fonction exponentielle

FONCTION EXPONENTIELLE
Ph DEPRESLE
29 juin 2015
Table des matières
1 Propriétés algébriques 2
2 Nouvelle notation 2
3 Étude de la fonction exponentielle 2
3.1 Variations et limites ........................................ 2
3.2 Représentation graphique ..................................... 3
3.3 Taux d’accroissement en 0 ..................................... 4
3.4 Croissances comparées de la fonction x7→exet de la fonction x7→ x........... 4
3.5 Résolution d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Fonction composée x7→eu(x)4
5 QCM 6
6 EXERCICES : Les exercices de base 7
7 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 10
1

Chapitre : Fonction exponentielle Terminale S
1 Propriétés algébriques
Théorème 1. Pour tous réels a et b, exp(a+b)=exp(a)×exp(b).
Démonstration :
Soit aun réel quelconque fixé.On définit la fonction gsur Rpar :
g(x)=exp(a+x)
exp(a)=1 exp(a)×exp(a+x) .
La fonction gest définie et dérivable sur Rpuisque la fonction exponentielle est dérivable sur R.
Ainsi pour tout réel x,g′(x)=1
exp(a)×exp(a+x) .
Donc g′(x)=g(x) et de plus g(0) =1.
D’après le théorème 1, on a donc pour tout réel x,g(x)=exp(x) soit exp(a+x)
exp(a)=exp(x) ou encore
exp(a+x)=exp(a)×exp(x). N
Propriétés 1. Pour tous réels a et b et pour tout entier relatif n, on a :
exp(−b)=1
exp(b)exp(a−b)=exp(a) exp(b)exp(na)=[exp(a)]n
2 Nouvelle notation
Le nombre exp(1) est noté e. Une valeur approchée à 10−8près, donnée par une calculatrice, est
2,71828182.
On a, pour tout entier relatif n, exp(n)=[exp(n×1)] =[exp(1)]n=en.
Notation : Pour tout xréel, on notera : exp(x)=ex.
Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle se réécrivent alors de la façon suivante :
∀a,b∈R∀n∈Z
•ea+b=eaeb•e−b=1
eb•ea−b=ea eb•ena =(ea)n•ea
2=pea
On remarque que ces propriétés s’écrivent comme un prolongement des règles de calcul sur les ex-
posants, ce qui justifie l’écriture exp(x)=ex.
Attention : Ne pas confondre ex2=exp(x2) et (ex)2=e2x=exp(2x).
3 Étude de la fonction exponentielle
3.1 Variations et limites
Propriétés 2. La fonction exponentielle est strictement croissante sur Ret
lim
x→+∞ex=+∞ et lim x→−∞ex=0
Démonstration :
△ROC
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Chapitre : Fonction exponentielle Terminale S
•La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle qui est strictement positive
donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
x−∞ 0+∞
exp ✟✯
✟
✟
1
✟✯
✟
✟
d’après le tableau :
Si x>0 alors ex>1
Si x<0 alors ex<1
•Soit hla fonction définie par h(x)=ex−x,hest dérivable et h′(x)=ex−1.
Donc pour tout réel xÊ0, on a exÊ1, soit h′(x)Ê0.
De même h′(x)É0 pour xÉ0.
Le tableau de variation de hest donc :
x−∞ 0+∞
h′(x)−0+
h(x)◗◗
◗s ✑✑
✑✸
1
Comme h(0) =1 , 1 est le minimum de la fonction h.
Ainsi pour tout x∈R, on a ex−xÊ1 donc ex−xÊ0 et donc exÊx.
Comme lim
x→+∞x= +∞; par comparaison, lim x→+∞ex=+∞
•C’est le théorème de composition des limites.
On a ex=1
e−x.
lim
x→−∞−x=+∞
lim
X→+∞eX=+∞ )lim
x→−∞e−x=+∞
Donc lim
x→−∞
1
e−x=0 donc lim
x→−∞ex=0N
3.2 Représentation graphique
On déduit de ce qui précède le tableau
de variation de la fonction exponentielle :
x−∞ 0+∞
exp′(x)+
exp
0
✟✯
✟
✟
1
✟✯
✟
✟+∞
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Chapitre : Fonction exponentielle Terminale S
1
2
3
4
5
−1
123−1−2−3−4−5−6
y=ex
e
y=x+1
y=ex
La représentation graphique de la fonction exponentielle admet l’axe des abscisses pour
asymptote en −∞
3.3 Taux d’accroissement en 0
lim
h→0
eh−1
h=1
3.4 Croissances comparées de la fonction x7→exet de la fonction x7→ x
Théorème 2.
lim
x→+∞
ex
x=+∞ et lim
x→−∞xex=0
3.5 Résolution d’équations et d’inéquations
La fonction exponentielle est continue sur R(car dérivable),
et strictement croissante sur R
Donc tout m∈]0;+∞[ a un unique antécédent.
x−∞ 0+∞
exp
0
✟✯
✟
✟
1
✟✯
✟
✟+∞
donc ea=eb⇐⇒ a=b
eaÉeb⇐⇒ aÉb
en particulier ex=1⇐⇒ x=0
ex=e⇐⇒ x=1
4 Fonction composée x7→eu(x)
Théorème 3. Soit une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I de R. La fonction f définie
sur I par f (x)=eu(x)est dérivable sur I et, pour tout x ∈I,f′(x)=u′(x)eu(x).
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Chapitre : Fonction exponentielle Terminale S
5 QCM
1. L’expression −e−x
a. n’est jamais
négative
b. est toujours
négative
c. n’est néga-
tive que si x
est positif
d. n’est néga-
tive que si x
est négatif
2. L’équation e2x−3ex−4=0 admet dans R:
a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2
solutions
3. lim
x→+∞
2ex−1
ex+2=
a. −1
2b. 1 c. 2 d. +∞
4. Pour tout réel a et tout entier relatif n, (ea)n=
a. e(an)b. ean c. enlnad. ea+n
5. Pour tout réel x l’expression 3e−x
1+2e−xpeut s’écrire :
a. 3
e−x+2b. 3 ex+2c. ex+2 3d. 3 ex−2
Solutions
1. L’expression −e−xest toujours négative, car e−xest toujours positive.
La bonne réponse est b.
2. L’équation X2−3X−4=0 admet deux solutions : -1 et 4.
e2x−3ex−4=0⇐⇒ (ex=−1 ou ex=4)
L’équation e2x−3ex−4=0 admet dans Rune solution unique (ln4).
La bonne réponse est b.
3. 2ex−1
ex+2=ex(2−e−x) ex(1+2e−x)=2−e−x 1+2e−x.
Or lim
x→+∞e−x=0, donc lim x→+∞
2ex−1
ex+2=2
La bonne réponse est c.
4. (ea)n=ean, la bonne réponse est b.
5. Pour tout réel x l’expression 3e−x
1+2e−xpeut s’écrire 3 ex+2. La bonne réponse est b.
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