Exercice 1 Soient x 0 = −1, x 1 = −0.5, x 2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1 et yi

Exercice 1 Soient x0 = −1, x1 = −0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1 et yi = sin(πxi )
pour i = 0, 1, 2, 3, 4.
1. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange P (x) de degré inférieur ou
égal à 4 qui passe par les points (xi , yi ) pour i = 0, 1, 2, 3, 4.
2. Tracer les courbes de P (x) et sin(πx) pour x ∈ [−1, 1].
Exercice 2
1. Soient f :] − ∞, a] −→ R une fonction de classe C n et g : [b, +∞[−→ R une fonction
de classe C m , avec a < b. Montrer que pour tout k ≤ min(m, n), il existe une
fonction F : R −→ R de classe C k telle que :
f (x), x ∈] − ∞, a]
F (x) =
g(x), x ∈ [b, +∞[
On dit que F est un prolongement de classe C k des fonctions f, g.
2. Application :
a) Déterminer un prolongement de classe C 2 de :
exp(x), x ∈] − ∞, 0]
sin(πx), x ∈ [1, +∞[
b) Déterminer un prolongement de classe C 10 de :
0, x ∈] − ∞, −1]
1,
x ∈ [1, +∞[
Exercice 3 Le but de cet exercice est d’approcher numériquement les dérivées successives d’une fonction f . Soient k ∈ N∗ et t ∈ R. On suppose que f est définie et
suffisament dérivable dans un voisinage ouvert I de t. Pour approcher f (k) (t), on se
donne m + 1-points x0 , x1 , ... , xm deux à deux distincts de I avec xm = t, on calcule
le polynôme d’interpolation de Lagrange P (x) de degré inférieur ou égal à m qui vérifie
:
P (xi ) = fi = f (xi ), i = 0, 1, · · · , m
et on prend comme valeur approchée de f (k) (t) ' P (k) (xm ).
1. Justifier le fait que m doit être supérieur ou égal à k. On supposera dans toute la
suite que m ≥ k.
2. On considère les problèmes d’interpolation de Hermite : Pour s = 0, 1, 2, · · · , k,
trouver le polynôme Qs (x) de degré inférieur ou égal à m + k − s qui vérifie :
Qs (xi ) = fi ,
(j)
Qs (xm ) = P (j) (xm ),
i = s, s + 1, · · · , m
j = 1, 2, · · · , k
et on note par (ci,j )0≤j−i≤m+k les coefficients de la méthode des différences divisées
généralisée du polynôme de Hermite Q0 (x).
a) Montrer que pour tout s = 0, 1, · · · , k, Qs ≡ P .
b) Montrer que les (ci,j ), 0 ≤ j ≤ m et 0 ≤ j − i ≤ m, sont les coefficients de la
méthode des différences divisées du polynôme de Lagrange P (x).
c) Montrer que pour tout s = 0, 1, · · · , k, les (cs+i,s+j )0≤j−i≤m+k−s sont les coefficients de la méthode des différences divisées généralisée du polynôme de Hermite
Qs (x).
1
d) Déduire que pour tout i = 1, 2, · · · , k :
ci,m+i = c0,m
e) Montrer que :
cm,m+k =
P (k) (xm )
k!
f) Déduire une méthode qui permet de calculer P (k) (xm ) en fonction des coefficients (ci,j )0≤j−i≤m de la méthode des différences divisées du polynôme de
Lagrange P (x).
3. Application : Soit f (x) = 1/(1 + x). Calculer une valeur approchée de f 00 (1) par
la méthode ci-dessus.
Exercice 4 Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Soient γi , i = 0, . . . , n,
(n + 1)−nombres réels deux à deux distincts de l’intervalle [a, b] et P (x) = b0 + b1 x +
b2 x2 + · · · + bn xn l’unique polynôme de degré ≤ n de l’interpolation de Lagrange tel
que :
P (γi ) = f (γi ) = fi , i = 0, 1, . . . , n.
Dans toute la suite de l’exercice, p ∈ N∗ , 1 ≤ p ≤ n

1 γ0 γ02 γ03 · · · γ0p
 1 γ1 γ12 γ13 · · · γ1p

Ap =  .
..
 ..
.
1 γn γn2 γn3 · · · γnp
et on notera par :



 ∈ Mn+1,p+1 (R)

1. Montrer que XnT = (b0 b1 b2 · · · bn ) est l’unique solution du système linéaire :
An X = F avec F T = (f0 f1 f2 · · · fn ).
2. Déduire que An est inversible et que pour tout 0 ≤ p ≤ n les vecteurs colonnes de
Ap sont linéairement indépendants.
3. a) Montrer que la matrice ATp Ap est définie positive.
b) Déduire que la matrice ATp Ap est inversible.
4. Soit XpT = (a0 a1 a2 · · · ap ) ∈ Rp+1 l’unique solution du système :
ATp Ap X = ATp F
Montrer que :
a) pour tout X ∈ Rp+1 : (F − Ap Xp )T Ap X = 0.
b) pour tout X ∈ Rp+1 : kAp X − F k2 = kAp Xp − F k2 + kAp (X − Xp )k2
c) kAp (X − Xp )k = 0 ⇐⇒ X = Xp
5. Déduire que :
∀X ∈ Rp+1 , X 6= Xp =⇒ kAp Xp − F k < kAp X − F k.
6. Montrer que Pp (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ap xp est l’unique polynôme de degré
≤ p tel que sa courbe passe le plus proche possible, au sens des moindres carrés,
des couples (γi , f (γi )), i = 0, 1, . . . , n.
2