Fonctions réelles - LAMA

Chapitre 5
FONCTIONS R´ EELLES
Les fonctions r´ eelles sont l’une des briques fondamentales de l’analyse. Nous consid´ erons
ici le cas le plus simple, celui des fonctions d’une seule variable. Dans les sciences appliqu´ ees
et dans de nombreuses branches des math´ ematiques, on a besoin de fonctions de plusieurs va-
riables : mais on peut consid´ erer certaines variables comme des param` etres, et on est alors ra-
men´ e` a l’´ etude d’une fonction d’une seule variable. D’autres types de fonctions, plus g´ en´ eraux,
sont aussi tr` es utilis´ es. Mais ce cours introductif se limitera au cas le plus ´ el´ ementaire.
L’une des questions essentielles relatives aux fonctions est l’´ etude de leur r´ egularit´ e : sont-
elles continues, d´ erivables ? Ce n’est pas tant que ce renseignement ait de la valeur en soi,
mais il a de nombreuses cons´ equences tr` es utiles, exprim´ ees dans ce chapitre sous la forme de
th´ eor` emes g´ en´ eraux sur les fonctions continues, ou les fonctions d´ erivables. Mˆ eme si on ´ etudie
surtout ici les fonctions r´ eguli` eres, il faut garder ` a l’esprit qu’il en existe d’autres : celles-l` a
malheureusement sont bien plus difficiles ` a aborder.
5.A CONTINUIT´ E
D´ EFINITION 5.1 On appelle fonction r´ eelle de la variable r´ eelle toute application fd’un sous-
ensemble non-vide de R, et `a valeurs dans R. L’ensemble de d´epart est appel´e ensemble de d´ efinition
de f, on le note Df.
On dit aussi tout simplement fonction. L’ensemble de d´ efinition est souvent d´ eduit de la
formule de f(x), lorsque celle-ci est donn´ ee. Pour cela on tient compte que les divisions par
z´ ero sont interdites, que les racines carr´ ees doivent avoir un argument positif ou nul, etc. Par
exemple l’application f:x7→ √1−x2
xest une telle fonction. On a dans ce cas Df= [−1,0[ ∪
]0,+1].
On notera qu’une fonction n’est pas forc´ ement d´ efinie par une formule unique. Ainsi la
fonction de Dirichlet donn´ ee par
Dir(x) = (1si x∈Q
0si x /∈Q(5.1)
est d´ efinie sur Rtout entier, mais ne peut ˆ etre r´ esum´ ee ` a des formules, mˆ eme sur des sous-
intervalles.

2CHAPITRE 5—FONCTIONS R´ EELLES
De mˆ eme, on a parfois besoin de cr´ eer de nouvelles fonctions qui ne se d´ eduisent pas du
r´ epertoire existant. Nous y reviendrons en d´ etail au chapitre suivant, mais donnons un exemple
simple : pour chaque r´ eel x, il existe un entier (relatif) plus grand que les autres et inf´ erieur ` a
x(pourquoi ?). On l’appelle la partie enti`ere de xet on le note E(x)ou bxc; il v´ erifie bxc6x <
bxc+ 1 pour tout x. Cela d´ efinit une fonction aussi appel´ ee partie enti`ere, d´ efinie sur R.
5.A.1 Limite d’une fonction
D´ EFINITION 5.2 On dit qu’une fonction fadmet une limite `au point a, si pour toute suite
(xn)⊂Df\ {a}de limite a, la suite (f(xn)) converge vers `. On ´ecrit alors `= limx→af(x).
Noter que l’on ne suppose pas a∈Df, et que l’on ne consid` ere que les suites telles que
xn∈Dfet xn6=a. On dit aussi que f(x)tend vers `lorsque xtend vers a.
La d´ efinition et la notation se g´ en´ eralisent aux cas `=±∞. On v´ erifie habituellement l’exis-
tence d’une limite en utilisant les limites de suites (preuve directe), ou les propri´ et´ es de conti-
nuit´ e des fonctions (preuve par composition, voir ci-apr` es). Par exemple, on voit directement
que limx→0xsin 1
x= 0 : pour toute suite (xn)de limite 0, la suite sin 1 xnest born´
ee, et donc la
proposition 4.13 permet de conclure.
Lorsqu’on veut montrer qu’une fonction n’a pas de limite en un point, il est souvent utile
d’utiliser directement la d´ efinition. Par n´ egation, il suffit de trouver deux suites diff´ erentes
(xn),(exn), de limite a, mais telles que f(xn)et f(exn)ont des limites diff´ erentes. Par exemple la
fonction de Dirichlet vue plus haut n’a de limite en aucun point. En effet, tout r´ eel aest la limite
d’une suite de rationnels (xn)(par exemple ses troncatures d´ ecimales, voir chapitre 2). Mais il
est alors aussi limite d’une suite d’irrationnels (exn)(prendre par exemple exn=xn+π/n). On
a alors Dir(xn) = 1 et Dir(exn) = 0, donc les limites sont diff´ erentes.
Parfois la limite n’existe que pour les suites (xn)de limite atelles que xn> a : on parle
alors de limite `a droite, et l’on ´ ecrit lim
x> →a
. Mˆ eme chose pour la limite `a gauche, not´ ee lim
x< →a
. On
notera qu’une suite de Df\ {a}et de limite apeut toujours ˆ etre s´ epar´ ee en termes > a,< a
(´ eventuellement aucun dans l’une des cat´ egories). De ce fait, une fonction a une limite en asi
et seulement si elle a une limite ` a gauche et ` a droite, et que ces deux limites sont les mˆ emes. La
fonction partie enti` ere x7→ bxcd´ efinie pr´ ec´ edemment a une limite ` a gauche et ` a droite en tout
point a, mais celles-ci ne sont ´ egales que si a /∈Z.
5.A.2 Continuit´ e
D´ EFINITION 5.3 On dit qu’une fonction fest continue au point asi a∈Dfet que f(x)a
pour limite f(a)lorsque xtend vers a.
Il faut donc deux choses : primo que la limite existe, secundo que fsoit d´ efinie en aet que
la valeur f(a)soit ´ egale ` a la limite en a. Dans le cas de la fonction de Dirichlet, f(a)existe pour
tout a, mais n’est jamais ´ egal ` a la limite de f(x), puisque celle-ci n’existe pas : une telle fonction
n’est donc continue en aucun point.
Comme pour les limites, on dit aussi que fest continue ` a gauche/` a droite si la propri´ et´ e
n’est vraie que pour la limite ` a gauche/` a droite. Ainsi la fonction partie enti` ere est continue ` a
droite en tout point, mais n’est pas continue ` a gauche aux points a∈Z.
D´ EFINITION 5.4 On dit que fest continue sur l’intervalle I= [a, b](ou plus g´en´eralement sur
un sous-ensemble I⊂R) si elle est continue en tout point α∈I.

5.A — CONTINUIT´ E3
En reprenant les deux d´ efinitions, on peut r´ esumer la propri´ et´ e de continuit´ e sur [a, b]
comme cela : pour toute suite convergente (xn)⊂[a, b], on a
f(lim xn) = lim f(xn).(5.2)
(En effet la limite de (xn)doit ˆ etre dans [a, b], d’apr` es la proposition 4.12.)
Soit fune fonction, et a /∈Df. Supposons que fa une limite finie `au point a. Consid´ erons
la nouvelle fonction e fd´ efinie par e f(x) = f(x), si x6=a, et e f(a) = `. On a alors De
f=Df∪ {a},
et e fest continue au point a. On dit que e fest le prolongement par continuit´e de fau point a.
Un tel proc´ ed´ e permet de rajouter un point dans l’ensemble de d´ efinition d’une fonction, en
conservant la continuit´ e (ce qui est souvent d´ esirable). Ainsi la fonction x7→ xsin 1
xpeut se
prolonger en x= 0 avec la valeur 0, d’apr` es ce que nous avons vu pr´ ec´ edemment.
Exercice 5.a Soit fune fonction d´ efinie sur un intervalle ]α, β[contenant le point a, et
continue en a, telle que f(a)>0. Montrer qu’il existe ε > 0tel que pour tout x∈]a−ε, a +ε[,
f(x)>0.
5.A.3 Op´ erations sur les fonctions continues
TH´ EOR ` EME 5.1 Soient fet gdeux fonctions continues au point a. Alors f+g,f−g,fg sont
continues, ainsi que f/g si g(a)6= 0.
D´emonstration. Soit (xn)une suite de limite a. Par hypoth` ese, f(xn)→f(a)et g(xn)→g(a).
Donc f(xn) + g(xn)→f(a) + g(a), et de mˆ eme avec les autres op´ erations, par application du
th´ eor` eme 4.6.
TH´ EOR ` EME 5.2 Soit fune fonction continue en a, et gune fonction continue en f(a). Alors
g◦fest continue en a.
D´emonstration. Soit (xn)une suite de limite a. Alors yn:= f(xn)est le terme g´ en´ eral d’une
suite de limite f(a), par continuit´ e de f. Par continuit´ e de g, on doit avoir lim yn=g(f(a)). Mais
cela revient exactement ` a dire que lim g◦f(xn)→g◦f(a), donc g◦fest continue en a.
En partant de fonctions tr` es simples et visiblement continues (comme les constantes ou la
fonction x7→ x), on d´ eduit donc ainsi, par application des quatre op´ erations ´ el´ ementaires et de
la composition, que bien d’autres fonctions sont continues. Notons que la plupart des fonctions
usuelles sont continues (voir chapitre 6 notamment).
5.A.4 Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires
Le terme mˆ eme de continuit´e implique l’absence de rupture dans un processus quel-
conque. (Inversement une telle rupture s’appelle une solution de continuit´e, le terme «solution »
d´ esignant ici une disparition, comme en chimie.) Ainsi un objet qui se d´ eplace a intuitivement
un mouvement continu, c’est-` a-dire qu’il ne peut passer instantan´ ement d’un point ` a un autre.
Par exemple une personne situ´ ee dans une pi` ece ne peut pas sortir de la pi` ece sans passer par
les bords de celle-ci (portes, fenˆ etres, voire murs. . .).
C’est exactement cette notion intuitive que le th´ eor` eme suivant explicite rigoureusement :

4CHAPITRE 5—FONCTIONS R´ EELLES
TH´ EOR ` EME 5.3 (DES VALEURS INTERM´ EDIAIRES)Soit fune fonction continue sur un
intervalle [a, b]. Alors pour toute valeur γcomprise entre f(a)et f(b), il existe un c∈[a, b]tel que
f(c) = γ.
Le nombre γest donc un nombre «interm´ ediaire »entre f(a)et f(b)(en d’autres termes on
aγ∈[f(a), f(b)] si f(a)6f(b), et γ∈[f(b), f(a)] dans le cas contraire). Le th´ eor` eme indique
que ce nombre est une valeur de la fonction, c’est-` a-dire est dans l’image de [a, b]par f.
D´emonstration. La d´ emonstration suivante utilise un proc´ ed´ e appel´ edichotomie (divisions
successives par deux), qui est tr` es utile non seulement en math´ ematiques, mais aussi en infor-
matique ou diff´ erentes sciences appliqu´ ees. Elle est donc int´ eressante par elle-mˆ eme.
Supposons par exemple que f(a)6f(b), de sorte que γ∈[f(a), f(b)] (l’autre cas se
d´ emontre de fac¸on similaire). On construit deux suites (an)et (bn)de la fac¸on suivante. On
part de a0:= a,b0:= b, et on fait une r´ ecurrence en consid´ erant, ` a l’´ etape n, la valeur de fpour
le nombre (an+bn)/2, milieu de l’intervalle [an, bn]. On construit alors les valeurs suivantes
ainsi :
– Si f(an+bn
2)< γ, on pose an+1 = (an+bn)/2et bn+1 =bn;
– dans le cas contraire f(an+bn
2)>γ, on pose an+1 =anet bn+1 = (an+bn)/2.
En examinant les deux cas, on voit facilement que l’on a pour tout n:an< bn,(an)est
croissante, (bn)d´ ecroissante et
06bn−an6b−a
2net f(an)6γ6f(bn).
En particulier lim |bn−an|= 0, et donc les deux suites (an)et (bn)sont adjacentes : par le
th´ eor` eme 4.9, elles convergent donc vers une limite commune c. On a c∈[a, b]car an∈[a, b]
pour tout n. Comme fest continue, lim f(an) = f(c) = lim f(bn); la deuxi` eme double in´ egalit´ e
ci-dessus implique donc que f(c) = γ.
5.A.5 Image continue d’un intervalle
Pour une application fquelconque d´ efinie sur un ensemble non-vide A⊂R, on appelle
infimum de fsur Ala borne inf´ erieure de f(A), si elle existe, ou le nombre −∞ si f(A)n’est pas
minor´ ee. On le note infAfou infx∈Af(x). On d´ efinit de mˆ eme le supremum de fsur A, qui est
la borne sup´ erieure de f(A)ou +∞; on le note supAfou supx∈Af(x).
COROLLAIRE 5.1 Soit Iun intervalle de R, et fune fonction continue sur I. Alors f(I)est
aussi un intervalle de R, dont les bornes sont infx∈Af(x)et supx∈Af(x).
En effet un ensemble A⊂Rest un intervalle si et seulement si pour tout x, y ∈A, avec
x6y, on a [x, y]⊂A. Ici il suffit de consid´ erer deux valeurs α, β ∈f(I), qui doivent donc
satisfaire α=f(a)avec a∈I, et β=f(b)avec b∈I, puis d’appliquer le th´ eor` eme des valeurs
interm´ ediaires. Noter qu’il importe peu ici que l’intervalle soit ouvert, ferm´ e ou semi-ouvert.
Par ailleurs f(I)peut ˆ etre ferm´ e avec Iouvert, ou le contraire, et toutes les autres combinaisons
sont possibles. Par exemple sin(]−π, π[) = [−1,+1],cos(−π
2,π 2) = ]0,1], etc.
Le fait que les bornes soient exactement l’infimum et le supremum r´ esulte de leur d´ efinition
et de la proposition 2.5.
On notera que l’image r´ eciproque d’un intervalle par une fonction continue n’est pas un
intervalle. Par exemple l’image r´ eciproque de [0,1] par la fonction sinus est [0,π
2]+2πZ, une
r´ eunion infinie d’intervalles. Cependant, la propri´ et´ e suivante est int´ eressante :

5.A — CONTINUIT´ E5
PROPOSITION 5.1 Soit fune fonction r´eelle continue d´efinie sur un intervalle ferm´e I, et Jun
intervalle ferm´e de R. Posons A:= f(−1)(J) = {x∈I;f(x)∈J}. Alors si Aest non-vide et minor´ee,
on a inf A∈A. (De mˆeme si Aest non-vide et major´ee, alors sup A∈A.)
Autrement dit, Aa un ´ el´ ement minimal (ou maximal) au sens de la d´ efinition 2.2, bien que
ce ne soit pas forc´ ement un intervalle. Noter que les intervalles Iet Jne sont pas suppos´ es
born´ es.
D´emonstration. Posons c= inf A, et supposons par l’absurde que c /∈A. Consid´ erons une
suite (cn)⊂Atelle que cn> c et lim cn=c. (Une telle suite doit exister, parce que c+1
nn’est pas
un minorant de Apar d´ efinition de la borne inf´ erieure : donc il existe un cndans A∩]c, c +1
n[.)
Comme lim cn=c, et que Iest un intervalle ferm´ e, on a c∈Id’apr` es la proposition 4.12.
En particulier, fest continue en cet donc f(c) = lim f(cn). Or par d´ efinition de A,f(cn)∈J;
encore une fois, J´ etant un intervalle ferm´ e, on en d´ eduit que f(c) = lim f(cn)est aussi dans J.
Mais cela signifie exactement que c∈A, une contradiction.
5.A.6 Le th´ eor` eme des bornes
Si Iest un intervalle et fest continue, f(I)est donc un intervalle. Il est possible que certains
de ces intervalles soient infinis ; et cela peut arriver mˆ eme si Iest un intervalle born´ e. (Par
exemple si f:x7→ 1/x, alors f(]0,1] = [1,+∞[.) Le th´ eor` eme suivant indique que si l’intervalle
Iest `a la fois ferm´e et born´e, alors f(I)aussi ; en particulier fest alors born´ ee aussi.
TH´ EOR ` EME 5.4 Soit fune fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e [a, b], et posons
α:= infx∈[a,b]f(x),β:= supx∈[a,b]f(x). Alors αet βsont finis, et il existe c,ddans [a, b]tels que
f(c) = α, et f(d) = β. En particulier, f([a, b]) = [α, β]est un intervalle ferm´e born´e.
On dit qu’une fonction continue «atteint ses bornes »: les bornes inf´ erieures et sup´ erieures
de f([a, b]) sont des valeurs de fpour certaines valeurs de la variable. Il est essentiel dans ce
th´ eor` eme que [a, b]soit ` a la fois ferm´ e et born´ e. Par exemple exp(R−) = ]0,1], parce que R−est
ferm´ e, mais non born´ e.
D´emonstration. Nous allons montrer que αest fini et qu’il existe c∈[a, b]tel que f(c) = α.
La preuve de l’existence de dest similaire. L’existence de cet d, combin´ ee avec le corollaire 5.1,
implique que f([a, b]) = [α, β].
Par d´ efinition de α, on a α6f(a), mais si f(a) = α, il suffit de prendre c=a. Dans la suite
nous supposerons donc que f(a)> α. D` es lors, il existe une suite strictement d´ ecroissante
(αn), telle que α0=f(a)et lim αn=α. (Si α=−∞, on peut prendre αn=f(a)−n; si α∈R,
αn=α+ (f(a)−α)/2nfait l’affaire.)
Comme αn> αn+1 >α,αnn’est pas un minorant de f([a, b]) (puisque αest, par d´ efinition,
le plus grand des minorants). L’ensemble Xn:= {x∈[a, b], f(x)6αn}est donc non-vide. Il
est aussi born´ e puisque Xn⊂[a, b]. Comme il est de la forme f(−1)(J)avec J= ]−∞, αn]un
intervalle ferm´ e, il r´ esulte de la proposition 5.1 que Xna un ´ el´ ement minimal cn, c’est-` a-dire
tel que cn= inf Xn, et cn∈Xn. Cette derni` ere relation implique que f(cn)6αn; or f(cn)>α
par d´ efinition de α, donc le th´ eor` eme des gendarmes implique que lim f(cn) = α, puisque
lim αn=α.
D’apr` es la d´ efinition de Xnet le fait que la suite (αn)est d´ ecroissante, on voit que Xn+1 ⊂
Xn; donc cn+1 = inf Xn+1 >inf Xn=cn, c’est-` a-dire que la suite (cn)est croissante. Comme
elle est major´ ee par b, elle converge donc vers une limite c∈[a, b].
La fonction fest continue en cpar hypoth` ese ; on a donc f(c) = lim f(cn) = α. Cela montre
notamment que α∈R(puisque fest ` a valeurs r´ eelles), et termine la d´ emonstration.