Cours Racine carrée

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LA RACINE CARREE
I) Activité :
II) Définition :
1) Définition :
Soit a un nombre positif
Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est appelé la racine carrée de a et il se note √a .
Le symbole √ se nomme le radical.
Exemples :
0 3et 93car 39
2
≥==
4
−
n’existe pas car il n’y a aucun nombre dont le carré est égal à – 4.
2) Conséquence :
Pour tout nombre positif a
√a =a et √a ≥ 0
Exemples :
(
)
55
2
= et
05 ≥
3) Propriété :
Pour tout nombre positif a
√a = a
Exemples :
7497
2
==
car 7 ≥ 0
7749)7(
2
−≠==− car –7 ≤ 0

2
4) Carré parfait :
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est un
nombre entier positif.
Exemples :
864 =
64 est un carré parfait
3
n’est pas un nombre entier car 3 n’est pas un carré parfait.
Liste des premiers carrés parfaits :
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289
324, 361, 400 ………..
III) Equation =a :
1) Propriété :
Soit a un nombre donné
 si a < 0 alors l’équation =a n’a pas de solution.
 si a = 0 alors l’équation =0 a une seule solution : 0
 si a > 0 alors l’équation =a a deux solutions :
√a
(positive) et −√ a (négative)
Démonstration :
Soit l’équation
a
2
=
x
 si a > 0,
0
a
2
=
−
x
(
)
0 a
2
2
=−x
(
)
(
)
0 aa =−+ xx
or
(
)
(
)
0 aa =−+ xx
⇔
0 a =+x
ou
0 a =−x
a−=x a=x
L’équation a deux solutions
a
et
a−
.

3
 si a = 0,
0
2
=
x
0
=
×
x
x
or
0
=
×
x
x
⇔
0
=
x
ou
0
=
x
L’équation a une seule solution 0 .
 si a < 0 ,
a
2
=
x
Le carré d’un nombre est toujours positif donc
0
2
≥
x
donc l’équation
a
2
=
x
avec a < 0 n’a pas de solutions.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
a)
13
2
=
x
b)
1
2
−
=
x
IV) Propriétés :
1) Propriété 1:
Pour tous nombres positifs a et b
√a×b = √a×√b
Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs
Considérons l’équation
b
a
2
×=
x
(
)
(
)
(
)
bababa
222
×=×=×
donc
ba ×
est solution de
l’équation
b
a
2
×=
x
.
Or l’équation
b
a
2
×
=
x
a deux solutions
ba×
(positive) et
ba ×−
(négative).
De plus
0a ≥
et
0b ≥
donc
0ba ≥×
Donc
baba ×=×
.
Exemples :
636182182 ==×=× 3431631648 =×=×=

4
2) Propriété 2:
Pour tous nombres positifs a et b, b étant non nul
=√
√
Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs, b étant non nul
Considérons l’équation
b
a
2
=x
(
)
( )
b
a
b
a
b
a
2
2
2
== donc
b
a
est solution de l’équation
b
a
2
=x.
Or l’équation
b
a
2
=x a deux solutions
b
a
(positive) et
b
a
−
(négative).
De plus
0a ≥
et
0b >
donc 0
b
a≥
d’ où
b
a
b
a=
.
Exemples :
3
8
9
64
9
64 == 24
3
12
3
12 ===
3) Remarques:
Les propriétés de calcul des racines carrées sont valables uniquement lors
d’une multiplication ou lors d’une division.
Penser à utiliser les égalités dans les deux sens.
4) Applications:
a) Ecrire les nombres suivants sous la forme
ba
où a et b sont
des nombres entiers , b étant le plus petit possible.
1)
20
2)
54
3)
32
4)
1235 −
b) Ecrire les nombres suivants sans radical au dénominateur.
1)
6
3 2)
3
57
3) 2
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