Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se

Lycée Camille SEE
18 octobre 2010 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
1re ES 1
Spécialité
IVECTEUR DE L’ESPACE
Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l’espace
1VECTEURS COLINÉAIRES
Dire que deux vecteurs non nuls ~uet ~vsont colinéaires signifie, qu’ils ont la même direction, c’est-à-dire
qu’il existe un réel ktel que ~u=k~v.
Par convention, le vecteur nul~ 0 est colinéaire à tout vecteur.
— Trois points A,Bet Csont alignés si, et seulement si, les vecteurs −→ AB et −→ AC sont colinéaires.
— Les droites (AB)et (CD)sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs −→ AB et −→ CD sont colinéaires.
2VECTEURS COPLANAIRES
~u,~vet ~wsont trois vecteurs de l’espace tels que ~uet ~vne sont pas colinéaires.
Les vecteurs ~u,~vet ~wsont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels
α et β tels que :
~w=
α ~u+ β ~v
CONSÉQUENCE :
Pour démontrer qu’un point Dappartient à un plan Pdéfini par trois points non alignés A,Bet Con montre
que les vecteurs −→ AB,−→ AC et −→ AD sont coplanaires.
II REPÉRAGE DANS L’ESPACE
1COORDONNÉES D’UN POINT
Dans un repère O;~
i,~ j,
~
k, pour tout point M, il existe un unique
triplet (x;y;z)de réels tels que
−−→
OM =x
~
i+y~ j+z
~
k
(x;y;z)est le triplet de coordonnées du point M(ou du vecteur −−→ OM).
xest l’abscisse, yest l’ordonnée, zest la cote. xy
z
O
~
i~
j
~
k
M
2CALCULS AVEC LES COORDONNÉES
Les propriétés de calcul vectoriel étudiées dans le plan restent valables dans l’espace.
Page 1 sur 4

Lycée Camille SEE
18 octobre 2010 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
1re ES 1
Spécialité
Dans un repère O;~ i,~ j,
~
k, on considère les vecteurs ~u(x;y;z)et ~v(x′;y′;z′).
—~u=~vsi, et seulement si, x=x′,y=y′et z=z′.
— Le vecteur somme ~u+~va pour coordonnées ~u+~v(x+x′;y+y′;z+z′).
— Pour tout réel k,k~u(kx;ky;kz).
Soit A(xA;yA;zA)et B(xB;yB;zB)deux points de l’espace :
— le vecteur −→ AB a pour coordonnées −→ AB (xB−xA;yB−yA;zB−zA).
— le milieu Idu segment [AB]a pour coordonnées IxA+xB
2;yA+yB 2;zA+zB 2.
NORME ET DISTANCE
Dans un repère orthonormal O;~ i,~ j,
~
k,
— Le vecteur ~u(x;y;z)a pour norme :
k~uk=px2+y2+z2
— La distance entre les points A(xA;yA;zA)et B(xB;yB;zB)est donnée par
AB =q(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2
— Deux vecteurs ~u(x;y;z)et ~v(x′;y′;z′)sont orthogonaux si, et seulement si, xx′+yy′+zz′=0.
Page 2 sur 4

Lycée Camille SEE
18 octobre 2010 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
1re ES 1
Spécialité
EXERCICE 1
Dans l’espace muni d’un repère O;~ i,~ j,
~
k, on considère le pavé droit OABCDEFG.
x
y
z
O
~
i
~
j
~
k
A
C
D
B
G
EF
M
N
1. Lire les coordonnées des points Eet G.
2. Placer le point Pde coordonnées (5; 8;6)dans le repère précédent.
3. La cote du point Mest égale à 5, lire les coordonnées du point M.
4. Nest un point du plan (BCG), lire les coordonnées du point N.
EXERCICE 2
L’espace est rapporté à un repère O;~ i,~ j,
~
k. Les questions suivantes sont indépendantes :
1. Les points A(1;4; −6),B(−5;2;0)et C(−2;3;−3)sont-ils alignés ?
2. Déterminer les réels aet bpour que les vecteurs ~u(−2; a;1)et ~v(3; 1;b)soient colinéaires.
3. Les points A(2;−1; −1),B(5;1;2),C(4;0;0)et D(2;−2;−4)sont-ils coplanaires ?
EXERCICE 3
Dans l’espace muni d’un repère O;~ i,~ j,
~
k, on considère les points A(2;−1;3),B(3;2;1),C(−2;3;1)et D(6;3;0).
1. Les points A,Bet Cdéterminent-ils un plan ?
2. Calculer les coordonnées du point Imilieu du segment [BC].
3. Les points A,B,Cet Dsont-ils coplanaires ?
EXERCICE 4
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O;~ i,~ j,
~
k, on considère les points A(4; −1;2),B(3;−2;1),C(1;0;1)
et D(3;4; 1).
Page 3 sur 4

Lycée Camille SEE
18 octobre 2010 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
1re ES 1
Spécialité
1. Les points A,Bet Csont-ils alignés ?
2. Les points A,B,Cet Dsont-ils coplanaires ?
3. Le point E(3;y; 1)appartient au plan ABC, calculer son ordonnée.
4. La droite (ED)est-elle parallèle au plan (yOz)?
EXERCICE 5
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O;~ i,~ j,
~
k, on considère les points A(−1;4;−3),B(2;−2;3),
C(1;0;1),D(1;−2;−1)et E(−1;3;−4).
1. Les points A,Bet Csont-ils alignés ?
2. Montrer que les points A,Det Edéterminent un plan.
3. Les points A,C,Det Esont-ils coplanaires ? Qu’en est-il des points A,B,C,Det E?
4. Déterminer les coordonnées du point Htel que −→ AH +−→ BH =9~ i.
5. Montrer que la droite (CH)est perpendiculaire au plan (ADE)
EXERCICE 6
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O;~ i,~ j,
~
k. On considère les points A(2; −1;3),B(−2;3;1),
C(−2;0;4),D(9;−5;8)et E(x;y;6).
1. Montrer que les points A,Bet Cdéterminent un plan.
2. Le point Eappartient à la droite (AB). Déterminer son abscisse et son ordonnée.
3. Montrer que les vecteurs −→ ED et −→ AB sont orthogonaux.
4. Montrer que la droite (ED)est perpendiculaire au plan (ABC).
EXERCICE 7
Dans l’espace muni d’un repère O;~ i,~ j,
~
k, on considère les points A(−2; 3;−1)et B(1;3;2).
1. Déterminer les coordonnées du point Cintersection de la droite (AB)avec le plan (xOy).
2. Déterminer les coordonnées du point Dintersection de la droite (AB)avec le plan (yOz).
3. La droite (AB)est-elle sécante avec le plan (xOz)?
Page 4 sur 4