Exercices (Série 12)

MAT-1300
A-14
Exercices (Série 12)
Partie A – Exercices tirés du livre Sur le sentier des mathématiques
• Exercices de la section 6.2 (pp. 66-68)
Faire les nos suivants :
5 – 6 – 7 – 11 – 12 – 19 – 20.
• Exercices de la section 7.1 (pp. 73-74)
Faire les nos suivants :
2 – 4 – 5.
• Exercices de la section 7.2 (p. 78)
Faire les nos suivants :
3 – 6.
(Tuyau pour le no 6 : On observera que 56 ≡ 1 (mod 7).)
Partie B – Autres exercices
1. Soit a, b ∈ Z et posons d = pgcd(a, b).
(a) Montrer que pour tout e ∈ Z, e est un diviseur commun de a et b si, et seulement
si, e | d.
(b) Montrer que pour tout f ∈ Z, f s’écrit comme une combinaison linéaire de a et b
si, et seulement si, d | f . (Autrement dit, si, et seulement si, f est un multiple de
d.)
(c) En conclure que le pgcd de a et b est le plus petit nombre positif
i. divisible par tout diviseur commun de a et b ;
ii. pouvant s’exprimer comme une combinaison linéaire de a et b.
2. Soit a, b ∈ Z tel que (a, b) = 1. Montrer que (a + b, a − b) = 1 ou 2.
3. (a) En utilisant l’algorithme d’Euclide, calculer le pgcd de 2786 et 3310.
(b) Appelant d le pgcd trouvé à la partie (a), donner deux expressions différentes de
d sous la forme d = 2786x + 3310y, avec x, y ∈ Z.
(c) Donner le ppcm de 2786 et 3310.
(d) Écrivant les deux nombres 2786 et 3310 sous forme de factorisation première,
retrouver leur pgcd et leur ppcm.
4. Soit les deux naturels u = 23 · 32 · 112 · 175 · 238 et v = 24 · 54 · 114 · 194 . On se restreint
dans cette question aux diviseurs positifs de u et de v.
(a) Trouver le pgcd et le ppcm de u et v.
(b) Trouver tous les diviseurs impairs de v compris entre 110 et 310.
(c) Trouver un diviseur de u ayant exactement 24 diviseurs.
(d) Combien u et v ont-ils de diviseurs communs ?
(e) Quel est le nombre de diviseurs de v qui ne sont pas des multiples de 5 ?
5. Caractériser les nombres naturels n ayant un nombre impair de diviseurs positifs.
6. Par combien de zéros le nombre 77! se termine-t-il ?
7. On s’intéresse ici à la question suivante : certaines relations sur un ensemble donné sontelles ou non des fonctions ? On exprimera souvent cette situation en se demandant si
certaines fonctions sont bien définies ou non. Il s’agit donc de vérifier si un élément
donné a une image unique bien déterminée.
Soit un entier fixe n ≥ 2 et considérons l’ensemble Z/nZ. Dans chacun des cas suivants,
dire si l’ opération sur Z/nZ est bien définie.
(La notation |x| représente la valeur absolue de l’entier x.)
(a) f : Z/2Z −→ Z/2Z, où on pose f (a) = |a| .
(b) f : Z/7Z −→ Z/7Z, où on pose f (a) = |a| .
(c) ∗ : Z/2Z × Z/2Z −→ Z/2Z, où on pose a ∗ b = |a| + |b| .
(d) ∗ : Z/3Z × Z/3Z −→ Z/3Z, où on pose a ∗ b = |a| + |b| .
(e) ∗ : Z/2Z × Z/2Z −→ Z/2Z, où on pose a ∗ b = |a| · |b| .
(f) ∗ : Z/5Z × Z/5Z −→ Z/5Z, où on pose a ∗ b = |a| · |b| .
(g) ∗ : Z/6Z × Z/6Z −→ Z/6Z, où on pose a ∗ b = a · b .
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