repérage dans le plan
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2nde ISI Géométrie chapitre 3 2009-2010 REPÉRAGE DANS LE PLAN Table des matières I Repère 1 II Calculs dans un repère du plan II.1 Coordonnées ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 coordonnées vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⋆ I ⋆ ⋆ ⋆ 2 2 3 4 ⋆ ⋆ Repère Définition 1 Un triangle OIJ rectangle isocèle en O forme un repère orthonormal du plan (O; I; J) dans lequel : ➤ O est appelé origine du repère, ➤ la droite (OI) est appelée axe des abscisses, ➤ la droite (OJ) appelée axe des ordonnée. Théorème 1 On munit le plan d’un repère (O; I; J). Chaque point M du plan est repéré par un couple de nombres x M (x; y) ou encore M appelé coordonnées du point. x est l’abscisse du point et y est l’ordonnée. y Exemple 1 Placer les points de coordonnées suivantes : A B C 33 F E b −1 −2 D E 2 03 −1 http://mathematiques.daval.free.fr b A 2 −1 3 0 −2 3 1 D b −3 −2 b C −1 −1 1 b F 2 3 b B −2 -1- 2nde ISI II Géométrie chapitre 3 2009-2010 Calculs dans un repère du plan II.1 Coordonnées ponctuelles Propriété 1 Dans le repère (O; I; J), on considère les points A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ). − −→ ♦ Coordonnées du vecteur AB : xB − xA , yB − yA xA + xB Ǒ 2 yA + yB , 2 È 2 ♦ Distance de A à B : d(A; B) = AB = (xB − xA ) + (yB − yA )2 . ♦ Coordonnées du milieu I d’un segment [AB] : l −3 1 4 0 Exemple 2 Dans le repère (O; I; J), on considère les points A ,B ,C et D . −2 −1 4 3 Montrer de deux façons différentes que le quadrilatère ABCD estun parallélogramme xA + xC −3 + 4 ! 2 − − → x − xA = = ➔ l yA + 1+3 4 2 yC −2+4 = = ➔ AB B yB − yA −1 + 2 1 2 2 −−→ x − xD ➔ DC C yC − yD − − → −−→ ➔ AB = DC, 4 − 0 4 = 4−3 = xB + xD 1! 2 1 1+0 1! 2 ➔ l yB + = −12+ 3 = 2 yD 1 2 2 ➔ [AC] et [BD] ont le même milieu, 1 ➔ ABCD est donc un parallélogramme. ➔ ABCD est donc un parallélogramme. È √ √ (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = 42 + 12 = 17, È √ √ AD = (xD − xA )2 + (yD − yA )2 = 32 + 52 = 34, È È2 √ 2 2 2 Quelle est la nature du triangle ABD ? ➔ AB = ➔ ➔ DB = (xB − xD ) + (yB − yD ) = 2 2 1 + (−4) = 17, 2 ➔ AB = DB et AD = AB + BD donc : ➔ ABD est donc un triangle rectangle isocèle en B 4 D 3 b C b 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 b A I b 1 2 3 4 b B −2 −3 http://mathematiques.daval.free.fr -2- 2nde ISI II.2 Géométrie chapitre 3 2009-2010 coordonnées vectorielles Théorème 2 → Dans le repère (O; I; J), les coordonnées d’un vecteur − u sont les coordonnées de l’unique point M − − → x → → tel que − u = OM . On note − u . y Un repère peut ne pas être orthonormé, mais quelconque comme dans l’illustration ci-contre. M y Remarque 1 → → Bien souvent, on note (O; − ı ;− ) le repère (O; I; J). − → u − → 0 − → ı x Exemple 3 Lire les coordonnées des vecteurs de la figure suivante : 3 − → v − → u 2 1 −3 −2 −1 −1 1 2 − → w 3 3 − → u 2−2 − → v 32 − → w −1 −2 2 ′ Propriété x − x − → Soient u ,→ v et k un réel y y′ ♦ Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs¨ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égale x = x′ − → → u =− v ⇐⇒ y = y′ ♦ Somme de deux vecteurs : x + x′ − → − → − → − → Le vecteur w = u + v a pour coordonnées w y + y′ ♦ Produit d’un vecteur par un réel : kx → → → Le vecteur − w = k− u a pour coordonnées − w ky http://mathematiques.daval.free.fr -3- 2nde ISI Géométrie chapitre 3 1 5 5x Exemple 4 → → → Soient les vecteurs − u ,− v et − w alors : −3 3 x+y → → ➔ − v =− w ⇐⇒ § § ⇐⇒ → → ➔ − u +− v II.3 5x x + y x = 1 y = 2 = 5 = 3 1 + 5 6 = −3 + 3 0 → ➔ −− u → ➔ 5− v 2009-2010 −1 3 5 × 5 25 5×3 → → ➔ −− u + 5− v = 15 −1 + 25 24 3 + 15 = 18 Colinéarité de deux vecteurs ′ Propriété 3 x x − → − → → → Les vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si − v = k− u c’est-à dire y y′ xy ′ − yx′ = 0. En effet : Ceci se traduit au niveau des coordonnées par x′ = kx et y ′ = ky, autrement dit, les → → coordonnées de − u et − v sont proportionnelles, les produits en croix sont donc égaux : xy ′ = x′ y. 2 1 Exemple 5 − → − → → → ➔ Les vecteurs u et v sont colinéaires car − u = 2− v. 4 2 2 −6 5 Exemple 6 → → → ,− v et − w . On considère les trois vecteurs du plan suivants : − u −3 9 −7 → → ➔ Les vecteurs − u et − v sont colinéaires car 2 × 9 − (−3) × (−6) = 18 − 18 = 0, → → ➔ Les vecteurs − u et − w ne sont pas colinéaires car 2 × (−7) − (−3) × 5 = −14 + 15 = 1 6= 0. 1 1 7 5 Exemple 7 Soient quatre points A ,B ,C et D du plan. 1 3 4 5 Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? 6 −→ 7 − 1 ➔ AC 4−1 = 3 D 5 , −−→ 5 − 1 4 ➔ BD = , 5−3 2 ➔ XY ′ − Y X ′ = 6 × 2 − 3 × 4 = 0. −→ −−→ Les vecteurs AC et BD sont colinéaires, les droites (AC) et (BD) sont donc parallèles. −→ −−→ ➔ De plus, AC 6= BD ; ➔ donc : ABDC est un trapèze http://mathematiques.daval.free.fr 4 C B 3 2 1 A 0 0 1 2 3 4 5 6 7 -4-
