Espaces probabilisés

17
CHAPITRE
Espaces probabilisés
Une urne contient 18 boules indiscernables au toucher dont
•10 boules noires numérotées de 1 à 10,
•5boulesblanchesnumérotéesde1à5,
•3boulesrougesnumérotéesde1à3.
On tire simultanément 4 boules dans l’urne.
1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule noire ?
3. Quelle est la probabilité de tirer autant de boules blanches que de rouges ?
4. a. Avec quelle probabilité l e t i r a g e am è n e - t - i l les tro i s c o u l eurs ?
b. Avec quelle pr o b a b i l ité le tirage a mène-t-il exactement de ux couleurs ?
5. Quelle est la probabilité de tirer exactement une boule noireouexactement
deux boules numérotées 1 ?
Exercice 17.1 : Tirages simultanés dans une urne multicolore
1.Letirageestsimultanédoncils’agitde4-combinaisons.
Puisqu’on tire simultanément les boules, le résultat d’un tirage s’apparente à un sous-
ensemble de 4boules de l’ensemble des 18 boules. Il y a donc !18
4"=3060tirages
équiprobables possibles. Ainsi, si Ωest l’ensemble des tirages possibles (l’univers de
l’expérience aléatoire), nous avons Card(Ω) = 3060.
2.Laformulation“aumoinsune”faitdirequ’ilestplusfaciledeconsidérerl’événe-
ment contraire.
Soit Al’événement “obtenir au moins une boule noire” dont on cherche la probabilité.
On a P(A)=1−P(A)où Aest l’événement “n’obtenir aucune boule noire”. Le
résultat d’un tirage sans boule noire s’apparente à un sous-ensemble de 4boules de
l’ensemble des 8boules non noires. Il existe donc !8
4"=70tels tirages équiprobables,
autrement dit P(A)= 70
3060 =7 306 .Ainsi,P(A)=1−7 306 =299 306 .

318 Chapitre 17 Espaces probabilisés
3.L’événementàétudiern’estpasvraimentélémentairepuisqu’on ne sait pas exac-
tement la composition en couleurs du tirage. On va l’écrire comme réunion disjointe
d’événements plus élémentaires donnant l’effectif précis dechaquecouleurprésente
dans le tirage.
Soit Bl’événement “obtenir autant de boules blanches que de rouges”. O n v e u t c a l -
culer P(B). Un tirage comporte autant de boules blanches que de boules rouges si et
seulement si on est dans un des trois cas exclusifs suivants :
•on ne tire aucune boule blanche et aucune boule rouge (on note B0cet événement),
•on tire exactement une boule blanche et une boule rouge (on note B1cet événe-
ment),
•on tire exactement deux boules blanches et deux boules rouges (on note B2cet
événement).
Ainsi, B=B0∪B1∪B2et la réunion est disjointe donc, par additivité de P,
P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)
avec
P(B0)= !10
4"
3060 =210 3060 =7 102
(tirages sans boule blanche ni rouge et donc quatre noires)
P(B1)= !5
1"×!3
1"×!10 2"
3060 =5×3×45 3060 =15 68
(tirages avec exactement une blanche, une rouge et donc deux noires)
P(B2)=!5
2"×!3
2"
3060 =10 ×3 3060 =1 102
(tirages avec deux blanches, deux rouges et donc pas de noire).
D’où, P(B)= 7
102 +15 68 +1 102 =61 204 .
4.a.Onutiliselamêmetechniquededécompositionqu’àlaquestion précédente.
Soit Cl’événement “obtenir les trois couleurs”. Comme au 3,onpartitionneCen
événements plus simples : C=C1∪C2∪C3où
•C1est l’événement : “obtenir deux boules noires, une boule blanche, et une boule
rouge”,
•C2est l’événement : “obtenir une boule noire, deux boules blanches, et une boule
rouge”,
•C3est l’événement : “obtenir une boule noire, une boule blanche,etdeuxboules
rouges”.
Les évènements C1,C2et C3sont deux à deux incompatibles donc la réunion d’évé-
nements C1∪C2∪C3est disjointe et
Card(C)=Card(C1)+Card(C2)+Card(C3)
avec
Card(C1)=!10
2"×!5
1"×!3
1"=675,

Exercice 17.1 Tirages simultanés dans une urne multicolore 319
Card(C2)=!10
1"×!5 2"×!3 1"=300
et
Card(C3)=!10
1"×!5
1"×!3
2"=150.
D’où, Card(C)=675+300+150=1125puis P(C)= Card(C)
Card(Ω)=1125 3060 =25 68 .
4.b.Pourlestiragesbicolores,lenombredecasexclusifspossibles est plus important
donc on va tenter de passer à l’événement contraire pour limiter les calculs.
Soit Dl’événement : “obtenir exactement deux couleurs”. On cherche P(D).Lestirages
avec exactement deux couleurs sont les tirages qui ne sont ni tricolores, ni unicolores ;
on a ainsi Card(D)=Card(Ω)−Card(D)où Dest l’événement “obtenir un tirage
tricolore ou unicolore”.
Les tirages unicolores sont faciles à dénombrer (il n’y a que deux couleurs exclusives
possibles puisque les trois boules rouges ne peuvent former un tirage à elles seules) et
les tricolores viennent de l’être.
Le nombre de tirages tricolores est 1125 (déjà calculé plus haut) et le nombre de
tirages unicolores est !10
4"+!5
4"=210+5=215.Puisqu’untiragenepeutêtre
àlafoistricoloreetunicolore,onadoncCard(D)=1125+215=1340et ainsi
Card(D)=3060−1340 = 1720,puisP(D)=1720
3060 =86 153 .
Retenir les deux techniques suivantes de dénombrement/probabilités :
•le passage à l’événement contraire plus simple à étudier (questions 2
et 4.b),
•le “découpage” d’un événement en sous-événements incompatibles plus
faciles à étudier (questions 3et 4.a).
5.L’événements’exprimenaturellementcommeuneuniond’événements mais ces
derniers ne sont pas incompatibles.
Soit Al’événement “obtenir exactement une boule noire” et Bl’événement “obtenir
exactement deux boules numérotées 1”. O n c h e r c h e à c a l c u l e r P(A∪B).Onsaitque,
d’après la formule de la probabilité d’une union,
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
L’intersection A∩Bn’est pas vraiment élémentaire puisqu’on ignore si la boule noire
est celle numérotée 1 donc on la décompose elle aussi.

320 Chapitre 17 Espaces probabilisés
Ici,
Card(A)=!10
1"×!8 3"=10×56 = 560
Card(B)=!3
2"×!15 2"=3×105 = 315
et A∩Bqui est encore un peu compliqué se décompose à l’aide de l’événement N:
“tirer la boule noire numéro 1”. On a alors, d’après la formule des probabilités totales
appliquée avec le système complet d’événements (N, N),
P(A∩B)=P(A∩B∩N)+P(A∩B∩N)
=#1×!2
1"×!6
2"+!2 2"×!9 1"×!6 1"$!15
4"−1
=30 + 54
3060 =84 3060 =7 255 .
On conclut que la probabilité de tirer exactement une boule noire ou exactement deux
boules numérotées 1est égale à
P(A∪B)= 560
3060 +315 3060 −84 3060 =791 3060 .
Un laboratoire a conçu un test de diagnostic rapide pour une maladie féline.
Toutefois ce test p eut s’avérer positif pour un animal sain etnégatifpourun
animal malade.
1. L’évaluation de la fiabilité du test est faite par le laboratoire lui-même qui a
rempli le tableau d’effectifs suivant à partir d’un échantillon “représentatif”
d’une population de chats.
effectifs malades sains
test positif 80 900
test négatif 20 9000
Calculer (pour cet échantillon) :
•la valeur prédictive positive VPP i.e. la probabilité qu’un animal (choisi
au hasard) soit vraiment malade sachant qu’il a été déclaré positif au test ;
•la valeur prédictive négative VPN i.e. la probabilité qu’un animal soit sain
sachant qu’il a été déclaré négatif ;
•la sensibilité Se i.e. la probabilité qu’un animal soit déclaré positif sachant
qu’il est malade ;
•la spécificité Sp i.e. la probabilité qu’un animal soit déclaré négatif sachant
qu’il est sain.
Exercice 17.2 : Fiabilité d’un test de diagnostic rapide

Exercice 17.2 Fiabilité d’un test de diagnostic rapide 321
2. Suite à de nombreuses améliorations significatives, le test aétécommercialisé
auprès des vétérinaires avec les informations suivantes Se!=90%etSp!=95%
(considérées alors comme valables pour l’ensemble de la population féline). Le
vétérinaire sait aussi que la prévalence de la maladie †(la probabilité qu’un
animal soit malade) est de 0,01% et la prévalence des positifs ‡(la probabilité
que le test d’un animal soit positif) est, elle, de 0,02%.
a. Que doit-il répondre à une personne qui consulte pour son animal déclaré
positif au test quant à ses chances d’être malade i.e. la VPP?
b. L’animal du client suivant est déclaré négatif, quelles sontseschancesde
ne pas être malade i.e. la VPN?
Exercice 17.2 (suite) :
1.Ilsuffitdechoisirdesnotationspourlesévénements“élémentaires” qui peuvent
survenir.
On note Ml’événement “l’animal est malade” et P“le test de l’animal est positif”
de sorte que
VPP =P(M|P)= P(M∩P)
P(P)=Card(M∩P)
Card(M∩P)+Card%M∩P&=80
80 + 900 =4 49 .
De même,
VPN =P%M''P&=Card %M∩P&
Card %M∩P&+Card%M∩P&=9000
9000 + 20 =450 451
Se =P(P|M)= 80
80 + 20 =80%
Sp =P%P''M&=9000
9000 + 900 =10 11 %90,91%.
2.a.Lesdonnéesdel’énoncécorrespondentàladimensionclinique du test i.e. au
point de vue du vétérinaire qui veut éviter de ne pas détecter un malade (grande
sensibilité) et d’effrayer inutilement un maître (grande spécificité). Les probabilités
demandées sont plus proches des préoccupations du client quiestpluscentrésurson
cas personnel : le résultat du test connu, peut-il le prendre pour argent comptant ?
Ce renversement de point de vue fait penser qu’il faut utiliser la formule de Bayes.
Avec les notations de la question précédente, VPP =P(M|P).Onnoteaussiles
deux prévalences de l’énoncé Prev =0,01% = P(M)et Prev
+=0,02% = P(P).
Or, d’après la formule de Bayes, P(M|P)= P(P|M)P(M)
P(P)donc
VPP =Se"×Prev
Prev
+
=
90
100 ×0,01 100
0,02
100
=45
100 =9 20 =45%.
†.Onparleparfoisdeprévalence réelle.
‡.Onparleparfoisdeprévalence apparente.