fonction exponentielle

FONCTION EXPONENTIELLE
Ph DEPRESLE
29 juin 2015
Table des matières
1 Propriétés algébriques
2
2 Nouvelle notation
2
3 Étude de la fonction exponentielle
3.1 Variations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Taux d’accroissement en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Croissances comparées de la fonction x 7→ ex et de la fonction x 7→ x
3.5 Résolution d’équations et d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
4
4
.
.
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.
.
4 Fonction composée x 7→ eu(x)
4
5 QCM
6
6 EXERCICES : Les exercices de base
7
7 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)
10
1
Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
1 Propriétés algébriques
Théorème 1. Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
Démonstration :
Soit a un réel quelconque fixé.On définit la fonction g sur R par :
exp(a + x)
1
g (x) =
=
× exp(a + x) .
exp(a)
exp(a)
La fonction g est définie et dérivable sur R puisque la fonction exponentielle est dérivable sur R .
1
× exp(a + x) .
Ainsi pour tout réel x, g ′ (x) =
exp(a)
Donc g ′ (x) = g (x) et de plus g (0) = 1.
exp(a + x)
D’après le théorème 1, on a donc pour tout réel x, g (x) = exp(x) soit
= exp(x) ou encore
exp(a)
exp(a + x) = exp(a) × exp(x). N
Propriétés 1. Pour tous réels a et b et pour tout entier relatif n, on a :
exp(−b) =
1
exp(a − b) =
exp(b)
exp(a)
exp(b)
exp(na) = [exp(a)]n
2 Nouvelle notation
Le nombre exp(1) est noté e. Une valeur approchée à 10−8 près, donnée par une calculatrice, est
2,71828182.
On a, pour tout entier relatif n, exp(n) = [exp(n × 1)] = [exp(1)]n = e n .
Notation : Pour tout x réel, on notera : exp(x) = ex .
Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle se réécrivent alors de la façon suivante :
∀a, b ∈ R ∀n ∈ Z
•e
a+b
a b
=e e
•e
−b
=
1
•e
eb
a−b
=
ea
• ena = (ea )n
eb
a
• e2 =
p
ea
On remarque que ces propriétés s’écrivent comme un prolongement des règles de calcul sur les exposants, ce qui justifie l’écriture exp(x) = ex .
2
Attention : Ne pas confondre ex = exp(x 2 ) et (ex )2 = e2x = exp(2x).
3 Étude de la fonction exponentielle
3.1
Variations et limites
Propriétés 2. La fonction exponentielle est strictement croissante sur R et
lim ex = +∞
x→+∞
et
lim ex = 0
x→−∞
Démonstration :
△ROC
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
• La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle qui est strictement positive
donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R .
x
−∞
exp
0
✯
✟✟
✟
✯1
✟✟
✟
+∞
d’après le tableau :
Si x > 0 alors ex > 1
Si x < 0 alors ex < 1
• Soit h la fonction définie par h(x) = ex − x, h est dérivable et h ′ (x) = ex − 1.
Donc pour tout réel x Ê 0, on a ex Ê 1, soit h ′ (x) Ê 0.
De même h ′ (x) É 0 pour x É 0.
Le tableau de variation de h est donc :
x
h (x)
′
−∞
h(x)
−
0
0
◗
◗
s
◗
+
+∞
✸
✑
✑
✑
1
Comme h(0) = 1 , 1 est le minimum de la fonction h.
Ainsi pour tout x ∈ R, on a ex − x Ê 1 donc ex − x Ê 0 et donc ex Ê x.
Comme lim x = +∞ ; par comparaison, lim ex = +∞
x→+∞
x→+∞
• C’est le théorème de composition des limites.
1
On a ex = −x .
e
)
lim −x = +∞
x→−∞
lim e−x = +∞
lim e X = +∞ x→−∞
X →+∞
Donc lim
1
x→−∞ e−x
= 0 donc lim ex = 0N
x→−∞
3.2 Représentation graphique
On déduit de ce qui précède le tableau
de variation de la fonction exponentielle :
x
−∞
′
exp (x)
exp
0
+
✟
✯
✟
0 ✟
+∞
✟
✯ +∞
✟
✟
1
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
y = ex
y = ex
5
4
y = x +1
3
e
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1
La représentation graphique de la fonction exponentielle admet l’axe des abscisses pour
asymptote en −∞
3.3 Taux d’accroissement en 0
lim
eh − 1
h→0
h
=1
3.4 Croissances comparées de la fonction x 7→ ex et de la fonction x 7→ x
Théorème 2.
lim
x→+∞
ex
x
= +∞
et
lim xex = 0
x→−∞
3.5 Résolution d’équations et d’inéquations
La fonction exponentielle est continue sur R (car dérivable),
et strictement croissante sur R
Donc tout m ∈]0; +∞[ a un unique antécédent.
e a = eb
e a É eb
⇐⇒
⇐⇒
x
e =1
en particulier x
e =e
donc
a=b
aÉb
⇐⇒
⇐⇒
x
exp
−∞
0
+∞
✯ +∞
✟✟
✟
✯1
✟✟
✟
0
x =0
x =1
4 Fonction composée x 7→ eu(x)
Théorème 3. Soit une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I de R . La fonction f définie
sur I par f (x) = eu(x) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I , f ′ (x) = u ′ (x)eu(x) .
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
5 QCM
1. L’expression −e−x
a. n’est jamais
négative
b. est toujours
négative
2. L’équation e2x − 3ex − 4 = 0 admet dans R :
a. 0 solution
3.
b. 1 solution
c. n’est négative que si x
est positif
d. n’est négative que si x
est négatif
c. 2 solutions
d. plus de 2
solutions
c. 2
d. +∞
c. en ln a
d. ea+n
2ex − 1
=
x→+∞ ex + 2
lim
1
b. 1
2
4. Pour tout réel a et tout entier relatif n, (ea )n =
a. −
a. e(a
n
)
b. ean
5. Pour tout réel x l’expression
a.
Solutions
3
e −x + 2
3e −x
peut s’écrire :
1 + 2e −x
3
ex + 2
b. x
c.
e +2
3
d.
3
ex − 2
1. L’expression −e−x est toujours négative, car e−x est toujours positive.
La bonne réponse est b.
2. L’équation X 2 − 3X − 4 = 0 admet deux solutions : -1 et 4.
e2x − 3ex − 4 = 0 ⇐⇒ (ex = −1 ou ex = 4)
L’équation e2x − 3ex − 4 = 0 admet dans R une solution unique (ln4).
La bonne réponse est b.
3.
2ex − 1
ex (2 − e−x )
2 − e−x
.
1 + 2e−x
2e x − 1
Or lim e−x = 0, donc lim
=2
x→+∞
x→+∞ ex + 2
La bonne réponse est c.
ex + 2
=
ex (1 + 2e−x )
=
4. (ea )n = ean , la bonne réponse est b.
3e −x
3
5. Pour tout réel x l’expression
peut s’écrire x
. La bonne réponse est b.
−x
1 + 2e
e +2
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
6 EXERCICES : Les exercices de base
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur R par f (x) =
3ex + 2
.
ex + 1
e−x
1 + e−x
2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers −∞. Interprétez graphiquement cette limite.
1. Montrer que f peut s’écrire sous la forme f (x) = 3 −
3. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞. Interprétez graphiquement cette limite.
4. Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser son tableau de variation.
5. Tracer la courbe représentative de f et ses éventuelles asymptotes dans un repère du plan.
Exercice 2
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique
ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
hauteur (en mètres)
2,0
1,8 y = 2
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
20
40
60
temps t (en jours)
80 100 120 140 160 180 200 220
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
h(t ) =
a
1 + be−0,04t
où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t ) désigne
la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0, 1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur
limite de 2 m.
1. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de
maïs étudié.
2. On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie
2
sur [0 ; 250] par f (t ) =
1 + 19e−0,04t
′
Déterminer f (t ) en fonction de t ( f ′ désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire
les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].
3. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1, 5 m.
Exercice 3
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
1
f (x) = ex + .
x
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
1. Étude d’une fonction auxiliaire
(a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [0 ; +∞[ par
g (x) = x 2 ex − 1.
Étudier le sens de variation de la fonction g .
(b) Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g (a) = 0.
Démontrer que a appartient à l’intervalle [0,703 ; 0,704[.
(c) Déterminer le signe de g (x) sur [0 ; +∞[.
2. Étude de la fonction f
(a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
(b) On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
g (x)
.
x2
(c) En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur
l’intervalle ]0 ; +∞[.
Démontrer que pour tout réel strictement positif x, f ′ (x) =
(d) Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel
1
1
m= 2+ .
a
a
(e) Justifier que 3, 43 < m < 3, 45.
Exercice 4
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = xe1−x .
x
1. Vérifier que pour tout réel x, f (x) = e × x .
e
2. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement cette limite.
4. Déterminer la dérivée de la fonction f .
5. Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser le tableau de variation.
Partie B
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g n et h n définies sur R par :
g n (x) = 1 + x + x 2 + · · · + x n
et h n (x) = 1 + 2x + · · · + nx n−1 .
1. Vérifier que, pour tout réel x : (1 − x)g n (x) = 1 − x n+1 .
1 − x n+1
On obtient alors, pour tout réel x 6= 1 : g n (x) =
.
1−x
2. Comparer les fonctions h n et g n′ , g n′ étant la dérivée de la fonction g n .
nx n+1 − (n + 1)x n + 1
.
En déduire que, pour tout réel x 6= 1 : h n (x) =
(1 − x)2
3. Soit S n = f (1) + f (2) + ... + f (n), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de S n puis sa limite quand n
tend vers +∞.
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
Exercice 5
Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur l’ensemble
des nombres réels R telle que :
f k (x) = k xe−k x .
On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, #»
ı , #»
 ).
On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C 2 , C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à C b au point O origine du repère.
0,6
T
0,4
C2
Cb
0,2
Ca
−0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point.
2. Pour tout réel k strictement positif, déterminer les limites de f k en −∞ et +∞. En déduire que
la courbe C k admet une asymptote que l’on précisera.
3.
(a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a
f k′ (x) = k(1 − k x)e−k x .
(b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum et calculer ce
maximum.
(c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche.
(d) Écrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère.
(e) En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de b.
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
7 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)
Exercice 1 :
1
3(ex + 1) − 1 3ex + 2
e−x
= 3− x
=
= x
= f (x)
1. 3 −
−x
1+e
e +1
ex + 1
e +1
2. Quand x tend vers −∞, ex tend vers 0. Donc f (x) tend vers 2.
La droite y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en −∞.
3. Quand x tend vers +∞, −x tend vers −∞, donc e−x tend vers 0. En utilisant l’expression de f
calculée à la question 1, on trouve que f (x) tend vers 3.
La droite y = 3 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞.
4. f est dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s’annulant pas sur
R.
ex
3ex (ex + 1) − (3ex + 1)ex
=
∀x ∈ R, f ′ (x) =
(ex + 1)2
(ex + 1)2
x −∞
f (x)
′
+
+∞
✒
2
3
1
f
2
2
1
1
Exercice 2 :
1.
lim e−0,04t = 0, donc lim f (t ) = a.
t →+∞
t →+∞
En observant le graphique, on voit qu’on doit choisir a = 2.
a
h(0) =
. Or sur le graphique on a h(0) = 0, 1.
1+b
Donc b + 1 = 2 × 10 = 20 et b = 19.
1
2. f = 2 × avec u(t ) = 1 + 19e−0,04t
u
−19 × 0, 04
1, 52
u ′ (t )
= −2
=
Pour tout réel t , f ′ (t ) = −2
2
−0,04t
2
(u(t )
(1 + 19e
)
(1 + 19e−0,04t )2
′
f est positive, donc f est croissante (comme la fonction du graphique !)
2
1
3. f (t ) = 1, 5 ⇐⇒
= 1 + 19e−0,04t ⇐⇒ e0,04t = 3 × 19 ⇐⇒ t =
ln(57).
1, 5
0, 04
On trouve t ≈ 101, 08, il faut donc 102 jours pour que le plant de maïs atteigne une hauteur
supérieure à 1, 5 m.
Exercice 3 :
1.
(a) Pour tout x ∈]0; +∞[, g ′ (x) = 2xex + x 2 ex = (2x + x 2 )ex .
g ′ est strictement positive sur ]0; +∞[, donc g est strictement croissante sur cet intervalle.
(b) g est continue, strictement croissante de [0; +∞[ sur [−1; +∞[. D’après le théorème le
théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement croissante,
il existe un unique réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g (a) = 0.
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Chapitre : Fonction exponentielle
x 0
g
Terminale S
a
✟
✯
✟
✟
−1
+∞
✟
✯+∞
✟
✟
0
g (0, 703) ≈ 0, 998 − 1 < 0, donc 0, 703 < a
g (0, 704) ≈ 1, 002 − 1 > 0, donc a < 0, 704.
(c) Si x ∈ [0; a], g (x) É 0 et si x ∈ [a; +∞[, g (x) Ê 0.
2.
(a) lim ex = 1 et lim
x→0
x→0
1
x
= +∞, donc lim f (x) = +∞.
x→0
lim ex = +∞ et lim
x→+∞
1
x→+∞
x
= 0 donc lim f (x) = +∞.
x→+∞
x
′
(b) Pour tout x ∈]0; +∞[, f (x) = e −
1
x
=
2
x 2 ex − 1
x2
=
g (x)
x2
′
(c) f a donc même signe que g .
x
f ′ (x)
f
0
0
−
+∞
❅
❅
a
0
+
+∞
+∞
✒
❅
❘
m
(d) f est décroissante sur ]0, a[, donc f (x) > f (a) si x < a.
f est croissante sur [a; +∞[, donc f (a) É f (x) si a É x.
1
f admet pour minimum le nombre m = f (a) = ea + .
a
1
1
1
Or g (a) = 0, donc ea = 2 . On a bien m = 2 + .
a
a
a
1
1
1
1
(e) On a vu que a > 0, 703, donc <
et
<
.
a 0, 703
a 2 (0, 703)2
1
1
On a bien : m <
+
< 3, 45.
0, 703 (0, 703)2
1
1
1
1
et
>
.
a < 0, 704, donc >
a 0, 704
a 2 (0, 704)2
1
1
On a bien : m >
+
> 3, 43.
0, 704 (0, 704)2
Exercice 4 :
Partie A
x
1. Pour tout réel x, f (x) = xe1−x = x × e × e−x = e × x .
e
1−x
2. lim x = −∞ et lim e
= +∞. Donc lim f (x) = −∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
3. Par croissances comparées : lim
x→+∞
Donc lim
x
x→+∞ ex
e
x
x
= +∞
= 0 et lim f (x) = 0.
x→+∞
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Chapitre : Fonction exponentielle
Terminale S
La courbe représentative de f dans un repère du plan admet la droite y = 0 comme asymptote
horizontale.
4. Pour tout réel x, f ′ (x) = e1−x − xe1−x = (1 − x)e1−x .
5. f ′ est positive sur ] − ∞; 1] et négative sur [1; +∞[.
x −∞
f (x)
′
f
−∞
0
+∞
+ 1 −
1
✒ ❅
❅
❅
❘
0
Partie B
1. Pour tout réel x : (1 − x)g n (x) = (1 − x)(1 + x + x 2 + · · · + x n )
(1 − x)g n (x) = (1 + x + x 2 + · · · + x n ) − (x + x 2 + · · · + x n+1 ) = 1 − x n+1 .
1 − x n+1
On a bien, pour tout réel x 6= 1 : g n (x) =
.
1−x
2. Pour tout réel x, g n′ (x) = 1 + 2x + · · · + nx n−1 = h n (x)
−(n + 1)x n (1 − x) − (−1)(1 − x n+1 )
Donc, pour tout réel x 6= 1 : h n (x) = g n′ (x) =
(1 − x)2
n+1
n
n+1
n+1
nx
− (n + 1)x n + 1
−(n + 1)x + (n + 1)x
+1−x
=
.
h n (x) =
(1 − x)2
(1 − x)2
à !
2
1
n
−1
1−n
3. S n = f (1) + f (2) + ... + f (n) = 1 + 2e + · · · + ne
= 1 + + · · · + n−1 = h n
.
e
e
e
Sn =
n
en+1
+1
− n+1
en
.
¡
¢
2
1 − 1e
Par croissances comparées : lim
Donc lim S n = ¡
n→+∞
1
1 − 1e
Exercice 5 :
n
n→+∞ en+1
= 0 et
n +1
= 0.
n→+∞ en
lim
¢2 .
1. Pour tout réel k strictement positif, f k (0) = 0. Toutes les courbes C k passent par le point O.
2. • lim k x = −∞
x→−∞
• lim k x = +∞
x→+∞
donc
3.
et
et
lim e−k x = +∞, donc
x→−∞
lim f k (x) = −∞.
x→−∞
lim ye−y = 0 (croissance comparée),
y→+∞
lim f k (x) = 0
x→+∞
La droite y = 0 est asymptote à la courbe représentative de f en −∞ et +∞.
(a) Pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a :
f k′ (x) = k(e−k x − k xe−k x ) = k(1 − k x)e−k x .
1
(b) f k′ (x) Ê 0 ⇐⇒ x É .
k
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Le tableau de variations de f k est :
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Chapitre : Fonction exponentielle
x −∞
′
f (x)
f
Terminale S
1
k
0
+
0
1
✟
✯e
✟
✟
0
✯
✟✟
✟
−∞
−
+∞
❅
❅
❅
❘
0
1
Pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum en .
k
à !
1
1
= e−1 = .
Ce maximum est f k
k
e
1
1
(c) Le maximum de f a est atteint en , celui de f 2 en .
a
2
1 1
Sur le graphique on observe que < , donc a > 2.
a 2
(d) Une équation de la tangente à C k au point O est :
y = f k′ (0)(x − 0) + f k (0) = k x.
(e) On voit sur le graphique que le coefficient directeur de T est 3, l’équation de T est y = 3x.
Nécessairement b = 3,
Ph Depresle : Notes de cours
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