Fonction exponentielle népérienne

T e r m i n a l e D
Fonction exponentielle népérienne, Fonctions puissances
Durée: 2 semaines
0bjectifs généraux: L'élève d’oit être capable de ( d') :
 se familiariser avec la fonction exponentielle népérienne ainsi qu'avec ses propriétés essentielles;
 utiliser ces propriétés à la résolution de divers problèmes :
o calculs de primitives ;
o résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes ;
o étude de fonctions construites à partir de la fonction exponentielle.
Objectifs spécifiques
Contenus
0bservations
L’élève doit être capable de (d’) :
 étudier la fonction
exponentielle népérien
(ensemble de définition,
limites en
et en
,
dérivée et sens de variation,
directions asymptotiques,
tangentes remarquables…)
 utiliser les propriétés
algébriques de la fonction
exponentielle népérienne
dans des calculs algébriques
 trouver des limites de
fonctions où intervient la
fonction exponentielle en
application des quelques
limites classiques
 calculer la dérivée d'une
fonction du type exp (u(x))
telle que u est une autre
fonction.
 étudier les courbes
représentatives de fonctions
du type
uexp
(variation et
courbe) ; cas particulier des
Logarithme népérien
 Définition
Notation: exp(x)
 Étude de la fonction;
x
ex 
 Propriétés algébriques
o Exponentielle d’une
somme
o Exponentielle d’une
différence
o Exponentielle d’un
produit
 Limites de référence
0)(
0
lim
lim
0
x
x
x
x
xe
x
e
Fonctions construites avec la
fonction exponentielle
népérienne.
 Fonctions du type
uexp
 Fonction puissances
axx eax ln
 On définira la fonction
logarithme népérien, notée
ln, comme étant la bijection
de la fonction logarithme
népérien :
o Pour tout réel x>0 et
pour tout réel y,
yxxy expln 
 Il serait important d'étudier
en détails, une fois pour
toute, la fonction
x
ex 
;
on n'oubliera pas que cette
fonction réalise une bijection
de
;0
sur R. on fera
remarquer les positions
relatives des courbes
représentatives des
fonctions
x
ex 
et
lnxx 
(cf. chapitre sur
représentation graphique de
la réciproque d’une fonction
continue strictement
monotone sur un intervalle).
 Les fonctions
x
ax 
écrit sous la forme exlna
seront étudié, en activités,
comme étant des fonctions
du type
uexp
On
n’oubliera pas les cas où
0<a<1 et a>1. Comme
applications des fonctions

fonctions
x
ax 
 reconnaître les primitives de
fonctions du type
)exp(' ff
et calculer ces primitives
 résoudre des équations,
inéquations et systèmes se
ramenant à
)exp()exp()exp()exp( baouba 
 Résoudre des équations ou
systèmes à l'aide
d'inconnues auxiliaires
Où a est strictement positif
 application
Calcul de certaines primitives
 Primitives de fonctions du
type
)exp(' ff
Fonction exponentielle et
équations / inéquations /
systèmes
 Équations du type
me 
u(x)
 Inéquations du type
m eu(x) 
 Autres types d'équations
ou inéquations
 Systèmes d’équations
(utilisation d'inconnues
auxiliaires)
puissances, on donnera en
activités des exemples liés
aux problèmes
économiques et problèmes
biologiques.
 On proposera de
nombreux exemples et
exercices pour faire
maîtriser les formules et
les techniques de
résolution