correction - Aix-Marseille Université

2012-2013 Licence SNTE, S1
Aix-Marseille Universit´e Outils math´ematiques
Corrig´e - Interrogation 1
Dur´ee de l’´epreuve : 1h. Les calculatrices et les documents ne sont pas autoris´es.
Les 4 exercices sont ind´ependants et peuvent ˆetre trait´es dans le d´esordre.
Le bar´eme, indicatif, porte sur 25 points, soit 5 points “bonus”.
Exercice 1 (6 pts):
1. Mettre sous la forme a+ib (a, b ∈R) les nombres complexes suivants :
a) (1 + i)(2 −3i),
(1 + i)(2 −3i) = 2 −3i+ 2i−3i2= 2 + 3 −i= 5 −i
b) 1 + i
2−i2
,
1 + i
2−i2
=(1 + i)(2 + i)
(2 −i)(2 + i)2
=1+3i
52
=1+9i2+ 6i
25 =−8 25 +6 25i
c) Nombre de module 2 et d’argument π/3.
z= 2 cos(π
3)+2isin(π 3) = 1 + √3i
2. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
a) −2i,
|−2i|= 2 arg(−2i) = −π
2
b) √3−i.
|√3−i|=√4 = 2 arg(√3−i) = −π
6
Exercice 2 (4 pts):
Soit zun nombre complexe.
1. Calculer (1 −z)(1 + ¯z).
(1 −z)(1 + ¯z)=1−z¯z−z+ ¯z= 1 − |z|2−2iIm z
2. En d´eduire que pour tout nombre complexe zde module 1, t=i1−z
1 + zest un nombre
r´eel dont on donnera l’expression en fonction de Im(z), la partie imaginaire de z, et de
Re(z), sa partie r´eelle.
i1−z
1 + z=i(1 −z)(1 + ¯z) (1 + z)(1 + ¯z)=i1− |z|2−2iIm z 1 + z+ ¯z+|z|2=i−2iIm z 2 + 2 Re z
=Im z
1 + Re z(∈R)
1

Exercice 3 (8 pts):
Soit z=−p2 + √2 + ip2−√2. Pour chaque question, choisir la r´eponse correcte et justifier.
1. La forme alg´ebrique de z2est :
a) 2√2 b) 2√2−2i√2 c) 2 + √2 + i(2 −√2) d) 2√2+2i√2
z2= (−q2 + √2)2+i2q2−√2
2
−2iq2 + √2q2−√2 = 2 + √2−(2 −√2) −2iq(2 + √2)(2 −√2)
= 2√2−2iq22−√22
= 2√2−2i√4−2
= 2√2−2i√2 (r´eponse b)
2. z2s’´ecrit sous forme exponentielle :
a) 4eiπ
4b) 4e−iπ 4c) 4ei3π 4d) 4e−i3π 4
z2= 2√2−2i√2=4 √2
2−i√2 2!= 4e−iπ
4(r´eponse b)
3. zs’´ecrit sous forme exponentielle :
a) 2ei7π
8b) 2eiπ 8c) 2ei5π 8d) 2e−iπ 8
Comme z2= 4e−iπ
4, on a z= 2e−iπ 8ou z=−2e−iπ 8. Or, par hypoth´ese, Re z=
−p2 + √2<0. Comme −π
8∈]−π 2;π 2[, Re(2e−iπ
8)>0 et Re(−2e−iπ 8)<0. On a donc
z=−2e−iπ
8= 2ei7π 8(r´eponse a) .
4. On a cos θ=−p2 + √2
2et sin θ=p2−√2 2pour :
a) θ=7π
8b) θ=5π 8c) θ=3π 8d) θ=9π 8
On a ´etabli que z= 2ei7π
8, i.e. −p2 + √2 + ip2−√2=2ei7π 8. Or, 2ei7π 8= 2(cos(7π
8) +
isin(7π
8)). On a donc cos(7π 8) = −√2+√2 2et sin(7π 8) = √2−√2 2et alors θ=7π 8(r´eponse a) .
Exercice 4 (7 pts):
Soit z0=√2(−1 + i).
1. Mettre z0sous la forme reiθ.
z0= 2 −√2
2+i√2 2!= 2ei3π
4
2. En d´eduire z0npour tout n∈N.
∀n∈N, z0n=2ei3π
4n= 2nei3nπ
4
2

3. Donner toutes les solutions de l’´equation z4=−16.
On remarque que pour n= 4, on a
z04= 24ei3×4π
4= 16ei3π= 16eiπ =−16.
z0est donc solution de l’´equation z4=−16. Pour d´eterminer l’ensemble complet des
solutions de l’´equation, on met l’inconnue zsous la forme z=ρeiϕ, (ρ≥0). L’´equation
z4=−16 se r´e´ecrit alors :
ρeiϕ4= 24eiπ ⇔ρ4ei4ϕ= 24eiπ ⇔ρ= 2 et 4ϕ=π[2π]
⇔ρ= 2 et ϕ=π
4hπ 2i
⇔ρ= 2 et ϕ=π
4[2π] ou ϕ=3π 4[2π] ou ϕ=5π 4[2π] ou ϕ=7π 4[2π]
⇔ρ= 2 et ϕ=π
4[2π] ou ϕ=3π 4[2π] ou ϕ=−3π 4[2π] ou ϕ=−π 4[2π]
⇔z= 2eiπ
4ou z= 2ei3π 4(= z0) ou z= 2e−i3π 4ou z= 2e−iπ 4
S=n2eiπ
4,2ei3π 4,2e−i3π 4,2e−iπ 4o
3