Nombres complexes, trigonométrie.

Troisième feuille d’exercices.
bXc
Sur le thème des nombres complexes, des fonctions trigonométriques,
et des fonctions hyperboliques.
Exercice 1. Soit z=a+ib un nombre complexe non nul. Calculer son inverse en fonc-
tion de aet de b.
Exercice 2. Soit Ul’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit z∈U: est-il
toujours possible de trouver un nombre réel a∈Rtel que z=1+i a
1−i a ?Indication : prendre
a=tan(θ/2).
Exercice 3. Soient x,y,ztrois nombres complexes de module 1 tels que x+y+z=1.
1. Rappeler la définition de jet ses propriétés.
2. Montrer que l’on a nécessairement x=j y =j2zou bien x=j2y=j z.
Exercice 4. 1. Soit zun nombre complexe non nul. montrer que zadmet deux ra-
cines carrés.
2. Soit Pun polynôme à coefficients complexes de degré 2 : P(X)=aX 2+bX +c, où
a6=2. Montrer que Padmet deux racines et exprimez-les en fonction de a,b,c.
3. Montrer que si z1et z2sont les deux racines d’un polynôme à coefficients com-
plexe de degré 2, alors z1z2=c/aet z1+z2= −b/a.
4. Soient pet sdeux nombres complexes. Montrer que les seuls nombres com-
plexes z1et z2qui vérifient s=z1+z2et p=z1z2sont les racines du trinôme
z2−sz +p.
5. Résoudre dans Cl’équation z2−(1 +i)z+2+2i=0.
Réponse : P(z)=a³z−−b+δ
2a´³z−−b−δ 2a´où δ2=∆.
Solution de l’équation : z1=1−iet z2=2i.
Exercice 5. Montrer que l’ensemble des points d’une droite du plan peut toujours
s’écrire comme l’ensemble des solutions d’une équation de la forme az +az =b, avec
a∈C\{0} et b∈R.
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Troisième feuille.
Exercice 6. Montrer la formule suivante :
tan(a+b)=t an(a)+tan(b)
1−tan(a)tan(b)
À l’aide de cette formule, simplifier l’expression suivante :
arctan(a)+arctan(b)
Exercice 7. Montrer la formule suivante :
sin(p)+sin(q)=2sin³p+q
2´sin³p−q 2´
Trouver les solutions de l’équation suivante :
sin(7θ)+sin(θ)=sin(4θ)
Exercice 8. Soient a,bet ctrois nombres complexes distincts. Montrer que les propo-
sitions suivantes sont équivalentes :
1. a,b,csont alignés.
2. le rapport c−a
b−aest un nombre réel.
3. ∃k∈Ztel que θ1=θ2+kπ, où θ1est un argument de c−aet θ2est un argument
de b−a.
Utiliser cette propriété pour trouver tous les nombres complexes ztels que z,z2et z4
sont alignés.
Exercice 9. Calculer la quantité suivante :
n
X
i=0Ãn
i!cos(ni )
Exercice 10. Soient aet bdeux réels. Soit z=a+i b ; on note rle module de zet θson
argument (θ∈[0,2π]). Montrer que pour tout réel x, on a l’égalité suivante :
acos(x)+bsin(x)=rcos(x−θ)
Exercice 11. En utilisant l’exercice précédent, trouver tous les xqui vérifient l’égalité :
p3cos(x)+sin(x)=1
Réponse :x=π
2+2kπou x=−π 6+2kπ.
Exercice 12. On veut montrer que cos(nx) s’écrit comme un polynôme en cos(x), c’est-
à-dire qu’il existe un polynôme à coefficients réels Ptel que cos(nx)=P¡cos(x)¢.
1. Questions pouvant être utiles pour la suite.
(a) Quelle était la nationalité d’Abraham de Moivre ?
(b) À quelle époque a vécu Isaac Newton ?
2. Développer cos(nx).
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Troisième feuille.
3. En utilisant la question précédente et le fait que sin(x)2+cos(x)2=1, montrer
qu’il existe un polynôme Pà coefficients réels tel que cos(nx)=P¡cos(x)¢.
4. Montrer que ce polynôme est de degré net calculez son coefficient dominant en
utilisant une astuce bien connue.
5. (très difficile) Utiliser les résultats précédents pour trouver tous les r∈Qtels que
cos(rπ)∈Q.
Le polynôme construit à l’exercice précédent s’appelle le n-ème polynôme de Tche-
bychev.
Exercice 13 (Polynômes de Tchebyshev).Soit t∈Ret n∈N. On définit deux nombres
complexes Dn(t) et Fn(t) par les formules suivantes :
Dn(t)=
n
X
k=−n
eikt et Fn(t)=1
n+1
p
X
k=0
Dk(t)
1. Montrer que :
Dn(t)=e−int 2n
X
p=0
ei pt
2. Utilisez la question précédente pour montrer que :
Dn(t)=sin¡¡1+1
2¢x¢
sin¡x
2¢
(indication : série géométrique et factorisation habile)
3. En utilisant la question précédente, en multipliant dénominateur et numérateur
par sin(x/2), et en utilisant à bon escient votre savoir trigonométrique, montrer
que :
Fn(t)=Ãsin¡¡n+1
2¢x¢
sin¡x
2¢!2
La fonction Dnest appelée noyau de Dirichlet ; la fonction Fnest appelée noyau de
Féjer. On peut notamment les utiliser pour montrer la célèbre formule suivante :
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6
Exercice 14. On définit les fonctions cosinus hyperbolique,sinus hyperbolique et tan-
gente hyperbolique comme suit :
cosh(x)=ex+e−x
2sinh(x)=ex−e−x 2tanh(x)=sinh(x) cosh(x)
1. Calculez les dérivées de ces trois fonctions.
2. Étudiez le sens de variation des deux premières et tracez grossièrement leur graphe.
3. montrer que 1 =cosh(x)2−sinh(x)2.
Exercice 15. On pose H={(x,y)∈R×R:x≥0, y≥0, x y =1}.
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Troisième feuille.
1. Tracez H.
2. Montrer que H={(et,e−t) : t∈R+}. On dit que la fonction η:R+→R2définie
par η(t)=(et,e−t) est une paramétrisation de H.
3. Soit Φ:R2→R2définie par Φ(x,y)=¡x+y
2,x−y 2¢. On pose K={(X,Y)∈R2:X>
0, X2−Y2=1}. Montrer que Φ(H)=K.
4. Tracez Ket déterminez ses deux asymptotes.
5. Montrer que la fonction χ:R+→R2définie par ξ(t)=(cosh(t),sinh(t)) est une
paramétrisation de K.
Ainsi, les fonctions hyperboliques jouent pour Kle même rôle que jouent les fonc-
tions cos et sin pour le cercle unité.
Exercice 16. Montrer que la fonction tanh réalise une bijection de Rdans ] −1,1[. On
note argth sa bijection réciproque. Montrer que ∀x∈]−1,1[, on a l’expression suivante :
argth(x)=1
2lnµ1+x 1−x¶
Montrer enfin que :
argthµ1+3tanh(x)
3+tanh(x)¶=x+1 2ln(2)
Exercice 17 (L’inégalité arithmético-géométrique : ENS, 2008).Soient n>1 un entier
naturel et a1,...,andes nombres réels positifs. L’inégalité arithmético-géométrique se
formule de la façon suivante :
¡a1×...×an¢1
n≤a1+...+an
n(1)
L’objectif du problème est de prouver cette inégalité, et de la généraliser aux nombres
complexes.
1. Dans cette question, on montre l’inégalité 1.
(a) Montrer l’inégalité lorsque n=2.
(b) Montrer l’inégalité lorsque n=2k, où k≥1.
(c) En déduire le cas général.
2. On propose maintenant l’extension suivante au cas complexe. Soient n≥1 un
entier naturel et z1,...,zndes nombres complexes non nuls. On les écrira sous
forme polaire zi=rjeiθi, avec ri>0 et l’on supposera qu’il existe une constante
φ∈[0, π
2[ telle que θi∈[−φ,φ], ∀i≤n. On désire montrer l’inégalité suivante :
cos(φ)|z1×...×zn|1
n≤¯¯¯
z1+...+zn
n¯¯¯(2)
(a) Donner un exemple de tels points z1,..., znen les représentant dans un re-
père.
(b) Montrer que, pour tout nombre complexe z=a+ib, on a les inégalités a≤
|z|et b≤|z|.
(c) Prouver l’extension.
Indication pour la question 1-c : en posant kla plus petite valeur entière telle que
n≤2k, il faut se ramener à l’inégalité prouvée à la question précédente en rajoutant
des termes qui ne doivent pas modifier l’inégalité.
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