Exercice 1 Soient x 0 = −1, x 1 = −0.5, x 2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1 et yi

Exercice 1 Soient x0=−1, x1=−0.5, x2= 0, x3= 0.5, x4= 1 et yi= sin(πxi)
pour i= 0,1,2,3,4.
1. D´eterminer le polynˆome d’interpolation de Lagrange P(x) de degr´e inf´erieur ou
´egal `a 4 qui passe par les points (xi, yi) pour i= 0,1,2,3,4.
2. Tracer les courbes de P(x) et sin(πx) pour x∈[−1,1].
Exercice 2
1. Soient f:]−∞, a]−→ Rune fonction de classe Cnet g: [b, +∞[−→ Rune fonction
de classe Cm, avec a < b. Montrer que pour tout k≤min(m, n), il existe une
fonction F:R−→ Rde classe Cktelle que :
F(x) = f(x), x ∈]− ∞, a]
g(x), x ∈[b, +∞[
On dit que Fest un prolongement de classe Ckdes fonctions f, g.
2. Application :
a) D´eterminer un prolongement de classe C2de :
exp(x), x ∈]− ∞,0]
sin(πx), x ∈[1,+∞[
b) D´eterminer un prolongement de classe C10 de :
0, x ∈]− ∞,−1]
1, x ∈[1,+∞[
Exercice 3 Le but de cet exercice est d’approcher num´eriquement les d´eriv´ees suc-
cessives d’une fonction f. Soient k∈N∗et t∈R. On suppose que fest d´efinie et
suffisament d´erivable dans un voisinage ouvert Ide t. Pour approcher f(k)(t), on se
donne m+ 1-points x0,x1, ... , xmdeux `a deux distincts de Iavec xm=t, on calcule
le polynˆome d’interpolation de Lagrange P(x) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a mqui v´erifie
:
P(xi) = fi=f(xi), i = 0,1,··· , m
et on prend comme valeur approch´ee de f(k)(t)'P(k)(xm).
1. Justifier le fait que mdoit ˆetre sup´erieur ou ´egal `a k. On supposera dans toute la
suite que m≥k.
2. On consid`ere les probl`emes d’interpolation de Hermite : Pour s= 0,1,2,··· , k,
trouver le polynˆome Qs(x) de degr´e inf´erieur ou ´egal `a m+k−squi v´erifie :
Qs(xi) = fi, i =s, s + 1,··· , m
Q(j)
s(xm) = P(j)(xm), j = 1,2,··· , k
et on note par (ci,j )0≤j−i≤m+kles coefficients de la m´ethode des diff´erences divis´ees
g´en´eralis´ee du polynˆome de Hermite Q0(x).
a) Montrer que pour tout s= 0,1,··· , k,Qs≡P.
b) Montrer que les (ci,j ), 0 ≤j≤met 0 ≤j−i≤m, sont les coefficients de la
m´ethode des diff´erences divis´ees du polynˆome de Lagrange P(x).
c) Montrer que pour tout s= 0,1,··· , k, les (cs+i,s+j)0≤j−i≤m+k−ssont les coeffi-
cients de la m´ethode des diff´erences divis´ees g´en´eralis´ee du polynˆome de Hermite
Qs(x).
1

d) D´eduire que pour tout i= 1,2,··· , k :
ci,m+i=c0,m
e) Montrer que :
cm,m+k=P(k)(xm)
k!
f) D´eduire une m´ethode qui permet de calculer P(k)(xm) en fonction des coef-
ficients (ci,j )0≤j−i≤mde la m´ethode des diff´erences divis´ees du polynˆome de
Lagrange P(x).
3. Application : Soit f(x) = 1/(1 + x). Calculer une valeur approch´ee de f00(1) par
la m´ethode ci-dessus.
Exercice 4 Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue. Soient γi,i= 0,...,n,
(n+ 1)−nombres r´eels deux `a deux distincts de l’intervalle [a, b] et P(x) = b0+b1x+
b2x2+···+bnxnl’unique polynˆome de degr´e ≤nde l’interpolation de Lagrange tel
que :
P(γi) = f(γi) = fi, i = 0,1,...,n.
Dans toute la suite de l’exercice, p∈N∗,1≤p≤net on notera par :
Ap=
1γ0γ2
0γ3 0··· γp
0
1γ1γ2
1γ3 1··· γp
1
.
.
..
.
.
1γnγ2
nγ3 n··· γp n
∈ Mn+1,p+1(R)
1. Montrer que XT
n= (b0b1b2··· bn) est l’unique solution du syst`eme lin´eaire :
AnX=Favec FT= (f0f1f2··· fn).
2. D´eduire que Anest inversible et que pour tout 0 ≤p≤nles vecteurs colonnes de
Apsont lin´eairement ind´ependants.
3. a) Montrer que la matrice AT
pApest d´efinie positive.
b) D´eduire que la matrice AT
pApest inversible.
4. Soit XT
p= (a0a1a2··· ap)∈Rp+1 l’unique solution du syst`eme :
AT
pApX=AT pF
Montrer que :
a) pour tout X∈Rp+1 : (F−ApXp)TApX= 0.
b) pour tout X∈Rp+1 :kApX−Fk2=kApXp−Fk2+kAp(X−Xp)k2
c) kAp(X−Xp)k= 0 ⇐⇒ X=Xp
5. D´eduire que :
∀X∈Rp+1, X 6=Xp=⇒ kApXp−Fk<kApX−Fk.
6. Montrer que Pp(x) = a0+a1x+a2x2+···+apxpest l’unique polynˆome de degr´e
≤ptel que sa courbe passe le plus proche possible, au sens des moindres carr´es,
des couples (γi, f(γi)), i = 0,1,...,n.
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