Chapitre 26 : Polygones réguliers

Chapitre 26 : Polygones réguliers
Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la
même mesure.
Exemple : Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur et ses trois angles de même mesure. C’est donc
un polygone régulier à trois côtés.
A
B
C
60°
60°
60°
Propriété : : Si un polygone est régulier, tous ses sommets appartiennent à un même cercle. Le centre de ce cercle est
appelé centre du polygone régulier. Si [AB] est un côté d’un polygone régulier de centre Oàncôtés, alors :
AOB =
360°
n
Exemples :
Triangle équilatéral inscrit dans un cercle :
A
B
C
O
120°
AOC =360
3
=120°
Carré inscrit dans un cercle :
AB
C
D
O
90°
90°
BOC =
360
4
=90°

Hexagone régulier inscrit dans un cercle :
120°
60°
A
B
C
D
E
F
O
BOC =360
6
=60°
Exercice : La figure ci-dessous est un hexagone régulier ABC DE F inscrit dans un cercle C.
Cette figure n’est pas en vraie grandeur.
+
+ +
+
+ +++
+
+
+
++
+
C
DE
F
A B
O
C
1. Construire un hexagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon 3 cm.
2. Calculer la mesure de l’angle COE .
3. Montrer que l’angle C AE mesure 60 °.
4. Quelle est la nature du triangle C AE ? Justifier.
Solution :
1. Utiliser le compas en reportant régulièrement sur le cercle à partir du point Cpar exemple une longueur de 3
cm.
2. COD =
360
6
=60°.
Donc : COE =2× COD =2×60 =120°
3. L’angle
C AE est un angle inscrit.
L’angle COE est un angle au centre.
Ces deux angles interceptent le même arc de cercle.
Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle alors l’angle inscrit mesure la moitié
de l’angle au centre.
Donc : C AE =
COE
2
=
120
2
=60°
4. De la même manière on peut prouver que AEC = EC A =60°. Donc le triangle C AE est un triangle équilatéral
car tous ses angles mesurent 60 degrés.
Collège Willy Ronis page 2 Moisan