2nde Ch7 Equations de droites Systèmes

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EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES D'EQUATIONS
I Les différentes équations de droites :
1) Equation réduite d'une droite :
Une fonction affine f (x) = a x + b est représentée par une droite d'équation y = a x + b.
Cette équation est une équation réduite de la droite .
Si a = 0 y = b est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Si b = 0 y = a x est l'équation réduite d'une droite passant par l'origine.
Si a  0 et b  0 y = a x + b est l'équation réduite d'une droite oblique.
Il existe aussi des droites qui sont parallèles à l'axe des ordonnées.
Tous les points de ce type de droite ont la même abscisse donc l'équation réduite d'une droite parallèle
à l'axe des ordonnées est : x = k avec k  IR.
Attention : Ce type de droite ne représente pas une fonction !
Comment calculer l'équation réduite d'une droite connaissant les coordonnées de deux points:
Exemple : Retrouver par le calcul l'équation de la droite (AB) avec A ( – 1 ; 2 ) et B( 5 ; –3 )
On procède comme pour retrouver la fonction affine telle que f( – 1 ) = 2 et f( 5 ) = – 3.
Calcul du coefficient directeur m =
yB – yA
–3–2
5
=
= – .
xB – xA
5+1
6
5
x+p
6
5
7
On utilise les coordonnées de A ( – 1 ; 2 )
2=– (–1)+p p=
6
6
5
7
La droite (AB) admet donc pour équation réduite y = – x +
6
6
Calcul de l'ordonnée à l'origine (AB) : y = –
2) Equation cartésienne d'une droite :
Exemple : Transformer l'équation réduite y =
y=
1
x + 7 en équation cartésienne.
2
1
1
x + 7  x – y + 7 = 0  x – 2y + 14 = 0 Cette équation est une équation cartésienne de la droite.
2
2
On appelle équation cartésienne d'une droite (d) une équation de (d) sous la forme a x + b y + c = 0
3) Droites parallèles :
Deux droites seront parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Pour montrer que deux droites sont parallèles, il faudra déterminer leur équation réduite.
Remarques :
Deux droites seront confondues si elles ont la même équation réduite.
Deux droites seront strictement parallèles si elles ont le même coefficient directeur mais pas la même
ordonnée à l'origine.
Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.
Elles n'ont alors qu'un seul point d'intersection.
Les coordonnées de ce point pourront être déterminées par la résolution d'un système d'équations.
Cette résolution pourra être graphique ou algébrique.
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II Résolutions des systèmes linéaires :
1) Définitions :
a) On appelle équation linéaire à deux inconnues x et y une équation du type a x + b y + c = 0
avec a, b, c des réels quelconques.
b) Un système d'équations linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations est de la forme
a x + b y + c = 0

a' x + b' y + c' = 0
c) Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations ,
c'est trouver tous les couples ( x ; y ) vérifiant simultanément les deux équations .
2) Résolution graphique d'un système linéaire:
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre graphiquement le système – 4x + 3 y = 2

1ère étape : On met les deux équations sous la forme d'équations réduites :
 y = 37 x – 47 (d1)
3 x – 7y = 4

 
4
2
– 4x + 3 y = 2
 y = 3 x + 3 (d2)
2è étape : on vérifie si les deux équations sont des équations de droites sécantes.
Les droites (d1) et (d2) n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
3è étape : on trace les deux droites et on lit les coordonnées du point d'intersection.
Les coordonnées de A sont environ ( – 1,4 ; – 1,2 ) donc S = { ( – 1,4 ; – 1,2 ) }
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Avant de se lancer dans la résolution graphique d'un système linéaire , il convient de transformer
les équations cartésiennes en équations réduites puis de vérifier quel sera le nombre de solutions du système :
si les coefficients directeurs sont les mêmes et les ordonnées à l'origine différentes
alors les deux droites sont strictement parallèles et le système n'a pas de solution. S = 
Inutile de faire le dessin !
si les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine sont les mêmes
alors les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions .
La solution graphique est les coordonnées de tous les points de la droite. Inutile de faire le dessin !
si les coefficients directeurs sont différents alors le système a une unique solution.
Il faut alors tracer les droites et lire les coordonnées de leur point d'intersection.
3) Résolution par le calcul ( algébrique ):
Par substitution :
a x + b y + c = 0

a' x + b' y + c' = 0
Méthode de résolution par substitution :
on vérifie que le système a une seule solution en écrivant les deux équations réduites.
on a alors isolé l' inconnue y.
on égalise alors les deux expressions trouvées pour y. On trouve alors x .
on remplace x par la valeur trouvée dans une des deux équations et on calcule y.
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre par substitution le système – 4x + 3 y = 2

3

–
x – 7y = 4
4x + 3 y = 2 
 y = 37 x – 47 (d1)
 4 2
 y = 3 x + 3 (d2)
Les droites (d1) et (d2) n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Le système a donc une unique solution.
3
4 4
2
3
4
2 4
19
26
26
x– = x+  x– x= +  –
x=
 – 19 x = 26  x = –
7
7 3
3
7
3
3 7
21
21
19
4
2 4
26
2
22
y= x+ = (–
)+ =–
3
3 3
19
3
19
S={(–
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26
22
;–
)}
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Par élimination ou combinaisons linéaires :
Méthode de résolution par combinaisons linéaires :
on choisit l'inconnue à éliminer : x ( ou y) .
on multiplie chacune des deux équations par un coefficient bien choisi pour faire apparaitre le
même nombre ( ou l'opposé ) de x (ou de y ) dans chaque équation.
on ajoute ( ou soustrait )ensuite membre à membre chaque équation. L'inconnue choisie disparait.
On peut donc calculer l'autre.
Puis on remplace l'inconnue par sa valeur dans une des deux équations du départ pour trouver la 2è
inconnue.
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre par élimination le système – 4x + 3 y = 2

3

–
12 x – 28y = 16 (1)
x – 7y = 4 (  4 )


4x + 3 y = 2 (  3 )
– 12x + 9 y = 6 (2)
On additionne terme à terme (1) et (2) : – 19 y = 22  y = –
22
dans la première équation :
19
22
78
26
3 x – 7 y = 4  3x + 7 
=4  3x=–
 x=–
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19
19
26
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S={(–
;–
)}
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19
On remplace y par –
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