I) Vecteurs de l`espace

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VECTEURS ET REPERAGE DANS L’ESPACE
I) Vecteurs de l'espace
1) Extension de la notion de vecteur
 L'égalité
AB CD
signifie que ABDC est un parallélogramme.
 Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C de l’espace,
AC AB BC
.
 la longueur ou norme du vecteur
AB
se note
AB
et est égale à la distance AB.
2) Opérations sur les vecteurs
L'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un réel se définissent comme pour les vecteurs du plan.
Ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane.
II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
1) Vecteurs colinéaires
Définition : Deux vecteurs de l’espace
u
et
v
sont colinéaires s’il existe deux nombres réels  et  tels que
( ;)  (0 ;0) et
0uv  
.
Remarque : Si
u
et
v
sont colinéaires, alors on peut écrire l’un en fonction de l’autre sous la forme
u kv
où k est un
nombre réel.
Théorème :
 Les points A, B et C sont alignés  les vecteurs
AB
et
AC
sont colinéaires.
 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles  les vecteurs
AB
et
CD
sont colinéaires.
2) Vecteurs coplanaires
Définition : Trois vecteurs de l’espace
u
,
v
et
w
sont coplanaires s’il existe trois nombres réels ,  et  tels que
( ;  ; )  (0 ; 0 ; 0) et
0u v w    
.
Remarque : Si
u
,
v
et
w
sont coplanaires alors on peut écrire l’un des trois en fonction des deux autres sous la forme
u kv k w
où k et k’ sont des nombres réels.
Théorème :
 Les points A, B, C et D sont coplanaires  les vecteurs
AB
,
AC
et
AD
sont coplanaires.
 La droite (ED) est parallèle au plan (ABC)  les vecteurs
AB
,
AC
et
ED
sont coplanaires.
III) Repères et coordonnées dans l’espace
1) Repères de l’espace
Définition : Soit O un point de l’espace. On dit que
( , , , )O i j k
est un repère de l’espace, lorsque les vecteurs
i
,
j
et
k
ne sont pas coplanaires.

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Définition : Soit
( , , , )O i j k
un repère de l’espace.
 Pour tout point M, il existe trois nombres réels
x, y et z tels que :
OM x y zi j k  
;
(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère
( , , , )O i j k
.
x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote du point M dans ce repère.
 Tout vecteur
u
de l’espace peut s'écrire :
x y zu i j k  
; (x ; y ; z) sont les coordonnées de
u
.
O
m'(x ; 0 ; 0) M''(x ; y ; 0)
m''(0 ; y ; 0)
E
F M'(x ; 0 ; z)
m'''(0 ; 0 ; z)
M(x ; y ; z)
M'''(0 ; y ; z)
G
I
K
i
y
j
j
x i
k
z
k
kji 
 zyx 
2) Propriétés : On considère un repère orthonormé
( , , , )O i j k
de l’espace.
Propriétés :
 Soit
u
(x ; y ; z) et
v
(x’ ; y’ ; z’).
0 x y z 0u    
; 
x x'
y y'
z z'
uv
;
u
+
v
a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’ ; z + z’) ;
 k
u
a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).
 Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB).
AB
a pour coordonnées (xB  xA ; yB  yA ; zB  zA).
 Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
A B A B A B
x x y y z z
;;
2 2 2
.
 Si de plus, le repère est orthonormé, on a :
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z      
.
IV) Equations d’objets de l’espace
1) Plans parallèles aux plans de base
Théorème :
 Tout plan parallèle au plan (O,
i
,
j
) d’équation z = 0 a une équation du type z = z0.
 Tout plan parallèle au plan (O,
j
,
k
) d’équation x = 0 a une équation du type x = x0.
 Tout plan parallèle au plan (O,
i
,
k
) d’équation y = 0 a une équation du type y = y0.
2) Sphère centrée sur l’origine O
Théorème : la sphère de centre O et de rayon R a pour équation
2 2 2 2
x y z R  
.

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3) Cylindres
Théorème : Le cylindre de révolution d’axe (O,
k
), compris entre les plans d’équations z = a et z = b et dont les bases
sont des cercles de rayon R est défini analytiquement par le système
2 2 2
a z b
x y R
.
Remarques :
 On peut aussi s’intéresser au cylindre illimité dont l’équation est
2 2 2
x y R
.
 Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cylindre analogues :
 cylindre d’axe (O,
i
) :
2 2 2
y z R
 cylindre d’axe (O,
j
) :
2 2 2
x z R
.
4) Cônes
Théorème : Le cône de révolution, de sommet O, d’axe (O,
k
), de hauteur h et dont le cercle de base a pour rayon R est
défini par le système
2
2 2 2
0zh
R
x y z
H
.
Remarques :
 On peut s’intéresser à la surface illimitée d’équation
2
2 2 2
R
x y z
H
qu’on appellera bi-cône, le rapport
R
h
donnant la tangente du demi-angle au sommet.
 Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cône analogues :
 cône d’axe (O,
i
) :
2
2 2 2
R
y z x
h
 cône d’axe (O,
j
) :
2
2 2 2
R
x z y
h
.