Récitation de cours … (ln x)` = (ln u(x))` = (ex)` = ( eu(x) )` = lim

Récitation de cours …
(ln x)’ =
lim ln x =
x → +∞
ln x
=
x → +∞ x
lim
(e x)’ =
(ln u(x))’ =
( e u(x) )’ =
lim e x =
lim ln x =
lim e x =
x → +∞
x→0
x → –∞
ex
=
x → +∞ x
lim x ln x =
lim xe x =
lim
x→0
x → –∞
Exercice 1 VARIATIONS AND CIE avec ln
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞ [ par f (x) = xln (x) – 3x + 7
1) Détermine les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) Calcule la dérivée de f.
3) Etudie les variations de f puis dresse le tableau de variations de f sur ]0 ; + ∞ [
Exercice 2 VARIATIONS AND CIE avec exp
On considère la fonction f définie sur IR par g (x) = (2x + 1)e – 2x
1) Détermine les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) Calcule la dérivée de f.
3) Etudie les variations de f puis dresse le tableau de variations de g sur IR
Exercice 3 LIMITES de fonctions
Calcule les limites ci-dessous
lim (x e – x + x)
lim (2ln x - 3x + 1)
x → +∞
lim
x → +∞
x→1
ex
(x - 1)²
lim ln (e – 2x + 2)
x → +∞
Exercice 4 primitives
Récitation de cours …
Une primitive de k est
Une primitive de x est
n
Une primitive de x est
Une primitive de e x est
Une primitive de u’(x)e u(x) est
Une primitive de x² est
Une primitive de
1
est
x²
1
1
Une primitive de est
Une primitive de
est
x
x
u’(x)
Une primitive de
est
Une primitive de u’(x)× (u(x))n est
u(x)
Cas particulier très pratique : Une primitive de e ax+ b est
Quelle est la différence entre : donne toutes les primitives .., donne une primitive ..,
donne la primitive ..
Souvent, on me demande « démontre que la fonction g est une primitive de f » , que faire ?
A toi : Détermine une primitive de chacune des fonctions ci-dessous sur les intervalles indiqués
1) fonctions usuelles
f (x) = 3x² + 0,8x – 1 I = IR
g (x) =
x 3 2
+ I = IR+*
2 x x²
h(x) =
ex 2
+
- n où n est un entier
5
x
2) fonctions composées
f (x) = 3xe x² I = IR
g (x) = e – 3x +
5e x
I = IR+*
ex + 1
h(x) = 2x (3x² + 1)3
3) On me donne la primitive : justifie que g est une primitive de f sur les intervalles indiqués
• g (x) = 3x ln x - 2x + 1 et f (x) = 3ln x + 1
• g (x) = (3x + 1)e – x + 1 et f (x) = (2 - 3x)e – x
Exercice 5 intégrales
Récitation de cours …
b
⌠
⌡a f (x)dx =
x
De plus la fonction g (x) = ⌠
⌡ f (t)dt est ……………………………………
a
Ainsi la dérivée de la fonction g est : g ’(x)
Si f (x) ≥ 0 sur [a ; b] alors ⌡
⌠ b f (x)dx ….. . Dans ce cas ⌡
⌠ b f (x)dx est
a
a
l’aire …………. ………………………………………………………………………
b
⌠ab (f (x) - g (x))dx est
Si f (x) ≥ g (x) sur [a ; b] alors ⌡
⌠ab f (x)dx ….. ⌠
⌡a g (x)dx . Dans ce cas ⌡
l’aire …………. ………………………………………………………………………
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est :
Quelques exemples :
⌠ e 2 – 3dx
  x
⌡1
–x
1
•⌠
⌡ (x + e )dx
0
⌠ 1 x dx
⌡0 x² + 1
• Montre que la fonction g définie par g (x) = x² + 3xln x – 3x est une primitive de f (x) = 2x + 3ln x
e
En déduire la valeur exacte de I = ⌠
⌡ f (x)dx
1
Encadrements : (voir aussi sujets avec suites)
e 2x
e² - 1
e² - 1
1
• soit f la fonction définie sur IR+ par f (x) =
. Justifie que
≤⌠
⌡0 f (x)dx ≤ 2
x+1
4
2
• Justifie que la fonction f définie sur IR+ par f (x) = e – x est décroissante sur IR+ :
2
– (n+1)2
En déduire que pour tout entier naturel n e
≤⌡
⌠ n + 1 f (x)dx ≤ e – n
n
Intégrales et aires
Associe chacune des intégrales ci-dessous à l’aire correspondante et réciproquement:
A1 =
A2 =
A3 =
A4 =
A5 =
A6 =
⌠01 f (x)dx =
⌡
⌠01 g (x)dx =
⌡
⌠01 (1 - f (x))dx =
⌡
⌠01 (1 - g (x))dx =
⌡
suites
Exercice 1 un + 1 = f (un)
x
ln x
1) Détermine les limites de f en 1 et en + ∞
2) Etudie les variations de f puis dresse son tableau de variations sur I
3) Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un + 1 = f (un)
a) Démontre que pour tout entier naturel n , un ≥ e
b) Démontre que (un) converge vers une limite l
Soit f définie sur I = ] 1 ; + ∞ [ par f (x) =
c) Sachant que l vérifie l = f (l), détermine l
⌠ e ln x dx
⌡1 x
Exercice 2 : un + 1 défini en fonction de n et de un (antilles guyanne 2005)
La suite (un) est définie par u0 = 1 et : ∀n ∈ N, u n +1 =
1
un + n − 1
2
1. a. Démontrer que pour tout n ≥ 3, u n ≥ 0 .
1. b. En déduire que pour tout n ≥ 4, un ≥ n − 2 .
1. c. En déduire la limite de la suite (u n ) .
2. a. On définit la suite (vn ) par vn = 4u n − 8n + 24 . Démonter que (vn ) est une suite géométrique décroissante dont on
donnera la raison et le premier terme.
n
1
2. b. Démonter que ∀n ∈ N, u = 7   + 2n − 6
n
2
2. c. Vérifier que ∀n ∈ N, u n = xn + yn où ( xn ) est une suite géométrique et ( yn ) une suite arithmétique dont on précisera
pour chacune le premier terme et la raison.
n
2. d. En déduire l'expression de S n =
∑ uk en fonction de n.
k =0
Exercice 3 : suites et intégrales
1
x 
Soit f la fonction définie sur IR+* par f (x) = + ln 
x
x + 1
1
1
n+1 1
1.a. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul :
≤⌠
dx ≤
n + 1 ⌡n
n
x
1
n+1 1
dx = - f (n)
1.b. vérifier que ⌠
n
x
⌡n
1.c. En déduire que , pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ f (n) ≤
1
n(n + 1)
k= 2n
2. On considère la suite (Sn) définie sur IN* par : Sn =
1
1
1
1
∑ k(k + 1) = n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + …………. + 2n(2n + 1)
k=n
Montre que , pour tout entier naturel n non nul , 0 ≤ f (n) + f (n) + …….. f (2n) ≤ Sn
Exercice 4 : suites et nombres complexes
 un + 1 = 1+ iun
On considère la suite de nombres complexes (un) définie par : 
 u0 = 1
2
1) Calcule u1 et u2
2) Soit (rn) la suite définie par : pour tout entier naturel n, rn = un
Justifier que (rn) est une suite géométrique de raison
2
puis précise la limite de (rn)
2
3) On appelle Mn la suite de points d’affixe un
a) Démontre que pour tout entier naturel n,
un + 1 1 + i
u
-u
=
puis que n + 1 n = i
un
2
un + 1
b) En déduire que (OMn ; OMn+1) = π (2π) et que OMnMn+1 est rectangle en Mn+1
4
c) En déuire une construction de M1 , M2, M3 et M4
→
→
COMPLEXES
→
→
On considère le plan complexe muni du repère usuel (O ; u ; v ) ainsi que les points A, B et C d’affixes respectives
zA = 1 + i zB = 4 + 3i
zC = 3 – 2i
1) résoudre dans CI , z² - 2z + 2 = 0 . Tu écriras les solutions sous forme algébrique puis exponentielle
2) calcule OA et AB
→
→
3) Détermine une mesure de ( u , OA)
z -z
4) Calcule B A Que peut on en déduire pour ABC ?
zC - zA
5) Est ce que le point T d’affixe zT = 5 – i appartient à la médiatrice de [AB] ?
7 2
1 2 13
6) Justifier qu’une équation cartésienne du cercle C circonscrit à ABC est x –  + y –  = .
2
 2  2
11
7) Est ce que E  , - 1 ∈ C ?
2

9) Détermine l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z – 1 – i = z – 4 – 3i
PROBAS
Récitation de cours
Loi discrète
Espérance
Ecart type
Non exigible
Cas particulier : loi binomiale B(n,p)
Loi uniforme
Non exigible
Loi exponentielle de paramètre λ
Non exigible
Loi normale centrée réduite N (0,1)
Loi normale centrée réduite N (µ,σ²)
Exercice 1 : Mr H
Un lycée comporte 55% de filles. Parmi elles, 80% acceptent de donner leur sang et 90% des garçons l’acceptent aussi.
1) Représente cette situation par un arbre pondéré.
2) Démontre que la probabilité de D « l’élève est donneur sang » est p(D) = 0,845
3) Quelle est la probabilité d’interroger un garçon sachant que c’est un donneur ?
4) Un don de sang féminin apporte une recette de 10€ tandis qu’un masculin 8€ . Soit R la variable aléatoire représentant le
gain en euros pour l’association. Détermine la loi de probabilité de R ainsi que son espérance.
Quelle recette peut on espérer si le lycée comporte 1200 élèves ?
5) On interroge 10 élèves de façon indépendante. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre d’élèves donneur de sang.
a) quelle est la loi suivie par X ?
b) Calcule la probabilité pour que 5 élèves soient donneurs.
c) Calcule la probabilité pour qu’au moins un élève soit donneur.
d) Calcule la probabilité pour qu’au moins 8 élèves soient donneurs.
e) On interroge cette fois n élèves. Quelle valeur faut il donner à n pour que la probabilité pour qu’au moins un élève soit
donneur soit supérieure à 0,99 ?
f) On interroge désormais 1000 élèves. quelle est la loi suivie par X ? Calcule l’espérance et l’écart type de cette loi
g) On désire calculer p (830 ≤ X ≤ 860). Pourquoi est ce fastidieux ?
X -µ
. Quelle est la loi suivie par Y ? En déduire une valeur approchée à 10 – 3 près de p (830 ≤ X ≤ 860).
On pose Y =
σ
Exercice 2 Mr H
Léa arrive tous les jours au lycée entre 8h et 8h30. La variable aléatoire X égale à l’heure d’arrivée suit la loi uniforme
sur [8 ; 8,5]
1) Calcule la probabilité que Léa arrive entre 8h15 et 8h20.
2) Calcule la probabilité que Léa arrive avant 8h10 . 3) A quelle heure arrive – t elle en moyenne ?
Exercice 3 : PONDICHERY 2014
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable
aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif. On sait que P (X ≤ 2) = 0,15.
Déterminer la valeur exacte du réel λ. Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.
2. a. Déterminer P (X > 3).
b. Montrer que pour tous réels positifs t et h, P X >t (X > t + h) = P (X > h).
c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ?
d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.
e. Add on Mr Huck : quelle est la demi vie de l’appareil ? (il s’agit du temps t0 pour lequel P (X ≤ t0 ) = P (X > t0) =
1
2
Exercice 4 : Mr H (les données seront arrondies à 10 – 3 près)
Un industriel A fabrique des pneus de VTT dont la masse X (en gr) suit la loi normale de moyenne 500 et d’écart type 10
Un pneu est commercialisable si sa masse est comprise entre 480 et 520 gr
1) Détermine la probabilité p pour qu’un pneu soit commercialisable.
2) Dans quel intervalle I centré autour de la moyenne doit on se situer pour que P (X ∈ I) = 0,84 ?
3) Tout en gardant la même moyenne, l’industriel veut modifier la valeur de σ pour que p ( 495 ≤ X ≤ 505) = 0,99
Quelle valeur faut il donner à σ ?
4) Détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique associée à un échantillon de taille 1000 et de probabilité p
5) On prélève un échantillon de 980 pièces dont 945 sont commercialisables. Cet échantillon est il acceptable au seuil de 95%?
6) Un autre industriel B aimerait que la probabilité d’obtenir un pneu commercialisable soit de 0,98
Pour cela , il prélève un échantillon de 9975 pneus. Détermine un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
Il constate que 9774 sont déclarés commercialisables. Son objectif est il réalisable ?
7) Quel nombre minimum de pneus faut il prélever pour que l’amplitude de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% soit
inférieure à 0,01 ?