0 о est colinéaire à tout vecteur : 0 о = 0u , quel que soit u . AI et DC

0701 ©pa2007
Bases et repères de l’espace
0 Vecteurs colinéaires
Définition
Deux vecteurs u
r
et v
r
sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v
r
= ku
r
ou
u
r
= kv
r
.
Remarque
0
r
est colinéaire à tout vecteur : 0
r
= 0 u
r
, quel que soit u
r
.
Exemples
AI
et DC sont colinéaires :
AI
=
2
1DC .
AB
et GH sont colinéaires :
AB
= −GH .
AB
et
AD
ne sont pas colinéaires.
1 Caractérisation d'une droite
Les théorèmes suivants sont la généralisation dans l'espace de propriétés vraies dans le plan.
Théorème
Soit A un point et u
r
un vecteur non nul.
L'ensemble des points M pour lesquels il existe un réel k tel que
AM
= ku
r
est une droite.
Notation : (A, u
r
) = {M ∈ E / ∃ k ∈ 
AM
= ku
r
}.
Théorème et définition
Pour M
∈
(A, u
r
), le réel k tel que
AM
= ku
r
est unique.
(A, u
r
) est appelé repère de cette droite. u
r
est appelé base ou vecteur directeur de cette droite.
Théorème
(A, u
r
) // (B, v
r
) si et seulement si u
r
et v
r
sont colinéaires.
Théorème
A, B et C sont alignés si et seulement si
AB
et AC sont colinéaires.
Théorème
Lorsque A ≠ B et C ≠ D : (AB) // (CD) si et seulement si
AB
et CD sont colinéaires.
2 Caractérisation d'un plan
Théorème
Soit A un point et u
r
et v
r
deux vecteurs non colinéaires.
L'ensemble des points M pour lesquels il existe deux réels α et β tels que
AM
= α u
r
+ β v
r
est
un plan.
Notation : (A, u
r
, v
r
) = {M ∈ E / ∃ ( α , β ) ∈ 2
AM
= α u
r
+ β v
r
}.
Théorème et définition
Pour M
∈
(A,u
r
,v
r
), les réels α et β tels que
AM
= α u
r
+ β v
r
sont uniques.
(A, u
r
, v
r
) est appelé repère de ce plan. ( u
r
, v
r
) est appelée base de ce plan.

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3 Plans et droites parallèles
Définition [combinaison linéaire de vecteurs]
Soit 1 u, 2 u, …, n u n vecteurs de l'espace.
1
α , 2 α , …, n α étant des réels, tout vecteur de la forme u
r
= 1 α
1
u + 2 α
2
u + … + n α
n
u
s'appelle une combinaison linéaire de 1 u, 2 u, …, n u. Les réels 1 α , 2 α , …, n α s'appellent
les coefficients de cette combinaison linéaire.
Définition [vecteurs coplanaires]
Soit u
r
, v
r
et w
r
trois vecteurs.
u
r
, v
r
et w
r
sont coplanaires si et seulement si l'un des trois est combinaison linéaire des deux
autres.
Exemples
AI
,
BF
et CH sont coplanaires : CH =
BF
− 2
AI
.
AB
,
AD
et
AE
ne sont pas coplanaires.
Remarques
1) Si l'un des trois vecteurs est nul, ils sont coplanaires : 0
r
= 0 v
r
+ 0 w
r
.
2) Si par exemple u
r
et v
r
sont colinéaires, alors quel que soit w
r
, u
r
, v
r
et w
r
sont coplanaires
car si u
r
= kv
r
, alors u
r
= kv
r
+ 0 w
r
.
3) Si deux des trois vecteurs ne sont pas colinéaires, et si u
r
= α v
r
+ β w
r
, alors il est possible
d'exprimer l'un des trois en fonction des deux autres. Par exemple, v
r
= −
α
1u
r
−
α
β
w
r
.
Théorème [lien entre points coplanaires et vecteurs coplanaires]
Soit A, B, C et D quatre points de l'espace.
A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si
AB
, AC et
AD
sont coplanaires.
Théorème [parallélisme de droites et de plans]
La droite (A, u
r
) et le plan (B, v
r
, w
r
) sont parallèles si et seulement si u
r
, v
r
et w
r
sont
coplanaires.
Conséquence
(AB) // (CDE) si et seulement si
AB
, CD et CE sont coplanaires.

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4 Repère de l’espace
Théorème [décomposition d'un vecteur de l'espace]
Soit un point A, et u
r
, v
r
et w
r
trois vecteurs non coplanaires.
Alors pour tout point M de l'espace, il existe un et un seul triplet de réels α , β et γ tels que
AM
= α u
r
+ β v
r
+ γ w
r
.
Définitions [repère, base de l'espace]
Soit un point A, et u
r
, v
r
et w
r
trois vecteurs non coplanaires.
(u
r
, v
r
, w
r
) s'appelle une base de l'espace.
(A, u
r
, v
r
, w
r
) s'appelle un repère de l'espace.
Les réels α , β et γ tels que
AM
= α u
r
+ β v
r
+ γ w
r
s'appellent les coordonnées de M ou de
AM
dans le repère (A, u
r
, v
r
, w
r
).
Notations : M( α , β , γ ) ou
AM
( α , β , γ ).
α s'appelle l'abscisse de M ou de
AM
dans le repère (A, u
r
, v
r
, w
r
).
β s'appelle l'ordonnée de M ou de
AM
dans le repère (A, u
r
, v
r
, w
r
).
γ s'appelle la cote de M ou de
AM
dans le repère (A, u
r
, v
r
, w
r
).
Théorème
Soit A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) dans un repère (O, i
r
, j
r
, k
r
).
Alors
AB
(xB − xA,yB − yA, zB − zA).
Et le milieu I de [AB] a pour coordonnées I(
2
BA xx
+
,
2
BA yy +,
2
BA zz +).
Théorème
Soit u
r
(x, y, z) et v
r
(x', y', z'), et k ∈ .
Alors u
r
+ v
r
(x + x', y + y', z + z') et ku
r
(kx, ky, kz).