TS. Centrer et réduire une loi binomiale 1 - TP Lois continues Lois continues TP centrer et réduire une loi binomiale On dit qu’une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et si son écart type vaut 1. 1 Construction de X n Nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire X n qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. 1. Quelle est l’espérance de cette variable X n ? 2. Quelle est la variance de cette variable X n ? 3. Tracer en bleu le diagramme en bâtons de la variable aléatoire X n . Si on travaille avec GeoGebra, créer des curseurs n et p correctement paramétrés, puis saisir la formule : a=Barres[Séquence[k, k, 0, n], Séquence[Combinaison[n, k] p^k (1 - p)^(n - k), k, 0, n],0.2] 2 Centrage Dans cette partie, nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire Yn = X n − m, où m = np est l’espérance de X n . Cette variable aléatoire a donc une espérance nulle, c’est pour cette raison que l’on dit qu’elle est centrée. 1. Tracer en vert le diagramme en bâtons de la variable aléatoire X n − m. E(aX + b) = a.E(X) + b 2. Quelle est l’espérance de cette variable Yn ? V(aX + b) = a 2 .V(X) 3. Quelle est la variance de cette variable Yn ? 3 Réduction Dans cette partie, nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire Z n = Xn − m σ 1. Tracer en rouge le diagramme en bâtons de la variable aléatoire Z n 2. Quelle est l’espérance de cette variable Z n ? 3. Quelle est la variance de cette variable Z n ? http://lycee.lagrave.free.fr 1 n TS. Approximation d’une loi binomiale 1 - TP Lois continues Approximation d’une loi binomiale par une loi Normale - Théorème de Moivre-Laplace Rappel : Soit X une variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale B(n; p), alors l’espérance de X est µ = E(X) = np et p p son écart type σ = npq = np(1 − p). La variable aléatoire Y = X − µ est alors centrée et Z = X−µ est centrée réduite. σ Théorème - Moivre-Laplace Soit, pour tout entier n, X n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n; p). Alors, Yn = X n − np Xn − µ =p est une variable aléatoire centrée réduite et, σ np(1 − p) lorsque n tend vers +∞, Z P (a 6 Yn 6 b) tend vers b a 2 1 − x2 dx . p e 2π • La loi normale centrée réduite, notée N (0; 1), est la loi de probabilité dont la densité la fonction f définie sur R par 2 1 − x2 f (x) = p e . 2π • Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ2 ) si et seulement si la variable aléatoire Y = centrée réduite N (0; 1). • Si X suit une loi normale N (m; σ2 ) alors E(X) = m σ(X) = σ X−µ suit la loi normale σ V(X) = σ2 Le théorème de Moivre-Laplace affirme que, pour n suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités p associées à la loi binomiale B(n; p) par celles de la loi normale N (µ; σ2 ) avec µ = np et σ = npq 4 Vérifier à l’aide du logiciel GeoGebra l’affirmation : « En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par celles de la loi normale lorsque : » n > 50, np > 5 et nq > 5 Propriété : Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0; 1) alors, pour tout nombre réel 0 < α < 1, il existe un unique nombre réel u α > 0 tel que P (−u α 6 T 6 u α ) = 1 − α . 5 Vérifier à l’aide du logiciel GeoGebra l’affirmation : « Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0; 1), alors : » • u 0,05 ' 1, 96 : P (−1, 96 6 X 6 1, 96) ' 1 − 5% = 95% = 0, 95 • u 0,01 ' 2, 56 : P (−2, 56 6 X 6 2, 56) ' 1 − 1% = 99% = 0, 99 m 2