Méthodes itératives, Méthode de tir, Principe du maximum

Méthodes itératives, Méthode de tir,
Principe du maximum
Université de Rouen
Master 1, MFA 2010–2011
Analyse numérique des EDP
1.

2

On considère la matrice de taille n définie par A = 
 −1
a)
i)
−1
..
.
..
.

.. 
. 
 et on pose h =
..
.
1
n+1 .
n
Montrer que ∀v ∈ R on a
(Av, v) = v12 +
n−1
X
(vk+1 − vk )2 + vn2 .
k=1
ii) En déduire que A est définie positive.
iii) Montrer que sp(A) ⊂]0, 4[.
b)
i)
Soit λ ∈]0, 4[ fixé. Montrer que les suites vérifiant la relation de récurence
v0 = 0
et
vk+2 = (2 − λ)vk+1 − vk
sont de la forme vk = a sin(kθ) avec λ = 2(1 − cos θ).
ii) En déduire que
sp(A) = {2(1 − cos
c)
i)
kπ
) | 1 ≤ k ≤ n}.
n+1
Trouver le rayon spectral des matrices de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation
optimale.
ii) En donner un développement asymtotique pour h petit.
iii) Combien d’itérations demandent les méthodes précédentes pour obtenir la solution
de Ax = b avec une erreur de l’ordre de 10−10 , lorsque les données initiales sont
d’ordre 1.
iv) Combien d’opérations demande une méthode directe adaptée.
v) Quelle méthode doit-on préférer ?
2.

1
On considère les matrices A =  1
2
3.
2
1
2


−2
2
1  et B =  2
1
−1
a)
Montrer que ρ(J(A)) < 1 < ρ(L1 (A)).
b)
Montrer que ρ(L1 (B)) < 1 < ρ(J(B)).
−1
2
−1

1
2 .
2
Matrices-bandes
On dit qu’une matrice A est une matrice-bande de largeur m si aij = 0 si |i − j| ≥ m. On
suppose que A est hermitienne définie positive.
a)
i)
Montrer que la matrice B de la décomposition de Cholesky de A = BB T est une
matrice bande de largeur m.
1
ii) Combien d’opérations demande alors la résolution d’un système linéaire avec A ?
b)
Soit B la matrice triangulaire inférieure définie par
b11 = 1,
i)
bii = i − 1
si i ≥ 2,
bij = −1
si i > j,
bij = 0
si i < j.
Calculer BB T .
ii) Montrer que la matrice BB T est définie positive.
iii) Quel est l’intérêt des méthodes itératives par rapport à la méthode de Cholesky
pour la résolution de systèmes linéaires avec la matrice BB T ?
4.
Méthode de Tir
Soit f et c deux fonctions réelles données de C 0 ([0, 1]) avec c ≥ 0 dans [0, 1]. On s’intéresse au
problème aux limites avec conditions de périodicité : Trouver u ∈ C 2 (]0, 1[) ∩ C 0 ([0, 1]) telle
que
−u00 (x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈]0, 1[,
(1)
u(0) = u(1), u0 (0) = u0 (1).
a)
On va résoudre ce problème par la méthode de tir.
i)
Montrer que ce problème de Cauchy : Trouver v0 ∈u∈ C 2 (]0, 1[) ∩ C 0 ([0, 1]) telle que
−v000 (x) + c(x)v0 (x) = f (x), x ∈]0, 1[,
(2)
v0 (0) = 0, v00 (0) = 0.
admet une solution unique.
ii) On note v0 (1) = α et v00 (1) = β. Montrer que le problème (1) est équivalent à
résoudre le problème (3) suivant : Trouver w ∈ C 2 (]0, 1[) ∩ C 0 ([0, 1]) telle que
−w00 (x) + c(x)w(x) = 0,
x ∈]0, 1[,
(3)
w(0) = w(1) + α, w0 (0) = w0 (1) + β.
Quelle est la relation entre u et w qui assure l’équivalence des deux problèmes.
iii) Pour tout couple (λ, µ) ∈ R2 , on note wλ,µ la solution du problème de Cauchy :
00
−wλ,µ
(x) + c(x)wλ,µ (x) = 0, x ∈]0, 1[,
(4)
0
wλ,µ (0) = λ, wλ,µ
(0) = µ,
Montrer que wλ,µ existe et est unique.
0
iv) On pose L(λ, µ) = (wλ,µ (1) − λ, wλ,µ
(1) − µ). Montrer que L est une application
2
2
linéaire de R dans R . Montrer que le problème (3) est équivalent à montrer que
L est surjective.
v) On suppose qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que c(x0 ) > 0. Montrer que L est injective.
En déduire l’existence et l’unicité de la solution du problème (1) dans ce cas.
vi) On traite maintenant le cas c = 0. Montrer que si le problème (1) a une solution,
alors nécessairement,
Z 1
f (x) dx = 0.
0
Donner dans ce cas toutes les solutions u du problème (1) explicitement en fonction
de f .
b)
Dans la suite du problème, on supposera que c(0) = c(1) et f (0) = f (1). Si g est une
fonction sur [0, 1[, on note g̃ son prolongement par périodicité de période 1 à R tout
entier, c’est-à-dire g̃(x) = g(x − E(x)), E(x) désignant la partie entière de x.
i)
Montrer que pour toute solution u du problème (1), ũ appartient à C 2 (R). Quelle
équation satisfait ũ ?
ii) Montrer que si de plus c et f appartiennent à C 2 ([0, 1]), avec c0 (0) = c0 (1), c00 (0) =
c00 (1), f 0 (0) = f 0 (1) et f 00 (0) = f 00 (1), alors ũ ∈ C 4 (R).
2
5.
Principe du maximum
Soit Ω un ouvert borné de Rn . On considère trois fonctions bornées a : Ω → Mn , b : Ω → Rn ,
et c : Ω → R+ . On suppose qu’il existe une constante α > 0 telle que la matrice a − αI est
symétrique positive ∀x ∈ Ω. On considère alors l’opérateur différentiel linéaire
Lu =
n
X
n
aij (x)
i,j=1
∂u(x)
∂ 2 u(x) X
+
bi (x)
∂xi ∂xj
∂xi
i
défini pour les fonctions u ∈ C 2 (Ω) ; et on dit que L est strictement elliptique à cause de
l’hypothèse faite sur a.
a)
Montrer que le laplacien est un opérateur strictement elliptique.
b)
Montrer que si a et a0 sont deux matrices symétriques positives, on a tr(aa0 ) ≥ 0.
[Commencer par le cas où la matrice a est diagonale.]
c)
Soit u ∈ C 2 (Ω). Soit x un maximum local de u. En utilisant la formule de Taylor,
∂ 2 u(x)
montrer que ∂u(x)
∂xi = 0 ∀i et que la matrice hessienne ( ∂xi ∂xj ) est négative.
d)
Soit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) vérifiant Lu − cu > 0 dans Ω. Montrer que u ne peut atteindre
son maximum positif sur Ω qu’en un point de ∂Ω (c’est-à-dire que u(x) = maxΩ u+ ⇒
x ∈ ∂Ω).
e)
Trouver k > 0 tel que la fonction w(x) = exp(kx1 ) vérifie Lw − cw > 0 sur Ω.
f)
Etablir le principe du maximum suivant. Si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) vérifie Lu − cu ≥ 0 dans
Ω, alors maxΩ u ≤ max∂Ω u+ . [Considérer, pour > 0, la fonction u + w et faire tendre
→ 0.]
g)
Etablir le principe de comparaison suivant. Si u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) vérifient Lu − cu ≥
Lv − cv dans Ω et u ≤ v sur ∂Ω, alors u ≤ v sur Ω.
h)
Soit f : Ω → R et g : ∂Ω → R. On considère le problème de Dirichlet (classique) :
trouver u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) vérifiant
Lu − cu = f
dans Ω
et
u=g
sur ∂Ω.
Montrer que le problème de Dirichlet admet au plus une solution.
3