Linéarisation
Exercice 3.8. Linéariser :
a) sin4(x)b) sin(x) cos3(x)c) cos2(x) sin2(x)
Racines carrées
Exercice 3.9. Calculer les racines carrées de
(a) 2i(b) 1−i√3(c) −3−4i(d) 15 + 8i
Exercice 3.10 (Pour s’entraîner).Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
(a) 1+4i√5(b) −45 −28i(c) 33 + 56i
Réponse. (a) ±(√5+2i); (b) ±(2 −7i); (c) ±(7 + 4i).
Équations du second degré
Exercice 3.11. Résoudre dans Cles équations suivantes :
(a) 4z2−2z+ 1 = 0
(b) z2−(3 + 4i)z−1+5i= 0.
Exercice 3.12 (Pour s’entraîner).Résoudre dans Cles équations suivantes :
(a) iz2+ (2 −i)z+ 2(2 −3i)=0
(b) (1 −i)z2−(3 + i)z+ 2i= 0
(c) iz2−(i+ 1)z+ 2i−1=0
Réponse. (a) ∆ = −21 −20i; les racines carrées de ∆sont w1,2=±(2 −5i); les solutions de l’équation
sont z1=−2,z2= 2i+ 3.
(b) ∆=2i;w1,2=±(1 −i);z1= 1 + i,z2=i. (c) ∆ = 8 + 6i;w1,2=±(3 + i);z1= 1 −2iet z2=i.
Exercice 3.13. Résoudre dans Cl’équation
z4+ 2z2+ 4 = 0
Exercice 3.14 (Exercice travaillé).Résoudre dans Cl’équation
z4+ 10z2+ 169 = 0.
Solution. On pose w=z2et on résout w2+ 10w2+ 169 = 0. Le discriminant de cette équation est
∆ = −576 ; les racine carrées de ∆sont ±24i; les racines de l’équation en wsont : w1=−5 + 12i,
w2=−5−12i. Les racine carrées de w1sont z1,2=±(2+3i); Les racine carrées de w2sont z3,4=±(2−3i).
(Remarque : On peut voir que comme w2= ¯w1, on a z3,4= ¯z1,2. Aussi : le polynome en zest réel, donc
si zest une solution alors ¯zen est une et comme toutes les puissances sont paires −zest une aussi.)
Racines n-ièmes
Exercice 3.15.
(a) Déterminer les racines 3-ièmes de −2+2i.
(b) Déterminer les racines 6-ièmes de 1 + i
√3−i.
Exercice 3.16 (Pour s’entraîner).Déterminer les racines 4-ièmes de 4iet représentez-les dans le plan
complexe.
Réponse. 4i= 4eiπ
2. On trouve wk=√2ei(π
8+kπ
2):√2eiπ
8,√2ei5π
8,√2ei9π
8,√2ei13π
8.
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