Exercices (Série 12)

MAT-1300 A-14
Exercices (S´erie 12)
Partie A – Exercices tir´es du livre Sur le sentier des math´ematiques
•Exercices de la section 6.2 (pp. 66-68)
Faire les nos suivants : 5 – 6 – 7 – 11 – 12 – 19 – 20.
•Exercices de la section 7.1 (pp. 73-74)
Faire les nos suivants : 2 – 4 – 5.
•Exercices de la section 7.2 (p. 78)
Faire les nos suivants : 3 – 6.
(Tuyau pour le no6 : On observera que 56≡1 (mod 7).)
Partie B – Autres exercices
1. Soit a, b ∈Zet posons d=pgcd(a, b).
(a) Montrer que pour tout e∈Z,eest un diviseur commun de aet bsi, et seulement
si, e|d.
(b) Montrer que pour tout f∈Z,fs’´ecrit comme une combinaison lin´eaire de aet b
si, et seulement si, d|f. (Autrement dit, si, et seulement si, fest un multiple de
d.)
(c) En conclure que le pgcd de aet best le plus petit nombre positif
i. divisible par tout diviseur commun de aet b;
ii. pouvant s’exprimer comme une combinaison lin´eaire de aet b.
2. Soit a, b ∈Ztel que (a, b) = 1. Montrer que (a+b, a −b) = 1 ou 2.
3. (a) En utilisant l’algorithme d’Euclide, calculer le pgcd de 2786 et 3310.
(b) Appelant dle pgcd trouv´e `a la partie (a), donner deux expressions diff´erentes de
dsous la forme d= 2786x+ 3310y, avec x, y ∈Z.
(c) Donner le ppcm de 2786 et 3310.
(d) ´ Ecrivant les deux nombres 2786 et 3310 sous forme de factorisation premi`ere,
retrouver leur pgcd et leur ppcm.

4. Soit les deux naturels u= 23·32·112·175·238et v= 24·54·114·194. On se restreint
dans cette question aux diviseurs positifs de uet de v.
(a) Trouver le pgcd et le ppcm de uet v.
(b) Trouver tous les diviseurs impairs de vcompris entre 110 et 310.
(c) Trouver un diviseur de uayant exactement 24 diviseurs.
(d) Combien uet vont-ils de diviseurs communs ?
(e) Quel est le nombre de diviseurs de vqui ne sont pas des multiples de 5 ?
5. Caract´eriser les nombres naturels nayant un nombre impair de diviseurs positifs.
6. Par combien de z´eros le nombre 77! se termine-t-il ?
7. On s’int´eresse ici `a la question suivante : certaines relations sur un ensemble donn´e sont-
elles ou non des fonctions ? On exprimera souvent cette situation en se demandant si
certaines fonctions sont bien d´efinies ou non. Il s’agit donc de v´erifier si un ´el´ement
donn´e a une image unique bien d´etermin´ee.
Soit un entier fixe n≥2 et consid´erons l’ensemble Z/nZ. Dans chacun des cas suivants,
dire si l’op´eration sur Z/nZest bien d´efinie.
(La notation |x|repr´esente la valeur absolue de l’entier x.)
(a) f:Z/2Z−→ Z/2Z, o`u on pose f(a) = |a|.
(b) f:Z/7Z−→ Z/7Z, o`u on pose f(a) = |a|.
(c) ∗:Z/2Z×Z/2Z−→ Z/2Z, o`u on pose a∗b=|a|+|b|.
(d) ∗:Z/3Z×Z/3Z−→ Z/3Z, o`u on pose a∗b=|a|+|b|.
(e) ∗:Z/2Z×Z/2Z−→ Z/2Z, o`u on pose a∗b=|a|·|b|.
(f) ∗:Z/5Z×Z/5Z−→ Z/5Z, o`u on pose a∗b=|a|·|b|.
(g) ∗:Z/6Z×Z/6Z−→ Z/6Z, o`u on pose a∗b=a·b.
2