Puissance d’un nombre Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des nombres relatifs. I – Puissance entière d’un nombre relatif Définitions : Pour tout nombre entier positif 𝒏 et tout nombre relatif 𝒂 on note : si 𝒏 ≠ 𝟎 𝒂𝒏 𝟎 𝒂 𝒂 … 𝒂 𝑛 facteurs si 𝒏 𝟎𝒂 𝟏 Exemples : Attention aux signes : ( Remarque : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qui est un nombre positif qui est un nombre négatif n’existe pas Définition : Pour tout nombre entier positif 𝒏 > 𝟎 et tout nombre relatif 𝒂 on note : 𝒂 𝒏 𝟏 𝒂𝒏 𝟏 𝒂 𝒂 … 𝒂 Remarque : on justifiera cette définition plus tard. Cas particuliers : et Exercice : Donne l'écriture décimale des nombres et II – Calcul sur les puissances a) Les règles (à savoir par cœur) Pour tout nombre relatif et tous nombres entiers relatifs 𝒂𝒏 𝒂𝒑 𝒂𝒏 𝒂𝒑 (𝒂𝒏 )𝒑 𝒂𝒏+𝒑 𝒂𝒏 𝒑 𝒂𝒏𝒑 et , on a les formules suivantes : Exemples : +( ) ( ) Méthode pour le brevet : Écris le nombre On remplace par et sous la forme d'une puissance de 2. par ( ( ) On applique les règles sur les puissances au numérateur et au dénominateur +( ) ) On applique les règles sur les puissances au quotient Pour tous nombres relatifs et et tout nombre entier relatif , on a les formules suivantes : 𝒂𝒏 𝒃𝒏 𝒂𝒏 𝒃𝒏 (𝒂𝒃)𝒏 𝒂 𝒏 ( ) 𝒃 Exemples : ( ( ) ) Théorème : La puissance est prioritaire sur la multiplication et la division. Exemples : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Exemple de preuve + On va démontrer les égalités et . Les démonstrations des autres règles se feront de la même manière. … + … 𝑛 facteurs 𝑝 facteurs 𝑛 + 𝑝 facteurs On suppose maintenant que > 𝑛 facteurs … … … … … 𝑝 facteurs 𝑝 facteurs simplifiés Reste 𝑛 𝑝 facteurs c) Pourquoi L’équation suivante ne doit avoir qu’une seule solution. Si on en trouve plusieurs, elles seront donc égales. Rappels : fractions peut aussi s’écrire Réécrivons ceci avec . et . Donc La règle sur le produit de puissances affirme aussi que +( Donc Conclusion : ) III – Puissance de 10 a) Ecriture décimale Définition : Pour 𝒏 > 𝟎 𝟏𝟎𝒏 𝟏 𝟎 … 𝟎 𝟏𝟎 𝒏 𝟎 𝟎 … 𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 b) Ecriture scientifiques Définition : Un nombre est écrit avec son écriture scientifique quand il est écrit sous la forme : ( )𝒂 𝟏𝟎𝒏 où 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎 et 𝒏 est un nombre entier relatif. 𝒂 est appelé la mantisse Exemples : est une écriture scientifique n’en est pas une Méthode pour le brevet : Comme écrire un nombre avec son écriture scientifique ? Donnez l’écriture scientifique de . Remarque : ne fonctionne que quand le numérateur et le dénominateur sont factorisés. On sépare la fraction On calcule chaque partie ( ) On formate : on écrit d’abord la mantisse sous sa forme scientifique Puis on termine