Lois continues

TS. Centrer et réduire une loi binomiale 1- TP Lois continues Lois continues
TP centrer et réduire une loi binomiale
On dit qu’une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle
et si son écart type vaut 1.
1Construction de Xn
Nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire Xnqui suit la loi binomiale de paramètres net p.
1. Quelle est l’espérance de cette variable Xn?
2. Quelle est la variance de cette variable Xn?
3. Tracer en bleu le diagramme en bâtons de la variable aléatoire Xn.
Si on travaille avec GeoGebra, créer des curseurs net pcorrectement paramétrés, puis saisir la formule :
a=Barres[Séquence[k, k, 0, n], Séquence[Combinaison[n, k] p^k (1 - p)^(n - k), k, 0, n],0.2]
2Centrage
Dans cette partie, nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire Yn=Xn−m,
où m=np est l’espérance de Xn.
Cette variable aléatoire a donc une espérance nulle, c’est pour cette raison que l’on dit qu’elle est centrée.
1. Tracer en vert le diagramme en bâtons de la variable
aléatoire Xn−m.
2. Quelle est l’espérance de cette variable Yn?
3. Quelle est la variance de cette variable Yn?
E(aX+b)=a.E(X) +b
V(aX+b)=a2.V(X)
3Réduction
Dans cette partie, nous allons représenter graphiquement la variable aléatoire Zn=Xn−m
σ
1. Tracer en rouge le diagramme en bâtons de la variable aléatoire Zn
2. Quelle est l’espérance de cette variable Zn?
3. Quelle est la variance de cette variable Zn?
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TS. Approximation d’une loi binomiale 1- TP Lois continues
Approximation d’une loi binomiale par une loi Normale - Théorème de Moivre-Laplace
Rappel : Soit Xune variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale B(n;p), alors l’espérance de Xest µ=E(X) =np et
son écart type σ=pnpq =pnp(1 −p).
La variable aléatoire Y=X−µest alors centrée et Z=X−µ
σ
est centrée réduite.
Théorème - Moivre-Laplace
Soit, pour tout entier n, Xnune variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p).
Alors, Yn=Xn−µ
σ=Xn−np
pnp(1 −p)est une variable aléatoire centrée réduite et,
lorsque ntend vers +∞,
P(a6Yn6b)tend vers Zb
a
1
p2π
e−x2
2dx.
•La loi normale centrée réduite, notée N(0;1), est la loi de probabilité dont la densité la fonction fdéfinie sur par
f(x)=1
p2π
e−x2
2.
•Une variable aléatoire X suit la loi normale N(µ;σ2) si et seulement si la variable aléatoire Y =X−µ
σ
suit la loi normale
centrée réduite N(0;1).
•Si X suit une loi normale N(m;σ2) alors E(X) =mσ(X) =σV(X) =σ2
Le théorème de Moivre-Laplace affirme que, pour nsuffisamment grand, on peut remplacer les probabilités
associées à la loi binomiale B(n;p)par celles de la loi normale N(µ;σ2)avec µ=np et σ=pnpq
4Vérifier à l’aide du logiciel GeoGebra l’affirmation :
« En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par celles de la loi normale lorsque : »
n>50, np >5 et nq >5
Propriété : Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0;1)
alors, pour tout nombre réel 0 <α<1, il existe un unique nombre réel uα>0 tel que
P(−uα6T6uα)=1−α.
5Vérifier à l’aide du logiciel GeoGebra l’affirmation :
« Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0;1), alors : »
•u0,05 '1,96 : P (−1,96 6X61,96)'1−5% =95% =0,95
•u0,01 '2,56 : P (−2,56 6X62,56)'1−1% =99% =0,99
m2