Méthodes itératives, Méthode de tir, Principe du maximum

Universit´e de Rouen
Master 1, MFA 2010–2011
Analyse num´erique des EDP
M´ethodes it´eratives, M´ethode de tir,
Principe du maximum
1.
On consid`ere la matrice de taille nd´efinie par A=
2−1
−1......
......
et on pose h=1
n+1 .
a)i) Montrer que ∀v∈Rnon a
(Av, v) = v2
1+
n−1
X
k=1
(vk+1 −vk)2+v2
n.
ii) En d´eduire que Aest d´efinie positive.
iii) Montrer que sp(A)⊂]0,4[.
b)i) Soit λ∈]0,4[ fix´e. Montrer que les suites v´erifiant la relation de r´ecurence
v0= 0 et vk+2 = (2 −λ)vk+1 −vk
sont de la forme vk=asin(kθ) avec λ= 2(1 −cos θ).
ii) En d´eduire que
sp(A) = {2(1 −cos kπ
n+ 1)|1≤k≤n}.
c)i) Trouver le rayon spectral des matrices de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation
optimale.
ii) En donner un d´eveloppement asymtotique pour hpetit.
iii) Combien d’it´erations demandent les m´ethodes pr´ec´edentes pour obtenir la solution
de Ax =bavec une erreur de l’ordre de 10−10, lorsque les donn´ees initiales sont
d’ordre 1.
iv) Combien d’op´erations demande une m´ethode directe adapt´ee.
v) Quelle m´ethode doit-on pr´ef´erer ?
2.
On consid`ere les matrices A=
1 2 −2
1 1 1
2 2 1
et B=
2−1 1
2 2 2
−1−1 2
.
a) Montrer que ρ(J(A)) <1< ρ(L1(A)).
b) Montrer que ρ(L1(B)) <1< ρ(J(B)).
3. Matrices-bandes
On dit qu’une matrice Aest une matrice-bande de largeur msi aij = 0 si |i−j| ≥ m. On
suppose que Aest hermitienne d´efinie positive.
a)i) Montrer que la matrice Bde la d´ecomposition de Cholesky de A=BBTest une
matrice bande de largeur m.
1

ii) Combien d’op´erations demande alors la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire avec A?
b) Soit Bla matrice triangulaire inf´erieure d´efinie par
b11 = 1, bii =i−1 si i≥2, bij =−1 si i > j, bij = 0 si i < j.
i) Calculer BBT.
ii) Montrer que la matrice BBTest d´efinie positive.
iii) Quel est l’int´erˆet des m´ethodes it´eratives par rapport `a la m´ethode de Cholesky
pour la r´esolution de syst`emes lin´eaires avec la matrice BBT?
4. M´ethode de Tir
Soit fet cdeux fonctions r´eelles donn´ees de C0([0,1]) avec c≥0 dans [0,1]. On s’int´eresse au
probl`eme aux limites avec conditions de p´eriodicit´e : Trouver u∈ C2(]0,1[) ∩ C0([0,1]) telle
que
−u00 (x) + c(x)u(x) = f(x), x ∈]0,1[,
u(0) = u(1), u0(0) = u0(1).(1)
a) On va r´esoudre ce probl`eme par la m´ethode de tir.
i) Montrer que ce probl`eme de Cauchy : Trouver v0∈u∈ C2(]0,1[) ∩ C0([0,1]) telle que
−v00
0(x) + c(x)v0(x) = f(x), x ∈]0,1[,
v0(0) = 0, v0
0(0) = 0.(2)
admet une solution unique.
ii) On note v0(1) = αet v0
0(1) = β. Montrer que le probl`eme (1) est ´equivalent `a
r´esoudre le probl`eme (3) suivant : Trouver w∈ C2(]0,1[) ∩ C0([0,1]) telle que
−w00 (x) + c(x)w(x)=0, x ∈]0,1[,
w(0) = w(1) + α, w0(0) = w0(1) + β. (3)
Quelle est la relation entre uet wqui assure l’´equivalence des deux probl`emes.
iii) Pour tout couple (λ, µ)∈R2, on note wλ,µ la solution du probl`eme de Cauchy :
−w00
λ,µ(x) + c(x)wλ,µ(x)=0, x ∈]0,1[,
wλ,µ(0) = λ, w0
λ,µ(0) = µ, (4)
Montrer que wλ,µ existe et est unique.
iv) On pose L(λ, µ)=(wλ,µ(1) −λ, w0
λ,µ(1) −µ). Montrer que Lest une application
lin´eaire de R2dans R2. Montrer que le probl`eme (3) est ´equivalent `a montrer que
Lest surjective.
v) On suppose qu’il existe x0∈[0,1] tel que c(x0)>0. Montrer que Lest injective.
En d´eduire l’existence et l’unicit´e de la solution du probl`eme (1) dans ce cas.
vi) On traite maintenant le cas c= 0. Montrer que si le probl`eme (1) a une solution,
alors n´ecessairement,
Z1
0
f(x)dx = 0.
Donner dans ce cas toutes les solutions udu probl`eme (1) explicitement en fonction
de f.
b) Dans la suite du probl`eme, on supposera que c(0) = c(1) et f(0) = f(1). Si gest une
fonction sur [0,1[, on note ˜gson prolongement par p´eriodicit´e de p´eriode 1 `a Rtout
entier, c’est-`a-dire ˜g(x) = g(x−E(x)), E(x) d´esignant la partie enti`ere de x.
i) Montrer que pour toute solution udu probl`eme (1), ˜uappartient `a C2(R). Quelle
´equation satisfait ˜u?
ii) Montrer que si de plus cet fappartiennent `a C2([0,1]), avec c0(0) = c0(1), c00 (0) =
c00 (1), f0(0) = f0(1) et f00 (0) = f00 (1), alors ˜u∈ C4(R).
2

5. Principe du maximum
Soit Ω un ouvert born´e de Rn. On consid`ere trois fonctions born´ees a: Ω →Mn,b: Ω →Rn,
et c: Ω →R+. On suppose qu’il existe une constante α > 0 telle que la matrice a−αI est
sym´etrique positive ∀x∈Ω. On consid`ere alors l’op´erateur diff´erentiel lin´eaire
Lu =
n
X
i,j=1
aij (x)∂2u(x)
∂xi∂xj
+
n
X
i
bi(x)∂u(x)
∂xi
d´efini pour les fonctions u∈C2(Ω) ; et on dit que Lest strictement elliptique `a cause de
l’hypoth`ese faite sur a.
a) Montrer que le laplacien est un op´erateur strictement elliptique.
b) Montrer que si aet a0sont deux matrices sym´etriques positives, on a tr(aa0)≥0.
[Commencer par le cas o`u la matrice aest diagonale.]
c) Soit u∈C2(Ω). Soit xun maximum local de u. En utilisant la formule de Taylor,
montrer que ∂u(x)
∂xi= 0 ∀iet que la matrice hessienne ( ∂2u(x) ∂xi∂xj) est n´egative.
d) Soit u∈C2(Ω) ∩C(Ω) v´erifiant Lu −cu > 0 dans Ω. Montrer que une peut atteindre
son maximum positif sur Ω qu’en un point de ∂Ω (c’est-`a-dire que u(x) = maxΩu+⇒
x∈∂Ω).
e) Trouver k > 0 tel que la fonction w(x) = exp(kx1) v´erifie Lw −cw > 0 sur Ω.
f) Etablir le principe du maximum suivant. Si u∈C2(Ω) ∩C(Ω) v´erifie Lu −cu ≥0 dans
Ω, alors maxΩu≤max∂Ωu+. [Consid´erer, pour  > 0, la fonction u+w et faire tendre
→0.]
g) Etablir le principe de comparaison suivant. Si u, v ∈C2(Ω) ∩C(Ω) v´erifient Lu −cu ≥
Lv −cv dans Ω et u≤vsur ∂Ω, alors u≤vsur Ω.
h) Soit f: Ω →Ret g:∂Ω→R. On consid`ere le probl`eme de Dirichlet (classique) :
trouver u∈C2(Ω) ∩C(Ω) v´erifiant
Lu −cu =fdans Ω et u=gsur ∂Ω.
Montrer que le probl`eme de Dirichlet admet au plus une solution.
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