Devoir de contrôle No1 MP 2021-2022 Durée : 2 heures Nom et prénom : ................................... Note sur 20 : ................................... Il sera tenu compte de la clarté, de la précision et de la qualité de la rédaction. ⋆ ⋆ ⋆ 1. Montrer que tout groupe d’ordre un nombre premier est cyclique. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 2. Soit A un anneau et x ∈ A, on suppose qu’il existe p ∈ N∗ tel que (1 − x)p = 0. Prouver que x est inversible et que (1 − x−1 )p = 0. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 3. Les groupes Z/8Z et Z/2Z × Z/4Z sont-ils isomorphes? ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 4. Déterminer U(Z/7Z), le groupe des éléments inversibles de l’anneau Z/7Z et montrer que les groupes (Z/6Z, +) et (U(Z/7Z), ×) sont isomorphes puis, déterminer explicitement l’isomorphisme. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... Mathématiques Page 1 / 4 Devoir de contrôle No 1 Nom et prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Soit Sn le groupe des permutations de l’ensemble [[1, n]], n ∈ N∗ . On considère l’application f : (Sn , ◦) −→ σ 7−→ (GLn (R), ×) avec δi,j est le symbol de Kronecker. δi,σ(j) 1≤i,j≤n (a) Montrer que l’application f est bien définie. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... (b) Montrer que f est un morphisme de groupes. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 6. Soit G un groupe cyclique d’ordre n ∈ N∗ et a un générateur de G. Montrer ∀p ∈ [[1, n]], < ap >=< ad > où d = n ∧ p. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 1 0 0 0 0 1 7. Soient A = 0 0 1 et B = 1 0 0. Quel est le groupe engendré par A et B pour la loi 0 1 0 0 1 0 multiplicatif. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... Mathématiques Page 2 / 4 Devoir de contrôle No 1 Nom et prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Résoudre le système de congruence suivant 3x + 2 ≡ −1 3x − 1 ≡ 3 (mod 5) . (mod 7) ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. Décomposer en cycles disjoints la permutation suivante : , 7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9 puis calculer son ordre et sa signature. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 10. Soit Z [X] l’anneau des polynômes à coefficients entiers, on pose I = (1 + X 2 )A + 2XB, (A, B) ∈ (Z [X])2 . (a) Montrer que I est un idéal de Z [X]. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... (b) I est-il engendré par un élément de Z [X] ? ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 11. Montrer que Un = z ∈ C, z n = 1 est l’unique sous-groupe d’ordre n de C∗ . ....................................................................................................... ....................................................................................................... Mathématiques Page 3 / 4 Devoir de contrôle No 1 Nom et prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Soit p un nombre premier impair et q un diviseur premier de 2p − 1. Montrer que q ≡ −1 (mod 2p) ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 13. Soit A un anneau commutatif, on dit que a ∈ A est nilpotent s’il existe p ∈ N∗ tel que ap = 0. (a) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... (b) Donner un exemple d’anneau non commutatif pour lequel la somme de deux éléments nilpotents n’est pas nilpotent. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... (c) Déterminer les éléments nilpotents de l’anneau Z/nZ où n un entier ≥ 2. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 14. Montrer que P = X 3 + X + 1 est irréductible sur Q. ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... Mathématiques Page 4 / 4
