chapitre 4

CHAPITRE 4
Fonctions affines
1. Définitions et exemples
Définition. Une fonction f est dite affine s’il existe deux réels a et b tels que
(
)
()
xfxax∀∈ = +Rb
Cas particuliers :
· Si b, on dit que la fonction affine est linéaire : =0
(
)
()
xfx∀∈ =Rax.
a=0
)
()
xfx∀∈ =R· Si , on dit que la fonction affine est constante :
(
. b
Remarques.
· Le domaine d’une fonction affine est égal à l’ensemble . R
· Les fonctions affines sont en fait les fonctions du premier degré.
· a est appelé coefficient de linéarité de la fonction affine . fx ax b:a+
· La représentation graphique d’une fonction affine admet pour équation :
. On reconnaît l’équation d’une droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à
l’origine b.
fx ax b:a+
yaxb=+
Exemples.
§ est affine avec et b. fx x:a2-3a=2=-3
§ gx x :a
2 est affine avec a=
1
2 et b. C’est donc une fonction linéaire. =0
§ hx:a3
5 est affine avec et a=0b. C’est donc une fonction constante. =
3
5
§ kx x :a14
3
-
est affine avec a=-
4
3 et b. =
1
3
Contre-exemples.
§ fx
x
': a1
23+ n’est pas affine (variable au dénominateur).
§ gx x': a3-8
5
n’est pas affine (variable sous le radical).
§ n’est pas affine (variable élevée au carré, fonction du second degré). hx x': a2
2
-
2. Sens de variation et représentation graphique
Proposition. Soit une fonction affine. fx ax b:a+
· La courbe représentative de f est une droite de vecteur directeur
r
ua1,
bg
et passant par le point
aux coordonnées . En particulier, si b, c.-à-d. si f est linéaire, alors cette droite passe 0,b
bg =0
par l’origine.
· Le sens de variation de f dépend du signe de a :
Si alors f est strictement croissante sur . a>0R
Si alors f est strictement décroissante sur . a<0R
Si alors f est constante sur . a=0R

Démonstration. Evidente. Démonstration. Evidente.
A titre de curiosité, calculons le taux de variation de la fonction affine . A titre de curiosité, calculons le taux de variation de la fonction affine . fx ax b:a+fx ax b:a+
()
()
()
()
(
)
()
()
'
','
'
'
'
'
'
f
fx fx
xx Txx xx
ax b ax b
xx
ax x
xx
a
−
∀≠ ∈ =
−
+− −
=
−
−
=
−
=
R
Ce résultat conduit évidemment à la même proposition que ci-dessus.
3. Fonctions affines par morceaux
Définition. Une fonction f est affine par morceaux (ou affine par intervalles), si sa représentation
graphique est une réunion de segments ou de demi-droites.
Exemple 1.
Considérons la fonction valeur absolue vx x:a.
· Le domaine de cette fonction est . R
· De plus la fonction est paire. En effet :
(
)
() ()
xvxxxv∀∈ − =− = =R
Oy
bg x. La représentation
graphique de v est donc symétrique par rapport à .
· Or :
(
)
()
xvxx
+
∀∈ = =Rx. La fonction v coïncide donc sur avec la fonction
+
R
x
x
a,
qui est affine et strictement croissante (coefficient directeur 1).
· De même :
(
)
()
xvxx
−
∀∈ = =−Rx. La fonction v coïncide donc sur avec la fonction
−
R
x
x
a-, qui est affine et strictement décroissante (coefficient directeur -1).
· D’où le tableau de variation de v :
x -¥ 0 +¥
vx
bg
0
· La fonction v est affine par morceaux, puisque sa représentation graphique est réunion de deux
demi-droites :
-4 -2 2 4
1
2
3
4
v
C
4..22

Exemple 2. On définit la partie entière d’un réel x de la façon suivante : c’est l’unique nombre
entier n tel que n
Exemple 2. On définit la partie entière d’un réel x de la façon suivante : c’est l’unique nombre
entier n tel que n
x
n£<+1. On note la partie entière de x. Par exemple : Ent x
bg
· car 6 Ent 6 342 6,
bg
=6 342 7£<,
· car 6 Ent 6 6
bg
=6 7£<
· car 00 Ent 0 82 0,
bg
=821£<,
· car Ent -=-35 4,
bg -£- <-435,3
32· car Ent -=-3
bg -£-<-33
En général, est le plus grand entier qui est £Ent x
bg
x
.
Considérons maintenant la fonction partie entière Ent : . Quelle est la représentation
graphique de cette fonction ? Remarquons que si n est un entier quelconque, alors :
xaEnt x
bg
"Î + =xnn xn,1
ch
bg
Ent (4.1)
Cette relation montre que la fonction Ent est constante sur tous les intervalles de la forme [ .
Non seulement, Ent est une fonction affine par morceaux, mais une fonction constante par
morceaux. Voici le graphique de cette fonction :
, [nn
+1
CEnt
On dit souvent que Ent est une fonction en escalier. La raison devrait être claire…
4..33