({i}) =
1
6
2. X2 (ω) = 1{1,2,4} (ω) :
P1 (X2 = 1) = P1 ({1, 2, 4}) = P1 ({1}) + P1 ({2}) + P1 ({4}) =
1
2
Définition 2.1.2. Etant donnée une variable aléatoire X telle que X(Ω) = {x1 , ..., xn },
on appelle loi de probabilité ou distribution de probabilité de X une expression des
probabilités
pi = P (X = xi ); i ∈ {1, 2..., n}.
Remarque 2.1.1. Les probabilités pi trouvées vérifient alors :
n
X
pi
i=1
19
20CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
2. Si X(Ω) = {x1 , x2 ..., } est infini alors la loi de probabilité de X est définie par
pi = P (X = xi ); i ∈ {1, 2..., }, bien
∞
X
pi = 1.
i=1
Exemple 2.1.2. On lance deux pièces de monnaie. L’ensemble fondamental comprend
4 événements élémentaires notés PP ; PF ; FP ; FF, de probabilité chacun 1/4. On note
X la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenus. X prend les valeurs 0, 1
et 2. On a
P (X = 0) = 1/4, P (X = 1) = 1/2, P (X = 2) = 1/4.
On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau :
x
0
P(X = x) 1/4
1
1/2
2
1/4
Total
1
Définition 2.1.3. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X(Ω) = {x1 , ..., xn },
avec x1 < ... < xn . On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :
F:
R −→ [0, 1]
ω −→ P (X ≤ x).
Propriétés 2.1.1. On a les propriétés suivantes
(i) F est une fonction en escalier croissante.
(ii) Si x < x1 , alors F(x) = 0.
(iv) Si xj ≤ x < xj+1 , alors F(x) =
Pj
i=1 pi .
(v) Si x ≥ xn , alors F(x) = 1.
2.2
Variables aléatoires indépendantes
On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur l’univers. On
note
X(Ω) = {x1 , ..., xp }
et
Y (Ω) = {y1 , ..., xq }.
La loi de probabilité du couple (X, Y ) est définie par la donnée des nombres :
pij = P (X = xi , Y = yj ), pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q
2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE
21
On représentera la loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes
par un tableau avec p lignes et q colonnes. En sommant les éléments de chaque
ligne (resp. colonne), on trouve la loi de X (resp. Y ), à savoir les valeurs de
pi• =
q
X
P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi )
j=1
et
p•j =
p
X
P (X = xi , Y = yj ) = P (Y = yj ).
i=1
On les appelle lois marginales de X et Y .
Définition 2.2.1. Les deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si les
événements (X = xi ) et (Y = yj ) sont indépendants pour toutes valeurs de i et j, en
d’autres termes si
P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ) × P (Y = yj ),
ou encore
pij = pi• × p•j .
Exemple 2.2.1. Jeu de cartes : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Le
résultat de ce tirage est représenté par le couple aléatoire (X, Y ), où X est la couleur et
Y la valeur. Autrement dit, X appartient à l’ensemble {Pique, Coeur, Carreau, Trèfle}
et Y à l’ensemble {7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As}. X et Y sont-elles indépendantes ?
X Y
Pique
Coeur
Carreau
Trèfle
p•j
2.3
2.3.1
7
1/32
1/32
1/32
1/32
1/8
8
1/32
1/32
1/32
1/32
1/8
9 10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Valet Dame Roi
.
.
1/32
.
.
1/32
.
.
1/32
.
.
1/32
.
.
1/8
As
1/32
1/32
1/32
1/32
1/8
pi•
1/4
1/4
1/4
1/4
1
Paramètres d’une variable aléatoire
Espérance mathématique
Elle correspond à la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire X pondérées par la probabilité d’obtenir cette valeur. Cette moyenne, appelée espérance
mathématique joue un rÃťle central en probabilités et statisques.
22CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
Définition 2.3.1. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que
X(Ω) = {x1 , ..., xp },
avec x1 < ... < xn . On appelle expérance mathématique de X le réel
E(X) =
n
X
xi P (X = xi ).
i=1
Exemple 2.3.1. Dans le cas du lancer des deux pièces de monnaie, on trouve :
E(X) = 0 ×
1
1
1
+1× +2× .
4
2
4
Remarque 2.3.1. L’espérance est la version probabiliste de la moyenne ou du barycentre.
2.3.2
Variance
L’espérance mathématique fournit une valeur moyenne des observations. On s’intéresse souvent à la dispersion, des valeurs prises par la variable, par rapport à la
valeur moyenne, en d’autres termes si les valeurs observées seront plutôt voisines
de la valeur moyenne ou si au contraire elle peuvent s’en éloigner fortement. Autrement dit, L’espérance mathématique (ou la moyenne) est-elle représentative ?
Définition 2.3.2. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que
X(Ω) = {x1 , ..., xp }
avec x1 < ... < xn . On appelle variance de X le réel
2
V (X) = E(X − E(X)) =
n
X
(xi − E(X))2 P (X = xi ).
i=1
On appelle écart type de X le réel
p
σ (X) = V (X).
Propriétés 2.3.1. On a la relation suivante :
2
2
V (X) = E(X ) − E(X) =
n
X
i=1
xi2 P (X = xi ) − E(X)2
2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE
2.3.3
23
Covariance
Lorsqu’on étudie deux variables aléatoires simultanément, on souhaite connaître
leur degré d’indépendance. Pour cela on fait appel à deux indicateurs : la covariance et le coefficient de corrélation.
Définition 2.3.3. Soient X et Y deux variables aléatoires. La covariance de X et Y est
le nombre réel
Cov(X, Y ) = E(X − E(X))(Y − E(Y )),
et le coefficient de corrélation
Cov(X, Y )
Cov(X, Y )
=
.
ρ= p
V (X)V (Y ) σ (X)σ (Y )
Propriétés 2.3.2. On a la relation suivante :
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
2.3.4
Opérations sur les variables aléatoires
On a les résultats suivants :
Propriétés 2.3.3. Pour tous réel a et b,
E(aX) = aE(X), E(X + Y ) = E(X) + E(Y ),
et
V (aX + b) = a2 V (X).
Propriétés 2.3.4. Pour X une variable aléatoire, on appelle variable centrée réduite la
variable aléatoire
X − E(X)
,
Y=
σ (X)
Y est alors telle que
E(Y ) = 0, σ (Y ) = 1.
Propriétés 2.3.5. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes alors
E(XY ) = E(X)E(Y ),
Cov(X, Y ) = 0,
et
V (aX + bY ) = a2 V (X) + b2 V (Y ).
24CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
2.3.5
Inégalité de Tchebychev
La variance d’une variable aléatoire mesure la concentration de la variable autour
de sa valeur moyenne. C’est ce qu’exprime l’inégalité de Tchebychev.
Propriétés 2.3.6. (Inégalité de Tchebychev) Si X est une variable aléatoire d’espérance
de variance finies alors pour tout ε > 0, on a
P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤
2.4
2.4.1
V (X)
.
ε2
Lois discrètes usuelles
Loi Uniforme discrète
Définition 2.4.1. Une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs possibles k1 , k2 , ..., kn
équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur
ki est égale à 1/n. Autrement dit
1
P (X = k) = , ∀k ∈ {k1 , ..., kn }.
n
Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [a, b] si
P (X = k) =
1
, ∀k ∈ {a, ..., b}.
b−a+1
Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [1, n] si
1
P (X = k) = , ∀k ∈ {1, ..., n}.
n
Exemple 2.4.1. Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé,
la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.
Propriétés 2.4.1. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre n
Valeurs possibles X(Ω) = {1, ..., n}.
Probabilités P (X = k) = n1 , ∀k ∈ {1, ..., n}.
n+1
2 .
n2 −1
12 .
Espérance E(X) =
Variance V (X) =
Notation X ∼ U ([1, n]).
2.4. LOIS DISCRÈTES USUELLES
2.4.2
25
Loi de Bernoulli
Définition 2.4.2. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1] une expérience aléatoire qui a deux possibilités, l’une appelée succès de probabilité p et l’autre
appelée échec de probabilité 1-p. On lui associe la variable aléatoire Y qui affecte la
valeur 1 au succès et la valeur 0 à l’échec. On dit que Y suit une loi de Bernoulli B(p)
de paramètre p.
Exemple 2.4.2. On effectue un tirage d’une boule dans une urne contenant des boules
blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 − p.
La variable aléatoire X désignant le nombre de boules blanches tirées suit une loi de
Bernoulli B(p) de paramètre p.
Propriétés 2.4.2. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre p.
Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1}.
Probabilités P (X = 0) = q = 1 − p, P (X = 1) = p.
Espérance E(X) = p.
Variance V (X) = pq.
Notation X ∼ B(p) ≡ B(1, p).
2.4.3
Loi binomiale
Exemple 2.4.3. Si on s’intéresse au nombre de succès après avoir répéter de façon
indépendante une épreuve de Bernoulli on considère la variable aléatoire X qui est
égale à X = Y1 +...+Yn où les Yi sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent
une loi de Bernoulli de paramètre p. La loi X compte le nombre de succès de n épreuves
de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p. Ainsi
P (X = k) = Cnk pk qn−k , ∀k ∈ {0, 1, ..., n},
et on dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Exemple 2.4.4. On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant des boules
blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 − p.
Soit X le nombre de boules blanches tirées.
Propriétés 2.4.3. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre n et p
Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1, ..., n}.
Probabilités P (X = k) = Cnk pk qn−k , ∀k ∈ {0, 1, ..., n}.
26CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
Espérance E(X) = np.
Variance V (X) = npq.
Notation X ∼ B(n, p).
Remarque 2.4.1. Pour n = 1, on retrouve la loi de Bernoulli.
Exemple 2.4.5. Si on lance n fois une pièce de monaie, la variable aléatoire X désignant le nombre de piles obtenus suit une loi binomiale B(n, 1/2). En effet
k n−k
1
k 1
P (X = k) = P (on obtient k piles en n lancers) = Cn
2
2
1 k
= n Cn ,
2
et ceci pour tout k ∈ {0, 1, ..., n}.
Exemple 2.4.6. Une pièce de monnaie est truquée de sorte qu’à chaque lancer j’ai une
chance sur trois de faire "pile". Quelle est la probabilité en 4 lancers d’avoir une fois
face ? Réponse :
P (on obtient 1 face en 4 lancers) = P (B(4, 2/3) = 1)
1 4−1
1
2
= C41
3
3
8
2 1
= 4× ×
=
.
3 27 81
Exemple 2.4.7. Dans une usine de voitures on fabrique 700 voitures par jour. La
probabilité pour qu’une voiture ait besoin d’une retouche de finition est de 0.01 et
ne dépend pas des autres voitures. Le nombre de voitures produites par jour et ayant
besoin d’une retouche de finition suit donc une loi binomiale de paramètre (700, 0.01).
La probabilité pour que 10 voitures aient besoin d’une retouche dans la journée est
10
(0.01)10 (0.99)700−10 = 0.071.
P (B(700, 0.01) = 10) = C700
En moyenne, il y a E(B(700, 0.01)) = 700 × 0.01 = 7 voitures par jour qui ont besoin
d’une retouche (n = 700 et p = 0.01) avec une variance de 6.93.
Propriétés 2.4.4. On a les propriétés suivantes :
1. Si X1 , ..., Xn sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, alors
X1 + ... + Xn ∼ B(n, p).
2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que
X1 ∼ B(n1 , p), X2 ∼ B(n2 , p).
alors
X1 + X2 ∼ B(n1 + n2 , p).
2.5. LOI DE POISSON - APPROXIMATION D’UNE LOI BINOMIALE
2.4.4
27
Loi géométrique
Exemple 2.4.8. On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant des
boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion
q = 1 − p. Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche. On a
P (X = k) = pqk−1 , ∀k ∈ {1, 2, ...},
et on dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.
Propriétés 2.4.5. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre p
Valeurs possibles X(Ω) = {1, 2, ...}.
Probabilités P (X = k) = pqk−1 , ∀k ∈ {1, 2, ...}.
Espérance E(X) = 1/p.
Variance V (X) = q/p2 .
Notation X ∼ G(p).
Exerice 2.4.1. Soit S ∼ G(p) et T ∼ G(p). deux variables indépendantes. On cherche
la loi de Z = min(S, T ).
1. Pour k ∈ N, calculer P (S ≥ k).
2. En déduire P (Z ≥ k).
3. Quelle est la loi de Z ?
2.5
2.5.1
Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale
Loi de Poisson
Exemple 2.5.1. Soit X le nombre d’apparitions d’un événement rare sur un intervalle
de temps donné. On suppose souvent que
P (X = k) = e−λ
λk
, ∀k ∈ {0, 1, 2, ...},
k!
et on dit que X suit une loi de poisson de paramètre λ.
Remarque 2.5.1. • La loi de poisson s’applique souvent aux phénomènes accidentels
où la probabilité p est très faible (p < 0.05). Elle peut également dans certaines conditions être définie comme limite d’une loi binomiale.
28CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
• La loi de poisson est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares (c’està-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle
de temps donné par exemple :
Le nombre d’atomes désintégrés par unité de temps.
Le nombre de chèques émis sans provision.
Le nombre de fautes d’impression dans les pages d’un livre.
Le nombre de personnes atteintes d’une maladie.
Le nombre d’accidents sur une portion de route.
Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré.
Le nombre de décès par suicide.
Le nombre de déchets dans une fabrication.
Propriétés 2.5.1. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre λ
Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1, 2, ...} = N.
k
Probabilités P (X = k) = e−λ λk! , ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}.
Espérance E(X) = λ.
Variance V (X) = λ.
Notation X ∼ P (λ).
Propriétés 2.5.2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que
X1 ∼ P (λ1 ),
et
X2 ∼ P (λ2 )
alors
X1 + X1 ∼ P (λ1 + λ2 ).
2.5.2
Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Dans la loi binomiale, deux paramètres n et p interviennent ce qui peut compliquer le calcul des probabilités notamment lorsque n devient grand et p petit. On
utilise alors le résultat d’approximation suivant :
Propriétés 2.5.3. Si n est assez grand et p est assez petit alors on peut approcher la loi
binomiale B(n, p) par la loi de Poisson ayant la même espérance mathématique P (np).
Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque
n ≥ 30, p ≤ 0.1 et np ≤ 10.
Ces données ne sont pas standards, elles varient généralement d’un auteur à l’autre.
2.6. EXERCICES
2.6
2.6.1
29
Exercices
Variables aléatoires discrètes
Exerice 2.6.1. Lors d’une enquête, on a interrogé 5 hommes et 3 femmes. On choisit
au hasard et sans remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme. Soit
X le nombre de tirages nécessaires.
1. Déterminer les valeurs prises par X ainsi que sa loi de probabilité.
2. Calculer E(X).
Exerice 2.6.2. On lance simultanément deux dés bien équilibrés. On note X la valeur
absolue de la différence des nombres portés sur les faces supérieures.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Calculer E(X) et V ar(X).
Exerice 2.6.3. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :
x
1
P(X=x) 0.2
3
4
0.2 0.1
6
0.2
9
0.3
1. Tracer la fonction de répartition de X ?
2. Calculer E(X).
Exerice 2.6.4. On lance simultanément deux dés équilibrés, l’un rouge, l’autre blanc.
On note X le nombre indiqué par le dé rouge et Y le maximum des deux nombres
obtenus.
1. Déterminer la loi du couple (X ; Y ).
2. En déduire les lois de X et Y .
3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Exerice 2.6.5. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :
x
-2
P(X = x) 1/8
-1
1/4
0
1/5
1
1/8
2
3/10
Calculer E(X) et V (X).
Exerice 2.6.6. A un concours se présentent deux fois plus d’hommes que de femmes.
On tire une personne au hasard, et on appelle X la variable aléatoire "nombre de
femmes".
1. Quelle loi suit la variable X ?
2. Calculer E(X) et V (X).
30CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES
Exerice 2.6.7. La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de vie
supérieure à deux ans est égale à 0 ; 2. Sachant qu’un lustre possède cinq ampoules,
calculer :
1. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans,
2. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans,
3. la probabilité de changer toutes les ampoules en deux ans.
4. le nombre moyen d’ampoules changées en deux ans.
Exerice 2.6.8. Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq
parties. Calculer la probabilité pour qu’il gagne :
1. trois parties,
2. au plus une partie,
3. au moins deux parties.
Exerice 2.6.9. Pour accéder à un guichet automatique, il faut utiliser une carte magnétique et un code confidentiel. Un client tapant un code au hasard est refusé 999 fois
sur 1000. Soit X le nombre d’essais nécessaires pour accéder au guichet.
1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. Calculer P(X = 1).
3. Sachant qu’au bout de 3 essais infructueux, la carte est confisquée, calculer la
probabilité d’accéder au guichet par hasard.
4. Combien faut-il d’essais en moyenne pour accéder au guichet par hasard ?
Exerice 2.6.10. Le nombre d’ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin spécialisé suit une loi de Poisson de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans une
journée :
1. on ne vende aucun ordinateur,
2. on vende 4 ordinateurs,
3. on vende au moins un ordinateur,
4. le nombre d’ordinateurs vendus est compris entre 2 et 6.
Exerice 2.6.11. Lors d’un sondage portant sur 250 individus, 2acceptent de ne pas
rester anonymes. On appelle X le nombre de personnes ne souhaitant pas rester anonymes.
1. Quelle est la loi suivie par X ?
2. Après avoir justifié votre choix, donner la loi qui permet d’approcher la loi de X.
3. Calculer la probabilité que les 250 personnes souhaitent rester anonymes.
4. Calculer la probabilité que 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.
5. Calculer la probabilité que plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.
Chapitre 3
Variables aléatoires continues - Lois
continues usuelles
3.1
Variables aléatoires continues
Définition 3.1.1. Soit un espace fondamental, P une probabilité sur Ω et X une application de Ω dans R. On note F la fonction de répartition de X définie par :
F
R −→ [0, 1]
x −→ P (X ≤ x).
On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f positive
définie sur R telle que
Z +∞
f (t)dt = 1
−∞
et
Z
x
P (X ≤ x) =
f (t)dt.
−∞
Remarque 3.1.1. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Propriétés 3.1.1. On a les résultats suivants :
1. pour tout a ∈ R
P (X = a) = 0.
2. pour tout a ∈ R :
P (X ≤ a) = P (X < a).
3. si a < b, on a :
b
Z
P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F(b) − F(a) =
f (t)dt.
a
31
32CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
3.1.1
Paramètres d’une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f . Sous
réserve de convergence des intégrales, on définit :
• l’espérance mathématique de X par
+∞
Z
E(X) =
tf (t)dt.
−∞
• la variance de X :
2
Z
+∞
V (X) = E[(X − E(X))] =
= E(X 2 ) − (E(X))2 =
(t − E(X))2 f (t)dt.
Z−∞+∞
t 2 f (t)dt − (E(X))2 .
−∞
• l’écart type de X le réel
p
σ (X) = V (X).
3.1.2
Quantiles
Définition 3.1.2. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et α ∈
]0, 1[. On appelle quantile d’ordre α, tout réel xα tel que
P (X ≤ xα ) = α
ou encore
F(xα ) = α.
Remarque 3.1.2. Pour α = 1/2, on parle de médiane.
3.1.3
Mode
Définition 3.1.3. On appelle mode ( valeur dominante, valeur la plus probable) d’une
variable aléatoire, la valeur M0 pour laquelle la probabilité (ou la densité dans le cas
continu) est maximle.
Remarque 3.1.3. Lorsque la variable aléatoire X est continue, avec une fonction de
densité pourvue d’une dérivée première et d’une dérivée seconde, le mode M0 satisfait
à f 0 (M0 ) = 0 et f 00 (M0 ) < 0) (concavité vers le bas).
3.2. LOIS CONTINUES USUELLES
3.2
3.2.1
33
Lois continues usuelles
La loi uniforme
Définition 3.2.1. Une variable aléatoire continue X sui la loi uniforme sur l’intervalle
[a, b] si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
f (x) =
1
I
b − a [a,b](x)
Propriétés 3.2.1. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre les bornes a et b de l’intervalle
a+b
2
(b−a)2
12
Espérance
Variance
Notation X ∼ U ([a, b]).
3.2.2
La loi exponentielle
Définition 3.2.2. Une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
f (x) = λe−λx I[0,+∞[ .
Propriétés 3.2.2. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre λ
Espérance
Variance
1
λ
1
λ2
Notation X ∼ E(λ).
Remarque 3.2.1. Lorsqu’on se place dans un phénomène d’attente, alors la variable
aléatoire qui représente le temps d’attente entre deux événements successifs ou encore
une durée de vie, peut être modélisée par une loi exponentielle.
Exemple 3.2.1. Le temps d’attente moyen entre deux RER est de 5 minutes. La variable aléatoire X qui représente le temps d’attente (en minutes) entre deux RER peut
être modélisée par une loi exponentielle d’espérance égale à 5, c’est à dire de paramètre
1
5.
Exerice 3.2.1. On suppose que la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique
suit une loi exponentielle et vaut en moyenne 1000h. Quelle est la probabilité que cette
ampoule dure au moins 2000h ?
34CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
3.2.3
La loi normale
Définition 3.2.3. Une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètres
µ et σ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
f (x) = √
1
2πσ
e
−
(x−µ)2
2σ 2
.
Propriétés 3.2.3. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre µ et σ
Espérance µ
Variance σ 2
Notation X ∼ N (µ, σ ).
Propriétés 3.2.4. Si X1 ∼ N (µ1 , σ1 ) et X2 ∼ N (µ2 , σ2 ) et si X1 et X2 sont indépendantes, alors
!
q
2
2
X1 + X2 ∼ N µ1 + µ2 , σ1 + σ2 .
3.2.4
Cas particulier : La loi normale centrée réduite
Définition 3.2.4. Il s’agit de la loi normale obtenue pour µ = 0 et σ = 1. Sa densité f
est alors est définie sur R par :
x2
1
f (x) = √ e− 2 .
2π
Propriétés 3.2.5. On a les caractéristiques suivantes :
Paramètre 0 et 1
Espérance 0
Variance 1
Notation X ∼ N (0, 1).
Propriétés 3.2.6. Si X ∼ N (µ, σ ), alors la variable aléatoire
T =
X −µ
∼ N (0, 1).
σ
Remarque 3.2.2. Dans la pratique, pour calculer des probabilités, on dispose d’une
table pour la loi normale centrée réduite N (0, 1). Pour les autres lois normales, on se
X−µ
ramènera à la loi normale centrée réduite en posant T = σ ∼ N (0, 1).
3.3. APPROXIMATIONS
3.2.5
35
Le théorème central limite
Théorème 3.2.1. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes possédant toutes la même loi (i.i.d), d’espérance µ et d’écart-type σ . On définit :
Sn = X1 + ... + Xn ,
et
Sn − E(Sn ) Sn − nµ
Zn = p
=
√
σ n
V (Sn )
Alors pour tout réel x, on a :
lim FZn (x) = FN (0,1) (x),
n→∞
ou
lim P (Zn ≤ x) = P (N (0, 1) ≤ x),
n→∞
ou
1
lim P (Zn ≤ x) = √
n→∞
σ 2π
Z
x
x2
e− 2 dx.
−∞
Remarque 3.2.3. On dit encore que la suite des variables aléatoires Zn converge en
loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
3.3
Approximations
Approximation guassienne d’une loi binomiale. Si n ≥ 30 et npq ≥ 3 alors la loi
√
normale N (np, npq) constitue une bonne approximation de la loi binomiale B(n, p).
Autremnt dit, on a
FB(n,p) (x) ≈ FN (np,√npq) (x),
ou
√
P (B(n, p) ≤ x) ≈ P N (np, npq) ≤ x .
Approximation
guassienne d’une loi de poisson. Si λ ≥ 20 alors la loi normale
√
N (λ, λ) constitue une bonne approximation de de la loi de Poisson P (λ). Autremnt
dit, on a
FP (λ) (x) ≈ FN (λ,√λ) (x),
ou
√
P (P (λ) ≤ x) ≈ P N (λ, λ) ≤ x .
36CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
Remarque 3.3.1. On utilisera souvent la loi normale centrée réduite en écrivant
!
x − np
√
P N (np, npq) ≤ x = P N (0, 1) ≤ √
,
npq
et
3.4
!
√
x−λ
,
P N (λ, λ) ≤ x = P N (0, 1) ≤ √
λ
Couple de variables aléatoires
Définition 3.4.1. La fonction de répartition du couple (X, Y ) (ou fonction de répartition conjointe) est une fonction de R2 dans [0, 1] définie par
FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y).
Propriétés 3.4.1. On a les propriétés suivantes :
(i) limx,y→+∞ FX,Y (x, y) = 1
(ii) limx→−∞ FX,Y (x, y) = 0
(iii) limy→−∞ FX,Y (x, y) = 0
(iv) limx→+∞ FX,Y (x, y) = FY (y)
(v) limy→+∞ FX,Y (x, y) = FX (x)
3.4.1
Fonction densité conjointe
Définition 3.4.2. La fonction de densité du couple (X, Y ) est définie, si elle existe,
par pour tout x et y,
∂2 FX,Y (x, y)
fX,Y (x, y) =
∂x∂y
On peut également donner la fonction de rÂťepartition conjointe en fonction de
la fonction densité :
Zx Zy
FX,Y (x, y) =
fX,Y (u, v)dudv, ∀(x, y) ∈ R2 .
−∞
−∞
Plus généralement
Z Z
P (X, Y ∈ D) =
D
fX,Y (u, v)dudv, ∀(x, y) ∈ R2
3.5. EXERCICES
37
Exerice 3.4.1. Soit (X, Y ) un couple dont la loi conjointe est une loi uniforme sur
[0, 1] × [0, 1]
(
1, si (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]
f (x) =
0, sinon
1. Vérifier que f est bien une densité.
2. Soit
D = ((x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0 et x + y < 1.
Calculer P (X, Y ∈ D) .
Propriétés 3.4.2. On a les propriétés suivantes :
(i) la densité marginale de X est donnée par : fX (x) =
R +∞
fX,Y (x, y)dy.
R−∞
+∞
(ii) la densité marginale de Y est donnée par : fY (x) = −∞ fX,Y (x, y)dx.
R +∞ R +∞
(iii) −∞ −∞ fX,Y (x, y)dxdy = 1.
Exerice 3.4.2. Soit (X, Y ) un couple dont la densité conjointe est donnée par
( 2
kx + y 2 − xy, si (x, y) ∈ [1, 1] × [1, 0]
f (x) =
0,
sinon
1. Déterminer k pour que f soit effectivement une fonction densité d’un couple (X,
Y ).
2. Calculer
P (0 ≤ X ≤ 1, −1/2 ≤ Y ≤ 0).
3. Calculer les fonctions densité marginales.
4. Calculer la fonction de répartition conjointe.
Remarque 3.4.1. Pour le calcul de covariance, on utilise
Z +∞ Z +∞
E(XY ) =
xyfX,Y (x, y)dxdy,
−∞
−∞
et plus généralement
Z
+∞ Z +∞
E(g(XY )) =
−∞
3.5
−∞
g(xy)fX,Y (x, y)dxdy.
Exercices
Exerice 3.5.1. Soit f la fonction définie par
( x
, si x ∈ [−2, 2]
f (x) = 8
0, sinon
38CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Calculer la fonction de répartition F associée.
Exerice 3.5.2. Soit f la fonction définie par
(
ax(1 − x),
f (x) =
0,
si x ∈ [0, 1]
sinon
1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ?
2. Calculer alors E(X) et V (X) pour une variable aléatoire X admettant cette densité.
Exerice 3.5.3. Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition F
est définie par

0,
si x ≤ 0




3x

,
si 0 ≤ x ≤ 1
 4
f (x) = 
2
x


− + x, si 1 ≤ x ≤ 2


 1, 4
si x ≥ 2
1. Vérifier que F est bien une fonction de répartition.
2. Déterminer une densité de probabilité pour X et la représenter graphiquement.
Exerice 3.5.4. Calculer E(X) et V ar(X) lorsque X suit :
1. la loi uniforme,
2. la loi exponentielle.
Exerice 3.5.5. Soit X ∼ U ([0, 1]).
1. Déterminer la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement.
2. Donner la valeur de la médiane.
3. Calculer
P (X < 3/2); P (1/2 < X ≤ 5/4); P (X < 4/3/X < 3/2).
Exerice 3.5.6. Une usine fabrique 9000 unités d’un certains produit en un temps
t. Pour cette même période, la demande, en milliers d’unités, concernant ce produit
peut être considérée comme une variable aléatoire D suivant une loi exponentielle de
paramètre 1/3.
1. Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ?
2. Quelle devrait être la production pour que cette demande ne dépasse pas 4% ?
Exerice 3.5.7. (Absence de mémoire de la loi exponentielle). Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
1. Déterminer la fonction de répartition F de X.
2. Pour un réel t, exprimer P (X > t) à l’aide de F(t).
3.5. EXERCICES
39
3. En déduire que X vérifie la propriété d’absence de mémoire :
P (X > t + s/X > s) = P (X > t); s ∈ R, t ∈ R :
Exerice 3.5.8. Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
1. Calculer :
P (T < 0), P (T < 2.04), P (T < −1.95), P (−1 < T < 2), P (−3 < T < −1).
2. Déterminer les réels t tels que :
P (T < t) = 0.8283, P (T < t) = 0.1112, P (0 < T < t) = 0.4878.
Exerice 3.5.9. Une entreprise distribue un certain aliment dans une boîte métallique
dont le poids, après remplissage, est en moyenne de 340 grammes, avec un écart-type
de 6 grammes.
1. Quelle est la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, ait
un poids compris entre 334 et 346 grammes ?
2. Sur une production de 10 000 boîtes, combien auront un poids inférieur à 330
grammes ? ( faire une approximation par une loi normale.
Exerice 3.5.10. Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts.
1. On prélève 1000 vis au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 50 vis
défectueuses ? Entre 20 et 40 vis défectueuses ?
2. On veut 1950 vis sans défaut. Par prudence, on en prélève 2000 au hasard.
Quelle est la probabilité d’avoir suffisamment de vis en bon état ?
Exerice 3.5.11. Le nombre de pannes, par mois, sur une certaine machine, suit une loi
de Poisson de moyenne égale à 3. Un atelier fonctionne avec 12 machines de ce type,
indépendantes. En un mois, quelle est la probabilité de constater dans cet atelier
1. plus de 42 pannes ?
2. entre 36 et 45 pannes ?
40CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
Travaux dirigés
3.5. EXERCICES
41
Université Abdelmalek Essaâdi
[email protected]
Faculté des Sciences et Techniques - Tanger
Année universitaire 2012-2013
(portail E.E.A et G.ID )
Dénombrements
TD 1
Exemple 3.5.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence par
un 7 et soit divisible par 5 :
1. Si les nombres sont de 8 chiffres ?
2. Si les nombres sont de 6 chiffres ?
Exemple 3.5.2. Combien de nombres de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
1.
2.
3.
4.
si aucune restriction n’est imposée ?
si les répétitions sont interdites ?
si pas de répétitions et le dernier chiffre est 0 ?
Reprendre l’exercice sachant que l’on utilise seulement les chiffres paires ?
Exemple 3.5.3. Un parking comprend 10 places.
1. De combien de façons peut-on placer 6 votures dans ce parking ?
2. Si une place particulière est attribuée au départ à une des 6 voitures. De combien
de façons le rangement peut-il être effectué ?
Exemple 3.5.4. Dans un pays, les plaques des voitures sont formées de 2 lettres suivies
de 3 chiffres :
1. Combien de plaques peut-on avoir ?
2. combien y a-t-il de plaques ayant un chiffres se répète deux fois seulement ?
Exemple 3.5.5. Une équipe de recherche composée de 4 économistes et 7 juristes doit
étudier deux thèmes A et B Le thème A nécessite 2 économistes 4 juristes, les autres
chercheurs étudient le thème B. De combien de façons peut-on répartir les 11 chercheurs sur les deux thèmes A et B si
1. Aucune restriction n’est faite.
2. L’économiste X et le juriste Y ne doivent pas travailler ensemble.
Exemple 3.5.6. De combien y a-t-il de façons d’asseoir 4 femmes et 5 hommes en
lignes si :
1. Aucune restriction n’est imposée ?
2. Les femmes acceptent seulement les places paires ?
42CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES
Exemple 3.5.7. 5 films discernables sont classés de 1 à 10.
1. Donner le nombre de classements.
2. Donner le nombre de classements sachant que le film 2 a la note 4.
3. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois.
4. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois.
Exemple 3.5.8. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordre
l’apparition de PILE ou FACE :
1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues.
2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE.
3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE.
4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE.
Exemple 3.5.9. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombre
de fois où chaque face est apparue.
1. Donner le nombre de résultats.
2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2.
Exemple 3.5.10. Une urne comptient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue.
1. Donner le nombre de résultats.
2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue.
3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins
une fois.
Exemple 3.5.11. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables.
1. Donner le nombre d’affectations.
2. Donner le nombre d’affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants.
3. Donner le nombre d’affectations si chaque école reçoit au moins un enseignant.
Exemple 3.5.12. Une personne dispose de 20000 euro à investir sur 4 placements
discernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants :
1. certains placements peuvent être ignorés.
2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro.
3. les deux placements MABROK1 et MABROK2 (ensemble) sont pourvus de 15000.
4. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus de 15000.
5. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus d’au moins 15000.
Exemple 3.5.13. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire trois
boules successivement avec remise. Donner le nombre de résultats ayant trois nombres
dans un ordre strictement croissant.
3.5. EXERCICES
43
Intégrale Π(t) de la Loi Normale Centrée Réduite N (0; 1).
Z
Π(t) = P (X ≤ t) =
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
t
x2
1
e− 2 dx et Π(−t) = 1 − Π(t).
√
−∞ 2π
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
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0.04
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