Les puissances Nombres en écriture scientifique

Les puissances
Nombres en écriture
scientifique
I. Puissances d’un nombre.
! Définition
Pour raccourcir l’écriture de 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (5 fois), on la note 3
5
.
Dans le cas général, pour a un nombre entiers relatifs et n un entier
naturel plus grand que 2, on note :
a
n
= a x a x … x a (a écrit n fois).
On a aussi : a
1
= a et a
0
= 1.
Exemples :
2
3
= 2 x 2 x 2 = 8 ; (-3)
2
= (-3) x (-3) = 9 ; 10
3
= 10 x 10 x 10 = 1 000.
Pour a 0, a
-n
est l’inverse de a
n
et on a donc :
a
-n
= (a écrit n fois).
Exemples :
! Propriétés
• Puissances de 10
Nous avons les propriétés suivantes sur les puissances de 10 :
Pour tous les entiers relatifs m et n,
10
m
x 10
n
= 10
m+n
; (10
m
)
n
= 10
mn
; = 10
m-n
.
Exemples :
10
3
x 10
-1
= 10
3+(-1)
=10
2
; (10
-1
)
2
= 10
-1x2
= 10
-2
; = 10
5-3
= 10
2
.
• Puissances d’un nombre relatif
Pour tous les entiers relatifs m et n et a un nombre entier relatif, nous
avons les mêmes relations que pour les puissances de 10 :
am x an = am+n ; (am)n = a mn ; = am-n.
Pour un autre nombre entier relatif b, nous avons aussi :
(a x b)n=an x bn et si
Exemples :
22 x 21 = 22+1 = 23 = 8 ; (33)2 = 33 x 2 = 36 ; = 53-1 = 52 = 25 ;
(2x3)2 = 22 x 32 = 4 x 9 = 36 ;
! Exercice 1 :
- Mettre sous la forme 10n (n un entier relatif), les nombres suivants :
103 x 102 ; 103 x 10-2 ; (103)2 ;
- Mettre sous la forme an et calculer : 22 x 23 ; (22)3 ; ; 52 x 22 ;
II. Ecriture scientifique d’un nombre
! Définition
L’écriture scientifique (ou la notation scientifique) d’un nombre est
l’écriture sous la forme a x 10n avec a un nombre qui vérifie 1 a < 10
et n un entier relatif.
Exemples :
1,2 x 103 (= 1 200)
6,4 x 102 (= 640)
3 x 10-2 (= 0,03)
-2,4 x 10-3 (= -0,0024) sont des nombres écrits en notation scientifique.
! Méthode :
- Trouver l’écriture scientifique du nombre 678 000.
• On cherche le nombre a qui vérifie 1 a < 10 et qui, multiplié par
une puissance de 10, donnerait 678 000.
Pour cela, on décale la virgule convenablement et on obtient 6,78.
• On a donc 678 000 = 6,78 x 10n avec n que l’on doit trouver.
En effectuant le décalage de la virgule inverse, on observe qu’il
faut décaler la virgule de 5 rang vers la droite, à partir de 6,78,
pour obtenir 678 000.
On a donc n = 5.
L’écriture scientifique de 678 000 est donc 6,78 x 105.
- Trouver l’écriture scientifique du nombre 0,0019.
• On cherche le nombre a qui vérifie 1 a < 10 et qui, multiplié par
une puissance de 10, donnerait 0,0019.
Pour cela, on décale la virgule convenablement et on obtient 1,9.
• On a donc 0,0019 = 1,9 x 10n avec n que l’on doit trouver.
En effectuant le décalage de la virgule inverse, on observe qu’il
faut décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche, à partir de 1,9,
pour obtenir 0,0019.
On a donc n = -3.
L’écriture scientifique de 0,0019 est donc 1,9 x 10-3.
! Exercice 2 :
Donner l’écriture scientifique des nombres en écriture décimale
suivants :
24 000 ; 1998 ; 0,007 ; 512 x 10-3 ; 0,036 x 104 ; 7,2.
Solutions :
Exercice 1 :
103 x 102 = 103+2 = 105 ; 103 x 10-2 = 103+(-2) = 101 = 10 ;
(103)2 = 103x2 = 106 ; = 105-2 = 103 ; = 104-(-2) = 106 ;
= = = 101 = 10.
22 x 23 = 22+3 = 25 = 32 ; (22)3 = 22x3 = 26 = 64 ; = 34-2 = 32 = 9 ; 52 x
22 = (5 x 2)2 = 102 = 100 ; = 210-7 = 23 = 8.
Exercice 2 :
24 000 = 2,4 x 10 000 = 2,4 x 104.
1998 = 1,998 x 1 000 = 1,998 x 103.
0,007 = 7 x 0,001 = 7 x 10-3.
512 x 10-3 = 5,12 x 100 x 10-3 = 5,12 x 102 x 10-3 = 5,12 x 10-1.
0,036 x 104 = 3,6 x 0,01 x 104 = 3,6 x 10-2 x 104 = 3,6 x 102.
7,2 = 7,2 x 1 = 7,2 x 100 car 1 7,2 < 10.
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009