Nombres complexes, trigonométrie.

Troisième feuille d’exercices.
bXc
Sur le thème des nombres complexes, des fonctions trigonométriques,
et des fonctions hyperboliques.
Exercice 1. Soit z = a +i b un nombre complexe non nul. Calculer son inverse en fonction de a et de b.
Exercice 2. Soit U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit z ∈ U : est-il
a
? Indication : prendre
toujours possible de trouver un nombre réel a ∈ R tel que z = 1+i
1−i a
a = tan(θ/2).
Exercice 3. Soient x, y, z trois nombres complexes de module 1 tels que x + y + z = 1.
1. Rappeler la définition de j et ses propriétés.
2. Montrer que l’on a nécessairement x = j y = j 2 z ou bien x = j 2 y = j z.
Exercice 4.
1. Soit z un nombre complexe non nul. montrer que z admet deux racines carrés.
2. Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré 2 : P (X ) = a X 2 +bX +c, où
a 6= 2. Montrer que P admet deux racines et exprimez-les en fonction de a, b, c.
3. Montrer que si z 1 et z 2 sont les deux racines d’un polynôme à coefficients complexe de degré 2, alors z 1 z 2 = c/a et z 1 + z 2 = −b/a.
4. Soient p et s deux nombres complexes. Montrer que les seuls nombres complexes z 1 et z 2 qui vérifient s = z 1 + z 2 et p = z 1 z 2 sont les racines du trinôme
z 2 − sz + p.
5. Résoudre dans C l’équation z 2 − (1 + i )z + 2 + 2i = 0.
´³
´
³
−b−δ
Réponse : P (z) = a z − −b+δ
z
−
où δ2 = ∆.
2a
2a
Solution de l’équation : z 1 = 1 − i et z 2 = 2i .
Exercice 5. Montrer que l’ensemble des points d’une droite du plan peut toujours
s’écrire comme l’ensemble des solutions d’une équation de la forme az + az = b, avec
a ∈ C \ {0} et b ∈ R.
1
Q
Q
Troisième feuille.
Exercice 6. Montrer la formule suivante :
tan(a + b) =
t an(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
À l’aide de cette formule, simplifier l’expression suivante :
arctan(a) + arctan(b)
Exercice 7. Montrer la formule suivante :
sin(p) + sin(q) = 2 sin
³p +q ´
2
sin
³p −q ´
2
Trouver les solutions de l’équation suivante :
sin(7θ) + sin(θ) = sin(4θ)
Exercice 8. Soient a, b et c trois nombres complexes distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
1. a, b, c sont alignés.
2. le rapport
c−a
b−a
est un nombre réel.
3. ∃k ∈ Z tel que θ1 = θ2 + kπ, où θ1 est un argument de c − a et θ2 est un argument
de b − a.
Utiliser cette propriété pour trouver tous les nombres complexes z tels que z, z 2 et z 4
sont alignés.
Exercice 9. Calculer la quantité suivante :
à !
n n
X
cos(ni )
i =0 i
Exercice 10. Soient a et b deux réels. Soit z = a + i b ; on note r le module de z et θ son
argument (θ ∈ [0, 2π]). Montrer que pour tout réel x, on a l’égalité suivante :
a cos(x) + b sin(x) = r cos(x − θ)
Exercice 11. En utilisant l’exercice précédent, trouver tous les x qui vérifient l’égalité :
p
3 cos(x) + sin(x) = 1
Réponse : x = π2 + 2kπ ou x = − π6 + 2kπ.
Exercice 12. On veut montrer que cos(nx) s’écrit comme un polynôme en
¡ cos(x),¢ c’està-dire qu’il existe un polynôme à coefficients réels P tel que cos(nx) = P cos(x) .
1. Questions pouvant être utiles pour la suite.
(a) Quelle était la nationalité d’Abraham de Moivre ?
(b) À quelle époque a vécu Isaac Newton ?
2. Développer cos(nx).
2
Q
Q
Troisième feuille.
3. En utilisant la question précédente et le fait que sin(x)2 + cos(x)¡2 = 1, montrer
¢
qu’il existe un polynôme P à coefficients réels tel que cos(nx) = P cos(x) .
4. Montrer que ce polynôme est de degré n et calculez son coefficient dominant en
utilisant une astuce bien connue.
5. (très difficile) Utiliser les résultats précédents pour trouver tous les r ∈ Q tels que
cos(r π) ∈ Q.
Le polynôme construit à l’exercice précédent s’appelle le n-ème polynôme de Tchebychev.
Exercice 13 (Polynômes de Tchebyshev). Soit t ∈ R et n ∈ N. On définit deux nombres
complexes D n (t ) et F n (t ) par les formules suivantes :
D n (t ) =
n
X
e i kt
F n (t ) =
et
k=−n
p
1 X
D k (t )
n + 1 k=0
1. Montrer que :
D n (t ) = e −i nt
2n
X
e i pt
p=0
2. Utilisez la question précédente pour montrer que :
¢ ¢
¡¡
sin 1 + 12 x
¡ ¢
D n (t ) =
sin x2
(indication : série géométrique et factorisation habile)
3. En utilisant la question précédente, en multipliant dénominateur et numérateur
par sin(x/2), et en utilisant à bon escient votre savoir trigonométrique, montrer
que :
Ã
¡¡
¢ ¢ !2
sin n+1
x
2
¡x¢
F n (t ) =
sin 2
La fonction D n est appelée noyau de Dirichlet ; la fonction F n est appelée noyau de
Féjer. On peut notamment les utiliser pour montrer la célèbre formule suivante :
1
π2
=
2
6
n=1 n
+∞
X
Exercice 14. On définit les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique comme suit :
cosh(x) =
e x + e −x
2
sinh(x) =
e x − e −x
2
tanh(x) =
sinh(x)
cosh(x)
1. Calculez les dérivées de ces trois fonctions.
2. Étudiez le sens de variation des deux premières et tracez grossièrement leur graphe.
3. montrer que 1 = cosh(x)2 − sinh(x)2 .
Exercice 15. On pose H = {(x, y) ∈ R × R : x ≥ 0, y ≥ 0, x y = 1}.
3
Q
Troisième feuille.
Q
1. Tracez H .
2. Montrer que H = {(e t , e −t ) : t ∈ R+ }. On dit que la fonction η : R+ → R2 définie
par η(t ) = (e t , e −t ) est une paramétrisation de H .
¡ x+y x−y ¢
3. Soit Φ : R2 → R2 définie par Φ(x, y) = 2 , 2 . On pose K = {(X , Y ) ∈ R2 : X >
0, X 2 − Y 2 = 1}. Montrer que Φ(H ) = K .
4. Tracez K et déterminez ses deux asymptotes.
5. Montrer que la fonction χ : R+ → R2 définie par ξ(t ) = (cosh(t ), sinh(t )) est une
paramétrisation de K .
Ainsi, les fonctions hyperboliques jouent pour K le même rôle que jouent les fonctions cos et sin pour le cercle unité.
Exercice 16. Montrer que la fonction tanh réalise une bijection de R dans ] − 1, 1[. On
note argth sa bijection réciproque. Montrer que ∀x ∈]−1, 1[, on a l’expression suivante :
µ
¶
1
1+x
argth(x) = ln
2
1−x
Montrer enfin que :
¶
1
1 + 3 tanh(x)
= x + ln(2)
argth
3 + tanh(x)
2
Exercice 17 (L’inégalité arithmético-géométrique : ENS, 2008). Soient n > 1 un entier
naturel et a 1 , ..., a n des nombres réels positifs. L’inégalité arithmético-géométrique se
formule de la façon suivante :
¡
¢ 1 a 1 + ... + a n
(1)
a 1 × ... × a n n ≤
n
L’objectif du problème est de prouver cette inégalité, et de la généraliser aux nombres
complexes.
µ
1. Dans cette question, on montre l’inégalité 1.
(a) Montrer l’inégalité lorsque n = 2.
(b) Montrer l’inégalité lorsque n = 2k , où k ≥ 1.
(c) En déduire le cas général.
2. On propose maintenant l’extension suivante au cas complexe. Soient n ≥ 1 un
entier naturel et z 1 , ..., z n des nombres complexes non nuls. On les écrira sous
forme polaire z i = r j e i θi , avec r i > 0 et l’on supposera qu’il existe une constante
φ ∈ [0, π2 [ telle que θi ∈ [−φ, φ], ∀i ≤ n. On désire montrer l’inégalité suivante :
¯ z + ... + z ¯
1
¯ 1
n¯
(2)
cos(φ) |z 1 × ... × z n | n ≤ ¯
¯
n
(a) Donner un exemple de tels points z 1 , ..., z n en les représentant dans un repère.
(b) Montrer que, pour tout nombre complexe z = a + i b, on a les inégalités a ≤
|z| et b ≤ |z|.
(c) Prouver l’extension.
Indication pour la question 1-c : en posant k la plus petite valeur entière telle que
n ≤ 2k , il faut se ramener à l’inégalité prouvée à la question précédente en rajoutant
des termes qui ne doivent pas modifier l’inégalité.
4