PUISSANCES et ECRITURE SCIENTIFIQUE

− Quatrième −
Chap.05
PUISSANCES et ECRITURE SCIENTIFIQUE
1. Puissance d’exposant entier positif
Définition : a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul
on a :
an = a × a × … × a
n facteurs
1
De plus : a = a et a0 = 1
Exemples :
(a≠0)
74 = 7 × 7 × 7 × 7
(-3)2 = (-3) × (-3) = 9
4 facteurs
Par convention, on a :
2 facteurs
71 = 7 et 70 = 1
(-6)1 = -6 et (-6)0 = 1
Vocabulaire : an se lit « a exposant n »
a2 se lit « a exposant 2 » ou bien « a au carré »
a3 se lit « a exposant 3 » ou bien « a au cube »
Cas particulier : n désigne un nombre entier positif
10n = 10 × 10 × … × 10 = 1 0 . . . 0
n facteurs
n zéros
Exemples :
(1) Donner l’écriture décimale
102 = 100 ; 105 = 100 000 ; 101 = 10 ; 100 = 1
(2) Ecrire sous forme de puissances de 10
1 000 = 103
;
10 000 000 = 107
;
1 = 100
2. Puissance d’exposant négatif
Définition : a désigne un nombre relatif non nul et n nombre entier non nul
1
on a :
a-n = n
a-n est l’inverse de an
a
1
a-1 =
a
Exemples :
1
1
= 0,04
2 =
5
25
1
1
; (-2)-3 =
=
= -0,125
(-2)3 -8
5-2 est l’inverse de 52 ; 5-2 =
(-2)-3 est l’inverse de (-2)3
Propriété : n désigne un nombre positif
1
10-n =
= 0, 0 ... 1
10n
n chiffres après la virgule
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1
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1
1
=
= 0,01
102 100
1
1
10-5 est l’inverse de 105 ; 10-5 = 5 =
= 0,000 01
10
100000
Exemples : 10-2 est l’inverse de 102 ; 10-2 =
3. Règles de priorité
Dans un enchaînement d’opérations sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances.
Enoncé calculer A = 45 – 3 x 52 + (7 + 3)2
Solution
A = 45 – 3 x 52 + (7 + 3)2
A = 45 – 3 x 25 + 102
A = 45 – 75 + 100
A = 70
Exercice type :
4. Calculs avec les puissances
a et b désignent des nombres non nuls ;
n et p sont des nombres entiers positifs
a- Produits de deux puissances d’un même nombre
a n × a p = a n+p
Exemples :
26 × 22 = 28 ; (-3)4 × (-3)5 = (-3)9
8-3 × 8-1 = 8-3+(-1) = 8-4
103 × 102 = 103 + 2= 105 ;
10-3 × 102 = 10-3 + 2 = 10-1
b- Quotients de deux puissances d’un même nombre
an
=a
ap
Exemples :
n-p
95
(-4)7
5−2
3
=
9
=
9
;
= (-4)7-3 = (-4)4
92
(-4)3
3-2
= 3-2-(-9) = 3−2+9 = 37
3-9
1013
= 1013 - 4 = 109
104
;
10
10
6
-11
= 106 – (- 11) = 106 + 11 = 1017
c- Produits de deux puissances de même exposant
a n × b n = (ab)
n
Exemples :
24 × 54 = (2×5)4 = 104 ;
(7a)2 = 72 × a2 = 49a2
5-3 × 2-3 = 10-3
d- Puissance d’une puissance
(a n) p = a n × p
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Exemples :
(72)3 = 72×3 = 76 ; (35)2 = 35×2 = 310
(102)4 = 102 x 4 = 108
;
(10-3)2 = 10-3 x 2 = 10-6
2
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5- Ecriture scientifique d’un nombre décimal
Propriété : un nombre décimal peut s’écrire de plusieurs façons sous la forme a × 10n
où a désigne un nombre décimal et n un entier relatif
Exemples :
234,5 = 23,45 × 10-1 = 0,2345 × 103 = 2,345 × 102 = 2345 × 10-2
0,087 = 87 × 10-3 = 0,87 × 10-1 = 8,7 × 10-2
Définition : l’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre est l’unique forme a ×
10n, où le nombre a possède un seul chiffre non nul avant la virgule.
Exemples :
L’écriture scientifique de 234,5 est 2,345 × 102.
L’écriture scientifique de 0,087 est 8,7 × 10-2.
Exercice type :
Enoncé :
A=
6 x 10 -7 x 15 x 1011
8 x (102)4
et
B = 5 x 103 – 2 x 102
Calculer A et B. Donner leur écriture scientifique et leur écriture décimale.
Solution :
A=
6 x 10 -7 x 15 x 1011
8 x (102)4
(On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 d’un autre)
A=
6 x 15 10 -7 x 1011
x
8
(102)4
(On ajoute -7 et 11)
104
108
(On soustrait 4 et 8)
A = 11,25 x
A = 11,25 x 10 -4
A = 1,125 x 101 x 10 -4
(On ajoute 1 et -4)
A = 1,125 x 10 -3
Ecriture scientifique
A = 1,125 x 0,001
A = 0,001125
Ecriture décimale
B = 5 x 103 – 2 x 102
B = 5 000 – 200
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B = 4 800
Ecriture décimale
B = 4,8 x 103
Ecriture scientifique
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