repérage dans le plan

2ndeISI Géométrie chapitre 3 2009-2010
REPÉRAGE DANS LE PLAN
Table des matières
I Repère 1
II Calculs dans un repère du plan 2
II.1 Coordonnées ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 coordonnées vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
⋆⋆⋆⋆⋆⋆
I Repère
Définition 1
Un triangle OIJ rectangle isocèle en Oforme un repère orthonormal du plan (O;I;J)dans lequel :
➤Oest appelé origine du repère,
➤la droite (OI)est appelée axe des abscisses,
➤la droite (OJ)appelée axe des ordonnée.
Théorème 1
On munit le plan d’un repère (O;I;J). Chaque point Mdu plan est repéré par un couple de nombres
M(x;y) ou encore Mx
yappelé coordonnées du point. xest l’abscisse du point et yest l’ordonnée.
Exemple 1
Placer les points de coordonnées suivantes :
A2
3
B3
−1
C−2
−1
D3
0
E−2
3
F0
−1
1 2 3−1−2−3
1
2
3
−1
−2
A
B
C
D
E
F
http://mathematiques.daval.free.fr -1-

2ndeISI Géométrie chapitre 3 2009-2010
II Calculs dans un repère du plan
II.1 Coordonnées ponctuelles
Propriété 1
Dans le repère (O;I;J), on considère les points A(xA;yA), et B(xB;yB).
♦Coordonnées du vecteur −−→ AB :xB−xA
yB−yA,
♦Coordonnées du milieu Id’un segment [AB] : l
xA+xB
2
yA+yB
2
,
♦Distance de AàB:d(A;B) = AB = (xB−xA)2+ (yB−yA)2.
Exemple 2
Dans le repère (O;I;J), on considère les points A−3
−2,B1 −1,C4 4et D0 3.
Montrer de deux façons différentes que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
➔−−→ AB xB−xA
yB−yA=1 + 3 −1 + 2 =4 1
➔−−→ DC xC−xD
yC−yD=4−0 4−3=4 1
➔−−→ AB =−−→ DC,
➔ABCD est donc un parallélogramme.
➔l
xA+xC
2
yA+yC
2
=−3 + 4
2
−2+4
2
=
1
2
1
➔l
xB+xD
2
yB+yD
2
=
1 + 0
2
−1 + 3
2
=
1
2
1
➔[AC]et [BD]ont le même milieu,
➔ABCD est donc un parallélogramme.
Quelle est la nature du triangle ABD ?
➔AB = (xB−xA)2+ (yB−yA)2=√42+ 12=√17,
➔AD = (xD−xA)2+ (yD−yA)2=√32+ 52=√34,
➔DB = (xB−xD)2+ (yB−yD)2= 12+ (−4)2=√17,
➔AB =DB et AD2=AB2+BD2donc :
➔ABD est donc un triangle rectangle isocèle en B
1234−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
I
A
B
C
D
http://mathematiques.daval.free.fr -2-

2ndeISI Géométrie chapitre 3 2009-2010
II.2 coordonnées vectorielles
Théorème 2
Dans le repère (O;I;J), les coordonnées d’un vecteur −→ usont les coordonnées de l’unique point M
tel que −→ u=−−→ OM. On note −→ ux
y.
Remarque 1
Bien souvent, on note (O;−→ ı;−→ ) le repère
(O;I;J).
Un repère peut ne pas être orthonormé,
mais quelconque comme dans l’illustration
ci-contre. 0−→
ı
−→
x
yM
−→
u
Exemple 3
Lire les coordonnées des vecteurs de la figure suivante :
123−1−2−3
1
2
3
−1
−2
−→
u
−→
v
−→
w
−→
u3
2
−→
v−2
3
−→
w2
−1
Propriété 2
Soient −→ ux
y,−→
vx′
y′et kun réel
♦Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égale
−→
u=−→ v⇐⇒ x=x′
y=y′
♦Somme de deux vecteurs :
Le vecteur −→ w=−→ u+−→ va pour coordonnées −→ wx+x′
y+y′
♦Produit d’un vecteur par un réel :
Le vecteur −→ w=k−→ ua pour coordonnées −→ wkx
ky
http://mathematiques.daval.free.fr -3-

2ndeISI Géométrie chapitre 3 2009-2010
Exemple 4
Soient les vecteurs −→ u1
−3,−→
v5
3et −→
w5x
x+yalors :
➔−→ v=−→ w⇐⇒ 5x= 5
x+y= 3
⇐⇒ x= 1
y= 2
➔−→ u+−→ v1 + 5
−3 + 3 =6 0
➔−−→ u−1
3
➔5−→ v5×5
5×3=25 15
➔−−→ u+ 5−→ v−1 + 25
3 + 15 =24 18
II.3 Colinéarité de deux vecteurs
Propriété 3
Les vecteurs non nuls −→ ux
yet −→
vx′
y′sont colinéaires si et seulement si −→
v=k−→ uc’est-à dire
xy′−yx′= 0.
En effet : Ceci se traduit au niveau des coordonnées par x′=kx et y′=ky, autrement dit, les
coordonnées de −→ uet −→ vsont proportionnelles, les produits en croix sont donc égaux : xy′=x′y.
Exemple 5
➔Les vecteurs −→ u2
4et −→
v1
2sont colinéaires car −→
u= 2−→ v.
Exemple 6
On considère les trois vecteurs du plan suivants : −→ u2
−3,−→
v−6
9et −→
w5
−7.
➔Les vecteurs −→ uet −→ vsont colinéaires car 2×9−(−3) ×(−6) = 18 −18 = 0,
➔Les vecteurs −→ uet −→ wne sont pas colinéaires car 2×(−7) −(−3) ×5 = −14 + 15 = 1 6= 0.
Exemple 7
Soient quatre points A1
1,B1 3,C7 4et D5 5du plan.
Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
➔−→ AC 7−1
4−1=6 3,
➔−−→ BD 5−1
5−3=4 2,
➔XY ′−Y X′= 6 ×2−3×4 = 0.
Les vecteurs −→ AC et −−→ BD sont colinéaires,
les droites (AC)et (BD)sont donc parallèles.
➔De plus, −→ AC 6=−−→ BD ;
➔donc : ABDC est un trapèze 01234567
0
1
2
3
4
5
A
B
D
C
http://mathematiques.daval.free.fr -4-