LA RACINE CARREE I) Activité : II) Définition : 1) Définition : Soit a un nombre positif Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé la racine carrée de a et il se note √a . Le symbole √ se nomme le radical. Exemples : 9 =3 car 32 = 9 et 3 ≥ 0 − 4 n’existe pas car il n’y a aucun nombre dont le carré est égal à – 4. 2) Conséquence : Pour tout nombre positif a √a = a √a ≥ 0 et Exemples : ( 5 )2 = 5 et 5≥0 3) Propriété : Pour tout nombre positif a √a = a Exemples : 7 2 = 49 = 7 car 7 ≥ 0 (−7) 2 = 49 = 7 ≠ −7 car –7 ≤ 0 1 4) Carré parfait : Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est un nombre entier positif. Exemples : 64 = 8 64 est un carré parfait 3 n’est pas un nombre entier car 3 n’est pas un carré parfait. Liste des premiers carrés parfaits : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289 324, 361, 400 ……….. III) Equation = a : 1) Propriété : Soit a un nombre donné si a < 0 alors l’équation = a n’a pas de solution. si a = 0 alors l’équation = 0 a une seule solution : 0 si a > 0 alors l’équation = a a deux solutions : √a (positive) et −√a (négative) Démonstration : Soit l’équation x 2 = a x2 − a = 0 si a > 0, x2 − (x + ( )( ) or x + a x − a = 0 ( a )2 = 0 a )(x − a ) = 0 ⇔ x+ a = 0 ou x=− a L’équation a deux solutions 2 a et − a . x− a = 0 x= a x2 = 0 x× x = 0 si a = 0, or x× x = 0 ⇔ ou x= 0 x= 0 L’équation a une seule solution 0 . si a < 0 , x2 = a Le carré d’un nombre est toujours positif donc x 2 ≥ 0 donc l’équation x 2 = a avec a < 0 n’a pas de solutions. Exemples : Résoudre les équations suivantes : a) x 2 = 13 b) x 2 = −1 IV) Propriétés : 1) Propriété 1: Pour tous nombres positifs a et b √a × b = √a × √b Démonstration : Soit a et b deux nombres positifs Considérons l’équation x 2 = a × b ( a× b )2 = ( a )2 × ( b )2 = a × b donc a × b est solution de l’équation x 2 = a × b . Or l’équation x 2 = a × b a deux solutions − a × b (négative). De plus a ≥ 0 et b ≥ 0 donc a × b = a×b. Donc a × b (positive) et a× b ≥0 Exemples : 2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6 48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 4 3 3 2) Propriété 2: Pour tous nombres positifs a et b, b étant non nul √ = √ Démonstration : Soit a et b deux nombres positifs, b étant non nul a Considérons l’équation x 2 = b 2 a = b ( a )2 = a ( b )2 b Or l’équation x 2 = − donc a a est solution de l’équation x 2 = . b b a a deux solutions b a (positive) et b a (négative). b De plus a ≥ 0 et b > 0 donc a ≥ 0 d’ où b a a . = b b Exemples : 64 64 8 = = 9 9 3 12 12 = = 4=2 3 3 3) Remarques: Les propriétés de calcul des racines carrées sont valables uniquement lors d’une multiplication ou lors d’une division. Penser à utiliser les égalités dans les deux sens. 4) Applications: a) Ecrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont des nombres entiers , b étant le plus petit possible. 1) 20 2) 54 3) 4) 5 3 − 12 32 b) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur. 1) 3 6 2) 7 5 3 3) 4 1 2