correction DM PGCD - lesiteduprofdemath

correction DM
PGCD
EX 1 – a) Faux : Le PGCD de deux entiers est un diviseur de chacun des nombres. Il peut donc être égal à l'un
des deux nombres ( PGCD ( 10 ; 20) = 10 )
b) Faux : 6 a 4 diviseurs et 7 ( qui est plus grand que 6 ) n'en a que 2.
c) Faux : ( il fallait évidemment comprendre : premier entre-eux ) deux nombres pairs ont au moins le
nombre 2 comme diviseur commun.
d) Faux : PGCD( 5 ; 10 ) = 5
e) Vrai : si a/b est irréductible, alors a et b sont premier entre-eux et b/a est aussi irréductible.
f) Faux : 3 divise 6 ; 3 divise 18 ; mais PGCD ( 6 ; 18 ) = 6 et pas 3
EX 2 – Les diviseurs de 28 sont : 1 , 2 , 4 , 7 , 14 , 28 et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Les diviseurs de 496 sont : 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 31 , 62 , 124 , 248 , 496
et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Donc 28 et 496 sont des nombres parfaits
EX 3 – a) Par l'algorithme d'Euclide, on trouve PGCD ( 18 ; 30 ) = 6 ( évidemment vos calculs doivent être
sur la copie )
b) multiples de 18 : 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , …..
multiples de 30 : 30 , 60 , 90 , 120 , 150 , 180 , …
PPCM ( 18 ; 30 ) = 90
c ) On remarque que 18  30 = 540 = PPCM ( 18 ; 30 )  PGCD ( 18 ; 30 )
d) Propriété : le produit de deux nombres entiers est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM
a  b = PGCD( a ; b )  PPCM ( a ; b )
e) D'après la propriété précédente, on a : PPCM ( 128 ; 36 ) = ( a  b ) / PGCD ( a ; b )
l'algorithme d'Euclide donne : PGCD ( 128 ; 36 ) = 4
et PPCM ( 128 ; 36 ) = 128  36 / 4 = 1152
EX 4 – a) Tout d'abord on veut la dimension d'une dalle en cm. On convertit donc les dimensions du mur en
cm. La dimension d'une dalle est un diviseur des deux dimensions 420 et 870. On cherche de plus la plus
grande dimension possible. On doit donc chercher le PGCD de 420 et 870.
L'algorithme d'Euclide donne 30.
La plus grande dalle a pour côté 30 cm.
b) 420/30 = 14 dalles en largeur , 870/30 = 29 dalles en longueur
14  29 = 406 dalles en tout.
c) Si la précision de " plus grande dalle possible " est supprimée, alors les dimensions possibles sont
tous les diviseurs communs à 420 et 870
420 210 140 105 84 70 60 42 35
1
2
3
4
5 6 7 10 12
30
14
28
15
21
20
870 435 290 174 145 87 58 30
1
2
3
5 6 10 15 29
Les dimensions possibles sont , en cm , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 10 , 15 , 30.