1 Les suites

1 Les suites
1.1 Définition, exemples, limites
Je ne donne que de brefs rappels. Pour plus de détails : cours AN2, notes de cours en
ligne, Godement, Buff.
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Définition 1.1. Un nombre lest limite d’une suite (un)si :
∀ > 0∃N∀n≥N|un−l|< .
Une suite convergente est bornée.
La réciproque est fausse. Exemple : (un)n= (−1)n,(un)n= cos(n).
Proposition 1.2. Soient (un)nune suite convergente, lsa limite et aun nombre > l. Il
existe un rang Ntel que pour tout n > N on ait un< a.
1.2 Suites extraites, valeurs d’adhérence
Suites extraites. Bolzano-Weierstrass. Limsup. Liminf. Valeurs d’adhérence. Impor-
tance de bien distinguer l’ensemble des valeurs de la suite et la suite elle même.
Définition 1.3. Un nombre aest valeur d’adhérence d’une suite (un)si :
∀ > 0∀N∃n≥N|un−a|< .
Comparer cette définition à celle de limite. Exemples : (−1)n,sin n,in.
Définition 1.4. Soit (un)nune suite. On appelle suite extraite de (un)nune suite (vn)n
définie par vn=uφ(n)où φ:N→Nest strictement croissante.
Exemples : (un)n= (−1)n;vn=u2ndéfinit une suite extraite (φ(n) = 2n), wn=un2
aussi ((φ(n) = n2). Exercice : les suites (un)net (wn)nsont égales.
Proposition 1.5. Soient (un)nune suite et aun nombre réel. Le nombre aest une
valeur d’adhérence de la suite (un)nsi et seulement si il existe une suite extraite de (un)n
convergeant vers a.
Proposition 1.6. Si une suite converge alors les suites extraites aussi vers la même
limite.
Soit (un)nune suite bornée. Soit Mtel que pour tout nNon ait
−M≤un≤M.
Considérons l’ensemble {uk|k≥p}. C’est un sous-ensemble de {uk|k≥0}donc un
ensemble borné. Il admet donc une borne supérieure et une borne inférieure. Posons
vp= sup{uk|k≥p}wp= inf{uk|k≥p}.
Comme {uk|k≥p}⊂{uk|k≥p+ 1}on a
vp+1 ≤vpwp+1 ≥wp.
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Par ailleurs Mest un majorant de {uk|k≥p}pour tout pet −Mun minorant de
{uk|k≥p}pour tout p. On a donc, pour tout p,
−M≤wp≤vp≤M.
La suite (vp)p(resp. (wp)p) est donc décroissante minorée (resp. croissante majorée). On
en déduit que les deux suites (vp)pet (wp)psont convergentes. On appelle limite supérieure
et limite inférieure leurs limites.
Définition 1.7. Soit (un)nune suite bornée. On appelle limite inférieure, notée lim inf un,
et limite supérieure de (un)n,lim sup unles quantité finies
lim inf un= lim
pinf{uk|k≥p}lim sup un= lim psup{uk|k≥p}.
Théorème 1.8. (Bolzano-Weierstrass) Une suite réelle bornée a une sous-suite conver-
gente.
DémonstrationDeux démonstrations : dichotomie ou limsup.
Proposition 1.9. Soit (un)nune suite bornée. Les nombres lim inf unet lim sup unsont
respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs d’adhérence de (un)n.
En particulier une suite bornée (un)nest convergente si et seulement si lim inf un=
lim sup un.
Proposition 1.10. Toute suite bornée qui n’a qu’une seule valeur d’adhérence est conver-
gente.
1.3 Écritures décimales des nombres réels
2,7 milliards de décimales de πsont connues aujourd’hui. Montrons que tous les
nombres réels ont un développement décimal. Soit xun élément de [0,1[. On peut écrire
10x=E(10x) + {10x}
où Edésigne la partie entière et { } la partie fractionnaire. Posons a1=E(10x)∈
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}et x1={10x} ∈ [0,1[. Recommençons avec x1à la place de x:
10x1=E(10x1) + {10x1}=a2+x2
avec a2=E(10x1)∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}et x2={10x1} ∈ [0,1[. On définit ainsi par
récurrence une deux suites en posant pour tout k,ak+1 =E(10xk)∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
et xk+1 ={10xk} ∈ [0,1[.
Pour tout kon a
xk=ak+1
10 +xk+1 10 .
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On en déduit
x=a1
10 +x1 10 =a1 10 +a2 102+x2 102
puis par récurrence
x=a1
10 +a2 102+. . . +ak 10k+xk 10k=
k
X
j=0
aj
10j+xk 10k.
Comme xk∈[0,1[ on en déduit que 0≤x−Pk
j=0
aj
10j≤1
10k. D’où, en faisant tendre k
vers l’infini
x=
∞
X
j=0
aj
10j.
Ce résultat donne une autre preuve de la densité de l’ensemble des décimaux (donc des
rationnels) dans R.
Quels sont les nombres dont le développement décimal est périodique à partir d’un
certain rang ?
Tous les nombres réels ont donc un développement décimal. Mais chaque nombre
pourraient en avoir plusieurs, dont certains avec des propriétés particulières, ou certaines
suites pourraient n’être le développement d’aucun nombre. Ce n’est pas le cas.
D’une part, si (ak)kest une suite quelconque de nombres dans {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
la série à termes positifs Pk≥1ak/10kest convergente (car la suite (Pk
k=1 ak/10k
nest
croissante majorée par 1). D’autre part considérons (ak)ket (bk)kdeux développements
différents d’un même nombre x. Soit k0le premier indice pour lequel ak6=bk; on peut
supposer ak0> bk0, donc ak0≥bk0+ 1. L’égalité x=P∞
j=0
aj
10j=P∞
j=0
bj
10jentraîne
∞
X
k0
ak
10k=
∞
X
k0
bk
10k.
Mais P∞
k0
bk
10k≤(bk0+ 1)/10k0avec égalité si et seulement si tous les bjpour j≥k0+ 1
sont égaux à 9. L’égalité ci-dessus n’a lieu que si ak0=bk0+ 1, et pour j≥k0,aj= 0,
bj= 9. En conclusion, les seuls nombres qui ont deux développements décimaux sont les
nombres décimaux. Ils ont deux développements : l’un se termine par des 0 (on l’appelle
développement propre), l’autre par des 9.
1.4 La méthode de Héron pour l’approximation des racines par
une fraction
On dispose d’un alogorithme très efficace pour approcher √2par des nombres ra-
tionnels. Le principe est très simple. On peut le décrire géométriquement. Partons d’un
rectangle d’aire 2 de côtés 1 et 2. On essaye de modifier le rectangle pour le rendre le plus
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carré possible en conservant son aire. Rectangle R0. Rectangle R1. On prend la moyenne
arithmétique des longueurs des cotés de R0et 2 divisée par cette moyenne. Et on recom-
mence. Notons Lnla longueur du grand côté de Rn,lnla longueur du petit. Pour tout
n lnet Lnsont rationnelles. On a Ln> lnet lnLn= 2 donc Ln>√2> ln. De plus on
a(Ln+ln)/2>4/(Ln+ln)soit (Ln+ln)2>8. En effet (Ln+ln)2= (Ln+ 2/Ln)2et
sur R∗
+la fonction x7→ x+ 2/x est minimale en √2de minimum 2√2. La suite (Ln)est
donc définie par la récurrence L0= 1,Ln+1 =Ln+ 2/Ln. L’exercice 30 montre que la
convergence est très rapide.
Extension de la méthode.
1.5 Dénombrabilité ; paradoxe de Russel
Soit Eun ensemble. Il n’existe pas de surjection de Esur l’ensemble des parties de E.
Supposons qu’une surjection φ:E→ P(E)existe. Considérons alors la partie Ade
Edéfini par
A={x∈E / x /∈φ(x)}
L’application φétant surjective, il existe a∈Etel que A=φ(a). Alors si a∈φ(a),a /∈A
(par définition de A), i.e. a /∈φ(a)(car A=φ(a)) ; et si a /∈φ(a),a∈A(par définition
de A), i.e. a∈φ(a). La supposition faite est donc absurde.
Paradoxe du barbier. On peut énoncer le paradoxe ainsi : Le conseil municipal d’un
village arrête une ordonnance qui enjoint à son barbier (masculin) de raser tous les ha-
bitants masculins du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci. Le
barbier, qui est bien un habitant du village, n’a pas pu respecter cette règle car :
S’il se rase lui-même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui
ne se rasent pas eux-mêmes ;
S’il ne se rase pas lui-même (qu’il se fasse raser ou qu’il conserve la barbe), il est en tort
également, car il a la charge de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Cette règle est donc inapplicable. S’agit-il pour autant d’un paradoxe ? Il n’y a aucune
raison de penser qu’un conseil de village ou toute autre instance ne puisse rendre une
ordonnance absurde. De fait, loin d’être une antinomie logique, ce ń paradoxe ż montre
simplement qu’un barbier respectant cette règle ne peut exister.
L’ensemble Rn’est pas dénombrable : il a plus d’éléments que N.
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