Puissance d`un nombre Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des

Puissance d’un nombre
Prérequis : Ajouter, soustraire, multiplier des nombres relatifs.
I – Puissance entière d’un nombre relatif
Exemples :
Attention aux signes :
             qui est un nombre positif
             qui est un nombre négatif
Remarque :  n’existe pas
Remarque : on justifiera cette définition plus tard.
Cas particuliers :   et  
Exercice : Donne l'écriture décimale des nombres  et 
II – Calcul sur les puissances
a) Les règles (à savoir par cœur)
Pour tout nombre relatif  et tous nombres entiers relatifs  et , on a les formules suivantes :
Définitions : Pour tout nombre entier positif 𝒏 et tout nombre relatif 𝒂 on note :
si
𝒏𝟎𝒂𝒏𝒂𝒂𝒂
si
𝒏𝟎𝒂𝟎𝟏
𝒂𝒏𝟏
𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒂  𝒂
Définition : Pour tout nombre entier positif 𝒏𝟎 et tout nombre relatif 𝒂 on note :
𝒂𝒏𝒂𝒑𝒂𝒏𝒑
𝒂𝒏
𝒂𝒑𝒂
𝒏𝒑
𝒂𝒏𝒑𝒂𝒏𝒑
𝑛 facteurs

Exemples :
Méthode pour le brevet : Écris le nombre   
 sous la forme d'une puissance de 2.
 On remplace  par  et  par 
 On applique les règles sur les puissances au numérateur et au dénominateur
 On applique les règles sur les puissances au quotient
Pour tous nombres relatifs et  et tout nombre entier relatif , on a les formules suivantes :
Exemples :
Exemples :
𝒂𝒏𝒃𝒏𝒂𝒃𝒏
𝒂𝒏
𝒃𝒏 𝒂 𝒃𝒏
Théorème : La puissance est prioritaire sur la multiplication et la division.

𝑝 facteurs
b) Exemple de preuve
On va démontrer les égalités    et 
  . Les démonstrations des autres règles se feront de la
même manière.
On suppose maintenant que   
c) Pourquoi  
L’équation suivante ne doit avoir qu’une seule solution. Si on en trouve plusieurs, elles seront donc égales.
Rappels : fractions
 peut aussi s’écrire     .
 Réécrivons ceci avec    et   .
Donc
 La règle sur le produit de puissances affirme aussi que
Donc
Conclusion :
𝑛 facteurs
𝑝 facteurs
𝑛𝑝 facteurs
𝑛 facteurs
𝑝 facteurs simplifiés
Reste 𝑛𝑝 facteurs

III – Puissance de 10
a) Ecriture décimale
b) Ecriture scientifiques
Exemples :
    est une écriture scientifique
   n’en est pas une
Méthode pour le brevet : Comme écrire un nombre avec son écriture scientifique ?
Donnez l’écriture scientifique de .
Remarque : ne fonctionne que quand le numérateur et le dénominateur sont factorisés.
 On sépare la fraction
 On calcule chaque partie
 On formate : on écrit d’abord la mantisse sous sa forme scientifique
 Puis on termine
Définition : Pour 𝒏𝟎
𝟏𝟎𝒏𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝒏𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟏
𝒂𝟏𝟎𝒏
Définition : Un nombre est écrit avec son écriture scientifique quand il est écrit sous la forme :
où
𝟏𝒂𝟏𝟎
et
𝒏
est un nombre entier relatif.
𝒂 est appelé la mantisse