PUISSANCES et ECRITURE SCIENTIFIQUE

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1
Chap.05
PUISSANCES et ECRITURE SCIENTIFIQUE
1. Puissance d’exposant entier positif
Exemples : 7
4
= 7 × 7 × 7 × 7
4 facteurs
(-3)
2
= (-3) × (-3) = 9
2 facteurs
Par convention, on a : 7
1
= 7 et 7
0
= 1
(-6)
1
= -6 et (-6)
0
= 1
Vocabulaire : a
n
se lit « a exposant n »
a
2
se lit « a exposant 2 » ou bien « a au carré »
a
3
se lit « a exposant 3 » ou bien « a au cube »
Exemples : (1) Donner l’écriture décimale
10
2
= 100 ; 10
5
= 100 000 ; 10
1
= 10 ; 10
0
= 1
(2) Ecrire sous forme de puissances de 10
1 000 = 10
3
; 10 000 000 = 10
7
; 1 = 10
0
2. Puissance d’exposant négatif
Exemples : 5
-2
est l’inverse de 5
2
; 5
-2
= 1
5
2
= 1
25 = 0,04
(-2)
-3
est l’inverse de (-2)
3
; (-2)
-3
= 1
(-2)
3
= 1
-8 = -0,125
Définition : a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul
on a : a
n
= a × a × … × a
n facteurs
De plus : a
1
= a et a
0
= 1 (a≠0)
Définition : a désigne un nombre relatif non nul et n nombre entier non nul
on a : a
-n
= 1
a
n
a
-n
est l’inverse de a
n
a
-1
= 1
a
Cas particulier : n désigne un nombre entier positif
10
n
= 10 × 10 × … × 10 = 1 0 . . . 0
n facteurs n zéros
Propriété : n désigne un nombre positif
10
-n
= 1
10
n
= 0 , 0 . . . 1
n chiffres après la virgule

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2
Exemples : 10
-2
est l’inverse de 10
2
; 10
-2
= 1
10
2
= 1
100 = 0,01
10
-5
est l’inverse de 10
5
; 10
-5
= 1
10
5
= 1
100000 = 0,000 01
3. Règles de priorité
Exercice type : Enoncé calculer A = 45 – 3 x 5
2
+ (7 + 3)
2
Solution A = 45 – 3 x 5
2
+ (7 + 3)
2
A = 45 – 3 x 25 + 10
2
A = 45 – 75 + 100
A = 70
4. Calculs avec les puissances
a et b désignent des nombres non nuls ; n et p sont des nombres entiers positifs
a- Produits de deux puissances d’un même nombre
Exemples : 2
6
× 2
2
= 2
8
; (-3)
4
× (-3)
5
= (-3)
9
8
-3
× 8
-1
= 8
-3+(-1)
= 8
-4
10
3
× 10
2
= 10
3 + 2
= 10
5
; 10
-3
× 10
2
= 10
-3 + 2
= 10
-1
b- Quotients de deux puissances d’un même nombre
Exemples : 9
5
9
2
= 9
5−2
= 9
3
; (-4)
7
(-4)
3
= (-4)
7-3
= (-4)
4
3
-2
3
-9
= 3
-2-(-9)
= 3
−2+9
= 3
7
10
13
10
4
= 10
13 - 4
= 10
9
; 10
6
10
-11
= 10
6 – (- 11)
= 10
6 + 11
= 10
17
c- Produits de deux puissances de même exposant
Exemples : 2
4
× 5
4
= (2×5)
4
= 10
4
;
(7a)
2
= 7
2
× a
2
= 49a
2
5
-3
× 2
-3
= 10
-3
d- Puissance d’une puissance
Exemples : (7
2
)
3
= 7
2×3
= 7
6
; (3
5
)
2
= 3
5×2
= 3
10
(10
2
)
4
= 10
2 x 4
= 10
8
; (10
-3
)
2
= 10
-3 x 2
= 10
-6
a
n
×
a
p
= a
n + p
a
n
a
p
= a
n-p
a
n
×
b
n
= (ab)
n
(a
n
)
p
= a
n
×
p
Dans un enchaînement d’opérations sans parenthèses, on effectue d’abord les puissan
ces.

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3
5- Ecriture scientifique d’un nombre décimal
Exemples : 234,5 = 23,45 × 10
-1
= 0,2345 × 10
3
= 2,345 × 10
2
= 2345 × 10
-2
0,087 = 87 × 10
-3
= 0,87 × 10
-1
= 8,7 × 10
-2
Exemples :
L’écriture scientifique de 234,5 est 2,345 × 10
2
.
L’écriture scientifique de 0,087 est 8,7 × 10
-2
.
Exercice type :
Enoncé : A = 6 x 10
-7
x 15 x 10
11
8 x (10
2
)
4
et B = 5 x 10
3
– 2 x 10
2
Calculer A et B. Donner leur écriture scientifique et leur écriture décimale.
Solution : A = 6 x 10
-7
x 15 x 10
11
8 x (10
2
)
4
(On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 d’un autre)
A = 6 x 15
8 x 10
-7
x 10
11
(10
2
)
4
(On ajoute -7 et 11)
A = 11,25 x 10
4
10
8
(On soustrait 4 et 8)
A = 11,25 x 10
-4
A = 1,125 x 10
1
x 10
-4
(On ajoute 1 et -4)
A = 1,125 x 10
-3
Ecriture scientifique
A = 1,125 x 0,001
A = 0,001125 Ecriture décimale
B = 5 x 10
3
– 2 x 10
2
B = 5 000 – 200
B = 4 800 Ecriture décimale
B = 4,8 x 10
3
Ecriture scientifique
Définition : l’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre est l’unique forme a ×
10
n
, où le nombre a possède un seul chiffre non nul avant la virgule.
Propriété : un nombre décimal peut s’écrire de plusieurs façons sous la forme a × 10
n
où a désigne un nombre décimal et n un entier relatif