2012-2013 Aix-Marseille Université Licence SNTE, S1 Outils mathématiques Corrigé - Interrogation 1 Durée de l’épreuve : 1h. Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés. Les 4 exercices sont indépendants et peuvent être traités dans le désordre. Le baréme, indicatif, porte sur 25 points, soit 5 points “bonus”. Exercice 1 (6 pts): 1. Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres complexes suivants : a) (1 + i)(2 − 3i), (1 + i)(2 − 3i) = 2 − 3i + 2i − 3i2 = 2 + 3 − i = 5 − i b) 1+i 2 , 2−i (1 + i)(2 + i) 2 1 + 3i 2 1 + 9i2 + 6i −8 6 1+i 2 = = = = + i 2−i (2 − i)(2 + i) 5 25 25 25 c) Nombre de module 2 et d’argument π/3. √ π π z = 2 cos( ) + 2i sin( ) = 1 + 3i 3 3 2. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : a) −2i, |−2i| = 2 b) √ arg(−2i) = − π2 3 − i. √ √ | 3 − i| = 4 = 2 √ arg( 3 − i) = − π6 Exercice 2 (4 pts): Soit z un nombre complexe. 1. Calculer (1 − z)(1 + z̄). (1 − z)(1 + z̄) = 1 − z z̄ − z + z̄ = 1 − |z|2 − 2i Im z 1−z est un nombre 1+z réel dont on donnera l’expression en fonction de Im(z), la partie imaginaire de z, et de Re(z), sa partie réelle. 2. En déduire que pour tout nombre complexe z de module 1, t = i i 1−z (1 − z)(1 + z̄) 1 − |z|2 − 2i Im z −2i Im z =i =i =i 2 1+z (1 + z)(1 + z̄) 1 + z + z̄ + |z| 2 + 2 Re z = 1 Im z 1 + Re z (∈ R) Exercice 3 p(8 pts): p √ √ Soit z = − 2 + 2 + i 2 − 2. Pour chaque question, choisir la réponse correcte et justifier. 1. La forme algébrique de z 2 est : √ √ √ b) 2 2 − 2i 2 a) 2 2 c) 2 + √ 2 + i(2 − √ 2) √ √ d) 2 2 + 2i 2 q q q q q √ 2 √ 2 √ √ √ √ √ √ 2 z = (− 2 + 2) + i 2 − 2 − 2i 2 + 2 2 − 2 = 2 + 2 − (2 − 2) − 2i (2 + 2)(2 − 2) q √ √ 2 = 2 2 − 2i 22 − 2 √ √ = 2 2 − 2i 4 − 2 √ √ = 2 2 − 2i 2 (réponse b) 2 2. z 2 s’écrit sous forme exponentielle : π a) 4ei 4 √ √ z 2 = 2 2 − 2i 2 = 4 π 3π b) 4e−i 4 c) 4ei 4 d) 4e−i √ √ ! π 2 2 = 4e−i 4 (réponse b) −i 2 2 3π 4 3. z s’écrit sous forme exponentielle : a) 2ei π 7π 8 b) 2ei 8 π c) 2ei 5π 8 π π d) 2e−i 8 π Comme z 2 = 4e−i 4 , on a z = 2e−i 8 ou z = −2e−i 8 . Or, par hypothése, Re z = p √ π π − 2 + 2 < 0. Comme − π8 ∈ ] − π2 ; π2 [, Re(2e−i 8 ) > 0 et Re(−2e−i 8 ) < 0. On a donc π 7π z = −2e−i 8 = 2ei 8 (réponse a) . p p √ √ 2+ 2 2− 2 4. On a cos θ = − et sin θ = pour : 2 2 5π 3π 9π c) θ = d) θ = 8 8 8 p p √ √ 7π 7π 7π On a établi que z = 2ei 8 , i.e. − 2 + 2 + i 2 − 2 = 2ei 8 . Or, 2ei 8 = 2(cos( 7π 8 )+ √ √ √ √ 2+ 2 2− 2 7π i sin( 7π et sin( 7π et alors θ = 7π (réponse a) . 8 )). On a donc cos( 8 ) = − 2 8 )= 2 8 a) θ = 7π 8 b) θ = Exercice √ 4 (7 pts): Soit z0 = 2(−1 + i). 1. Mettre z0 sous la forme reiθ . √ √ ! 3π − 2 2 z0 = 2 +i = 2ei 4 2 2 2. En déduire z0 n pour tout n ∈ N. 3π n 3nπ ∀n ∈ N , z0 n = 2ei 4 = 2n e i 4 2 3. Donner toutes les solutions de l’équation z 4 = −16. On remarque que pour n = 4, on a z0 4 = 24 ei 3×4π 4 = 16ei3π = 16eiπ = −16. z0 est donc solution de l’équation z 4 = −16. Pour déterminer l’ensemble complet des solutions de l’équation, on met l’inconnue z sous la forme z = ρeiϕ , (ρ ≥ 0). L’équation z 4 = −16 se réécrit alors : ρeiϕ 4 = 24 eiπ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ρ4 ei4ϕ = 24 eiπ ⇔ ρ = 2 et 4ϕ = π [2π] π hπ i ρ = 2 et ϕ = 4 2 π 3π 5π 7π ρ = 2 et ϕ = [2π] ou ϕ = [2π] ou ϕ = [2π] ou ϕ = [2π] 4 4 4 4 π 3π 3π π ρ = 2 et ϕ = [2π] ou ϕ = [2π] ou ϕ = − [2π] ou ϕ = − [2π] 4 4 4 4 3π π i π4 i 3π −i −i z = 2e ou z = 2e 4 (= z0 ) ou z = 2e 4 ou z = 2e 4 o n π 3π 3π π S = 2ei 4 , 2ei 4 , 2e−i 4 , 2e−i 4 3