Devoir maison de mathématiques n°1

3°
Devoir maison de mathématiques n°1
Les devoirs maisons doivent être rédigés sur une feuille double.
Ils doivent être rendus le jour prévu : aucun retard ne sera accepté.
Une attention toute particulière sera portée sur le soin, la présentation et la clarté des
solutions et des réponses.
Exercice n°1 : Un problème de boîte.
Une boite en carton a la forme d’un parallélépipède rectangle. Ses dimensions sont 374 mm,
204 mm, et 136 mm.
On désire remplir cette boîte de cubes dont l’arête mesure un nombre entier de millimètres,
sans qu’il reste d’espace vide.
1. Calculer la longueur d’arête du plus grand cube possible.
Je calcule le PGCD de 374 et 204 à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
374-204 =170
204-170 = 34
170-5×34 = 0
PGCD (204 ; 374)= 34
Je vérifie si 34 est aussi un diviseur de 136 :
136÷34 = 4 reste 0
34 est donc le Plus Grand Diviseur Commun à 136, 204 et 374.
2. Calculer alors le nombre de cubes contenus dans la boîte.
374÷ 34 =11
204÷ 34 = 6 11×6×4 = 264
136÷34 = 4
Il y a 264 cubes dans cette boîte.
374 mm
136 mm
204 mm
?

Exercice n°2 : Les nombres parfaits et les nombres premiers.
1. a. Ecrire la liste des diviseurs de 28.
Diviseurs de 28 : 1 – 28 – 2 – 14 – 4 – 7
b. Calculer la somme de tous les diviseurs de 28 sauf 28 lui-même. Que remarque-t-
on ?
Somme (Diviseurs sauf 28) =
1+ 2+4+7 +14 = 28
La somme des diviseurs de 28, hormis 28, est égale à 28.
c. Définition : Un nombre entier positif est dit parfait lorsqu’il est égal à la somme de
ses diviseurs autres que lui-même.
Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits.
Diviseurs de 6 : 1 – 6 – 2 – 3
Somme (Diviseurs sauf 6) =
1+ 2+3 = 6
. 6 est bien un nombre parfait.
Diviseurs de 496 : 1 – 496 – 2 – 248 – 4 – 124 – 8 – 62 – 16 – 31
Somme (Diviseurs sauf 496) =
1+ 2+4+8+16+31+62+124+248 = 496
496 est bien un nombre parfait.
2. Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’admet que deux diviseurs : 1 et
lui-même.
a. Citer deux nombres premiers.
1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – etc…
Il existe de nombreux sites mathématiques traitant des nombreux premiers.
b. Un nombre premier peut-il être parfait ? Justifier.
On considère un nombre premiers P :
Diviseurs de P : 1 et P
Somme (Diviseurs sauf P) = 1.
Dans tous les cas, cette somme est égale à 1, donc ne pas être égale au
nombre N.
Remarque : Pour le nombre premier 1, cette somme est égale à… zéro.