Devoir de controle MP (structures alébriques usuelles)

Telechargé par binyzemohamed
Devoir de contrˆole No1
MP 2021-2022 Nom et pr´enom : ...................................
Dur´ee : 2 heures Note sur 20 : ...................................
Il sera tenu compte de la clart´e, de la pr´ecision et de la qualit´e de la r´edaction.
⋆⋆⋆
1. Montrer que tout groupe d’ordre un nombre premier est cyclique.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
2. Soit Aun anneau et xA, on suppose qu’il existe pNtel que (1 x)p= 0.
Prouver que xest inversible et que (1 x1)p= 0.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
3. Les groupes Z/8Zet Z/2Z×Z/4Zsont-ils isomorphes?
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
4. D´eterminer U(Z/7Z), le groupe des ´el´ements inversibles de l’anneau Z/7Zet montrer que les groupes
(Z/6Z,+) et (U(Z/7Z),×)sont isomorphes puis, d´eterminer explicitement l’isomorphisme.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
Math´ematiques Page 1 / 4
Devoir de contrˆole No1 Nom et pr´enom : ...............................
5. Soit Snle groupe des permutations de l’ensemble [[1, n]], n N. On consid`ere l’application
f: (Sn,)(GLn(R),×)
σ7−δi,σ(j)1i,jn
avec δi,j est le symbol de Kronecker.
(a) Montrer que l’application fest bien d´efinie.
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) Montrer que fest un morphisme de groupes.
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
6. Soit Gun groupe cyclique d’ordre nNet aun g´en´erateur de G. Montrer
p[[1, n]], < ap>=< ad>o`u d=np.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
7. Soient A=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
et B=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
. Quel est le groupe engendr´e par Aet Bpour la loi
multiplicatif.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
Math´ematiques Page 2 / 4
Devoir de contrˆole No1 Nom et pr´enom : ...............................
8. R´esoudre le syst`eme de congruence suivant 3x+ 2 ≡ −1 (mod 5)
3x13 (mod 7) .
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
9. D´ecomposer en cycles disjoints la permutation suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 10 6 8 2 11 12 5 1 4 3 9 ,
puis calculer son ordre et sa signature.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
10. Soit Z[X]l’anneau des polynˆomes `a coefficients entiers, on pose
I=(1 + X2)A+ 2XB, (A, B)(Z[X])2.
(a) Montrer que Iest un id´eal de Z[X].
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) Iest-il engendr´e par un ´el´ement de Z[X]?
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
11. Montrer que Un=zC, zn= 1est l’unique sous-groupe d’ordre nde C.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
Math´ematiques Page 3 / 4
Devoir de contrˆole No1 Nom et pr´enom : ...............................
12. Soit pun nombre premier impair et qun diviseur premier de 2p1. Montrer que q≡ −1 (mod 2p)
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
13. Soit Aun anneau commutatif, on dit que aAest nilpotent s’il existe pNtel que ap= 0.
(a) Montrer que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de Aest un id´eal.
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(b) Donner un exemple d’anneau non commutatif pour lequel la somme de deux ´el´ements nilpotents
n’est pas nilpotent.
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
(c) D´eterminer les ´el´ements nilpotents de l’anneau Z/nZo`u nun entier 2.
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
14. Montrer que P=X3+X+ 1 est irr´eductible sur Q.
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
Math´ematiques Page 4 / 4
1 / 4 100%

Devoir de controle MP (structures alébriques usuelles)

Telechargé par binyzemohamed
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !