cours ch 2

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2 / vecteurs dans l’espace
(les exercices d’application seront à traiter avec l’aide du logiciel atelier géométrie 3)
coordonnées dans l’espace
Dans le plan rapporté à un repère
 jiO ,,
on a deux coordonnées : x (abscisse) et y
(ordonnée).
Dans l’espace, le repère devient
 kjiO ,,,
et on a trois coordonnées : x (abscisse), y
(ordonnée) et z (cote). Un repère de l’espace se représente ainsi en perspective cavalière :
Sachant que ABCDEFGH est un cube,
donnez les coordonnées des points dans le
repère imposé :
A
B
C
D
E
F
),,;(  AEABADA
),,;(  AEADABA
),,;(  DHDADCD

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Avec la figure ci-dessous, calculez les coordonnées des points :
A
B
C
D
E
F
G
H
Les coordonnées de deux vecteurs se calculent exactement comme dans le plan :
AB
a pour
coordonnées (xB – xA, yB – yA, zB – zA).
En utilisant la même figure, calculez les coordonnées des vecteurs :
AB
CD
EF
GH
GE
GA
EH
BF
Avec les figures ci-dessus donnez les coordonnées complètes des points :
A
B
C
A
B
C

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Milieu d’un segment
On généralise la formule apprise dans le plan : le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
2
2
2
BA
BA
BA
zz
yy
xx
Vecteurs colinéaires
La colinéarité des vecteurs correspond au parallélisme des droites : ainsi les vecteurs
AB
et
CD
sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Deux vecteurs
u
et
v
sont colinéaires si et seulement si l’un est multiple de l’autre.
En clair, il existe un réel k tel que
 vku
.
Par voie de conséquence, les droites qui les supportent sont parallèles.
Pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires, il suffit de vérifier que leurs coordonnées
sont proportionnelles.
Dans la configuration ci-contre, donnez les
coordonnées du point M (centre de gravité du
triangle EGB). Démontrez que les trois points
D, M et F sont alignés.

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Vecteurs coplanaires
Deux vecteurs sont toujours coplanaires. La condition ne s’étudie donc que pour au moins
trois vecteurs.
On dit que les trois vecteurs
u
,
v
et
w
sont coplanaires, si les quatre points O, A, B et
C définis par
 uOA
,
 vOB
et
 wOC
sont coplanaires.
Comment démontrer que trois vecteurs
u
,
v
et
w
sont coplanaires ?
1) on prouve que les quatre points correspondants O, A, B et C sont coplanaires ;
2) on démontre que l’un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres, par
exemple qu’il existe deux réels et tels que
  vuw
.
3) on montre que le déterminant de leurs coordonnées est nul.
Dans un cube ABCDEFGH, I et J sont les milieux de [AD] et [BC]. Démontrez que les
vecteurs
BF
,
AD
et
AH
sont coplanaires.
Dans un pavé droit ABCDEFGH, I est le milieu de [AF] et J celui de [FG]. Démontrez que les
vecteurs
FJ
,
AD
et
AB
sont coplanaires.

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Distance de deux points
Sans coordonnées on utilise le théorème de Pythagore. C’est le cas notamment lorsque l’on
étudie des configurations à partir d’un cube :
Ci-contre le cube a pour côté 2. Calculez les
distances AG et BI.
Mêmes données ci-contre. Calculez les
longueurs des arêtes de la pyramide, ainsi que
sa hauteur.
Si on dispose de coordonnées dans un repère orthonormé, on applique la formule analytique
de seconde généralisée à trois dimensions :
2222 )()()( ABABAB zzyyxxAB 
En reprenant cette configuration calculez les
distances FD, DM et FM.