Devoir de contrˆole No1
MP 2021-2022 Nom et pr´enom : ...................................
Dur´ee : 2 heures Note sur 20 : ...................................
Il sera tenu compte de la clart´e, de la pr´ecision et de la qualit´e de la r´edaction.
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1. Montrer que tout groupe d’ordre un nombre premier est cyclique.
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2. Soit Aun anneau et x∈A, on suppose qu’il existe p∈N∗tel que (1 −x)p= 0.
Prouver que xest inversible et que (1 −x−1)p= 0.
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3. Les groupes Z/8Zet Z/2Z×Z/4Zsont-ils isomorphes?
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4. D´eterminer U(Z/7Z), le groupe des ´el´ements inversibles de l’anneau Z/7Zet montrer que les groupes
(Z/6Z,+) et (U(Z/7Z),×)sont isomorphes puis, d´eterminer explicitement l’isomorphisme.
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5. Soit Snle groupe des permutations de l’ensemble [[1, n]], n ∈N∗. On consid`ere l’application
f: (Sn,◦)−→ (GLn(R),×)
σ7−→ δi,σ(j)1≤i,j≤n
avec δi,j est le symbol de Kronecker.
(a) Montrer que l’application fest bien d´efinie.
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(b) Montrer que fest un morphisme de groupes.
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6. Soit Gun groupe cyclique d’ordre n∈N∗et aun g´en´erateur de G. Montrer
∀p∈[[1, n]], < ap>=< ad>o`u d=n∧p.
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7. Soient A=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
et B=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
. Quel est le groupe engendr´e par Aet Bpour la loi
multiplicatif.
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8. R´esoudre le syst`eme de congruence suivant 3x+ 2 ≡ −1 (mod 5)
3x−1≡3 (mod 7) .
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9. D´ecomposer en cycles disjoints la permutation suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9 ,
puis calculer son ordre et sa signature.
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10. Soit Z[X]l’anneau des polynˆomes `a coefficients entiers, on pose
I=(1 + X2)A+ 2XB, (A, B)∈(Z[X])2.
(a) Montrer que Iest un id´eal de Z[X].
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(b) Iest-il engendr´e par un ´el´ement de Z[X]?
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11. Montrer que Un=z∈C, zn= 1est l’unique sous-groupe d’ordre nde C∗.
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12. Soit pun nombre premier impair et qun diviseur premier de 2p−1. Montrer que q≡ −1 (mod 2p)
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13. Soit Aun anneau commutatif, on dit que a∈Aest nilpotent s’il existe p∈N∗tel que ap= 0.
(a) Montrer que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de Aest un id´eal.
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(b) Donner un exemple d’anneau non commutatif pour lequel la somme de deux ´el´ements nilpotents
n’est pas nilpotent.
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(c) D´eterminer les ´el´ements nilpotents de l’anneau Z/nZo`u nun entier ≥2.
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14. Montrer que P=X3+X+ 1 est irr´eductible sur Q.
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