Fonction exponentielle népérienne

Termi nale D
Fonction exponentielle népérienne, Fonctions puissances
Durée: 2 semaines
0bjectifs généraux: L'élève d’oit être capable de ( d') :
 se familiariser avec la fonction exponentielle népérienne ainsi qu'avec ses propriétés essentielles;
 utiliser ces propriétés à la résolution de divers problèmes :
o calculs de primitives ;
o résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes ;
o étude de fonctions construites à partir de la fonction exponentielle.
Objectifs spécifiques
L’élève doit être capable de (d’) :
 étudier la fonction
exponentielle népérien
(ensemble de définition,
limites en   et en   ,
dérivée et sens de variation,
directions asymptotiques,
tangentes remarquables…)


utiliser les propriétés
algébriques de la fonction
exponentielle népérienne
dans des calculs algébriques
trouver des limites de
fonctions où intervient la
fonction exponentielle en
application des quelques
limites classiques
Contenus
Logarithme népérien
 Définition
Notation: exp(x)
 Étude de la fonction;
x  ex

Propriétés algébriques
o Exponentielle d’une
somme
o Exponentielle d’une
différence
o Exponentielle d’un
produit

Limites de référence
ex
 lim
0
x  x
0bservations

On définira la fonction
logarithme népérien, notée
ln, comme étant la bijection
de la fonction logarithme
népérien :
o Pour tout réel x>0 et
pour tout réel y,
y  ln x  x  exp y

Il serait important d'étudier
en détails, une fois pour
toute, la fonction x  e x ;
on n'oubliera pas que cette
fonction réalise une bijection
de 0; sur R. on fera
remarquer les positions
relatives des courbes
représentatives des
fonctions x  e x et
x  lnx (cf. chapitre sur
représentation graphique de
la réciproque d’une fonction
continue strictement
monotone sur un intervalle).
 lim ( xe x )  0
x 0


calculer la dérivée d'une
fonction du type exp (u(x))
telle que u est une autre
fonction.
étudier les courbes
représentatives de fonctions
du type exp  u (variation et
courbe) ; cas particulier des
Fonctions construites avec la
fonction exponentielle
népérienne.
 Fonctions du type exp  u

Fonction puissances
x  a x  e x ln a

Les fonctions x  a x
écrit sous la forme exlna
seront étudié, en activités,
comme étant des fonctions
du type exp  u On
n’oubliera pas les cas où
0<a<1 et a>1. Comme
applications des fonctions
fonctions x  a x
Où a est strictement positif

application

reconnaître les primitives de Calcul de certaines primitives
fonctions du type f ' exp( f )
 Primitives de fonctions du
et calculer ces primitives
type f ' exp( f )

résoudre des équations,
inéquations et systèmes se
ramenant à
exp( a)  exp( b) ou exp( a)  exp( b)
Fonction exponentielle et
équations / inéquations /
systèmes

Équations
du type
Résoudre des équations ou
u(x)
e m
systèmes à l'aide
 Inéquations du type
d'inconnues auxiliaires
e u(x)  m
 Autres types d'équations
ou inéquations
 Systèmes d’équations
(utilisation d'inconnues
auxiliaires)

puissances, on donnera en
activités des exemples liés
aux problèmes
économiques et problèmes
biologiques.

On proposera de
nombreux exemples et
exercices pour faire
maîtriser les formules et
les techniques de
résolution