1 VECTEURS DE L`ESPACE I. Caractérisation vectorielle d`un plan
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1 VECTEURS DE L'ESPACE I. Caractérisation vectorielle d'un plan 1) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … restent valides. 2) Plan de l'espace Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace L'ensemble des points M de l'espace tels que le plan passant par A et dirigé par et et non colinéaires. , avec x λ et y λ est . Remarque : Dans ces conditions, le triplet Démonstration : - Soit deux points B et C tel que et est un repère du plan. et ne sont pas colinéaires donc . est un repère du plan (ABC). Dans ce ( ) repère, tout point M de coordonnées x; y est tel que . - Réciproquement, soit M un point de l'espace tel que . Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 ( ) Soit N le point du plan (ABC) de coordonnées x; y dans le repère et donc . Alors . M et N sont confondus donc M appartient à (ABC). Remarque : Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Propriété : Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Démonstration : Soit deux plan P et P' de repères respectifs et . - Si P et P' sont confondus, la démonstration est triviale. - Dans la suite P et P' ne sont pas confondus. Supposons que P et P' possède un point M en commun. Alors dans P, on a : où x; y sont les coordonnées de M dans P. ( ) où ( x '; y ') sont les coordonnées de M dans P'. Et dans P', on a : Donc donc B appartient à P. Donc le repère est un repère de P et donc P et P' sont confondus ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. P et P' n'ont aucun point en commun et sont donc parallèles. II. Vecteurs coplanaires et repère de l'espace 1) Vecteurs coplanaires Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3 Propriété : Soit Pour tout vecteur Démonstration : - Existence : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. ( ) , il existe un unique triplet x; y; z tel que un représentant de Soit P le plan de repère . . . Si B appartient à P alors se décompose suivant les vecteurs et . Supposons que B n'appartient pas à P. Soit d la droite passant par B de vecteur directeur . Comme n'est pas colinéaire avec et , la droite d coupe le plan P en un point C. On peut écrire . appartient au plan P donc il existe un couple x; y tel que ( ) est colinéaire avec donc il existe un réel z tel que Il existe donc un triplet x; y; z tel que ( ) . . . - Unicité : On suppose que l'on ait les deux écritures distinctes : Alors . Supposons que l'une au moins des trois différence n'est pas nulle, par exemple z - z' ¹ 0. Donc et dans ce cas, les vecteurs , et seraient coplanaires. Ce qui est exclu. Les trois différences x - x' , y - y ' et z - z ' sont nulles. Exemple : ABCDEFGH est un cube. Les vecteurs , et sont non coplanaires. Le vecteurs se décompose en : . Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 4 2) Repère de l'espace Définition : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. O est un point de l'espace. On appelle repère de l'espace le quadruplet . Remarques : - O est appelé l'origine du repère. - La décomposition - De même, la décomposition vecteur æ xö donne les coordonnées ç y ÷ du point M. ç ÷ çè z ÷ø æ xö donne les coordonnées ç y ÷ du ç ÷ çè z ÷ø . Méthode : Démontrer l'alignement par décomposition de vecteurs Vidéo https://youtu.be/oY0BgzNDsQU ABCDEFGH est un cube. Soit I le milieu de [AH] et J le point de [FI] tel que . Démontrer que les points E, J et C sont alignés. Pour prouver cet alignement, on va démontrer que les vecteurs et sont colinéaires. Les vecteurs , et sont non coplanaires donc il est possible de décomposer les vecteurs et en fonction de ces trois vecteurs. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 5 et donc . Les vecteurs et sont colinéaires et donc les points E, J et C sont alignés. III. Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère . æ xA ö ç ÷ Soit une droite d passant par un point A ç y A ÷ et de vecteur directeur çè z ÷ø A æ xö On a : M ç y ÷ Îd Û Il existe un réel t tel que ç ÷ çè z ÷ø ì x = x A + at ï í y = y A + bt ï z = z + ct A î Remarque : Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d. Démonstration : sont colinéaires M Îd Û et Û Il existe un réel t tel que æ x - xA ö æ aö ç ÷ Û ç y - yA ÷ = t ç b÷ ç ÷ çè c ÷ø çè z - z ÷ø A ì x - x A = at ï Û í y - y A = bt ï z - z = ct A î ì x = x A + at ï Û í y = y A + bt ï z = z + ct A î Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 6 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo L'espace est muni d'un repère . æ2 ö æ1 ö Soit les points A ç 3 ÷ et B ç -3÷ . ç ÷ ç ÷ çè -1÷ø çè 2 ÷ø Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB) avec le plan de repère . - On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) : Un vecteur directeur de (AB) est , soit . ìx = 2 - t ï Une représentation paramétrique de (AB) est : í y = 3 - 6t , t λ . ï z = -1 + 3t î æ xö - Soit M ç y ÷ le point d'intersection de la droite (AB) avec le plan de repère ç ÷ çè z ÷ø Alors z = 0 car M appartient au plan de repère . 1 Donc -1+ 3t = 0 soit t = . 3 ì 1 5 ïx = 2 - = 3 3 ï 1 ï Et donc í y = 3 - 6 ´ = 1 3 ï ïz = 0 ï î æ5 ö Le point M a donc pour coordonnées ç ;1;0÷ . è3 ø Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr .
