Feuille d`activités

Chapitre 7 Trigonométrie
Repérage
Exercice no1
Le cercle ci-contre, de centre
Oet de rayon 1, est appelé
cercle trigonométrique.
1. Donner la longueur de l’arc
⌢
I J. Que vaut la
mesure de d IOJ en degrés ?
2. La mesure d’un angle géométrique d IOM en
radians est égale à la longueur de l’arc
⌢
IM.
Compléter le tableau suivant donnant la cor-
respondance entre la mesure en degré de
l’angle d IOM et la longeur de l’arc
⌢
IM.
mesure en degré 60 90 180
longueur de l’arc 15π
6π
Exercice no2
On considère les nombres suivants :
π
4,−2π 5,3π 4,2π 3,−
π
6,4π 3,3π 2et −
π
2.
1. Ranger ces nombres dans l’ordre croissant.
2. Quels nombres appartiennent à ]−π;π]?
3. Quels nombres appartiennent à [0 ; 2π[?
Exercice no3
1. Quelle est la nature du tri-
angle OAI ?
En déduire cos π
3et sin π 3.
2. Quelle est la nature du tri-
angle OAB ?
En déduire cos π
4et sin π 4.
Exercice no4
Préciser la mesure de l’angle géométrique
correspondant en degré.
x(rad) π
5
π
3
2π
5
4π
5π4π 3
x(degré)
Exercice no5
Donner une mesure en radian des angles
géométriques suivants.
x(degré) 30 45 75 90 135 150
x(rad)
Exercice no6
Compléter le tableau.
xen radian π
3... −
π
4
7π
6...
cos x... −1
2... 0 ... −√2 2
sin x... −√3
2... −1 ... √2 2
Exercice no7
Placer sur le cercle trigonométrique les points-
images des nombres réels suivants :
−
π
3,−
π
2,11π 4,−5π 4et 17π 6.
Exercice no8Angles associés
Placer sur le cercle trigonométrique un angle x
quelconque dans i0; π
2hpuis les angles associés :
−x;x+π;π−x;x+π
2;π 2−x
Exercice no9Intervalles
Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique,
orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspon-
dant aux points-images des nombres réels compris
dans :
1. h−
π
4; 0i3. π 2;5π 4∪7π 4; 2π
2. π
2;3π 44. −2π 3;−
π
6∪h0 ; π 2i
1

Chapitre 7 Trigonométrie
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Exercice no10
Donner les valeurs des cosinus et sinus des angles
associés vus dans l’exercice 8 en fonction de cos x
et sin x.
Exercice no11
Donner les coordonnées des points A,Bet Cpoints-
images des nombres réels π
4,13π 6et −5π 3sur le
cercle trigonométrique.
Exercice no12
Soit xun nombre réel tel que sin x=1
5et
x∈iπ
2;πh. Calculer cos x.
Exercice no13 Calculette
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel xtel que :
1. sin x=−0, 8 et x∈i−
π
2; 0h
2. sin x=1, 2 et x∈i0 ; π
2h
Exercice no14 Calculette
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre
réel xtel que :
1. cos x=2, 1 et x∈i0 ; π
2h
2. cos x=−√3
3et x∈i−π;−
π
2h
Exercice no15
Calculer quel que soit xréel, l’expression :
(cos x+sin x)2+(cos x−sin x)2.
Exercice no16
Déterminer cos et sin de : 3π
4;−
π
6;13π 4;−2π 3.
Exercice no17
1. Calculer π
3−
π
4.
2. En déduire cos π
12 =√6+√2 4.
Exercice no18
On sait que cos π
12 =√6+√2 4.
En déduire :
1. cos 11π
12
2. sin 5π
12
3. cos −
π
12 
4. cos 13π
12
Exercice no19
Exprimer en fonction de cos (x)et sin (x).
1. cos x+π
4+sin x+π 4
2. sin π
3+x−sin π 3−x
Mesures d’un angle orienté
Exercice no20
On considère les points A,B,C,Det E, respective-
ment point-images des nombres suivants :
π
4,2π 3,5π 6,−3π 4et −
π
4.
Donner une mesure des angles orientés :
1. −→
OI,−→ OA
2. −→
OA,−→ OB
3. −→
OC,−→ OA
4. −→
OD,−→ OB
5. −→
OC,−→ OE
6. −→
OE,−→ OD
Exercice no21
ABCD (en tournant dans le sens direct) est un carré
de centre O.
Donner une mesure des angles orientés :
1. −→
OA,−→ OB
2. −→
OA,−→ OC
3. −→
OB,−→ OA
4. −→
AO,−→ AD
5. −→
CB,−→ CD
6. −→
CA,−→ CB
Exercice no22
Déterminer la mesure principale des angles orien-
tés suivants :
−21π
4;37π 7;−2π 3;23π 10
Exercice no23
Soit ~uet ~vdeux vecteurs tels que : (~u,~v)=π
6.
Donner la mesure principale des angles orientés :
1. (−~u,−~v)
2. (~v,~u)
3. (−~v,−~v)
4. (−~v,~u)
2

Chapitre 7 Trigonométrie
Exercice no24
Soit A,Bet Ctrois points tels que :
−→
AB,−→ AC=−
π
5.
Donner la mesure principale des angles orientés :
−→
BA,−→ AC;−→
AC,−→ BA;−→
AC,−→ AB;−→
AB,−→ CA
Exercice no25
ABCDE est la ligne brisée ci-dessous.
A B
C
D E
− π
2
π
4
− 3π
4
Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
Exercice no26
Soit A,B,Cet Ddes points du plan tels que
−→
AB,−→ AC=π
6et −→
AC,−→ AD=π
3.
Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A.
Exercice no27
Donnez les mesures principales des angles orientés
ci-dessous sachant que ABCDEF est un hexagone
régulier de centre O.
−→
OA,−→ OF=
−→
DE,−→ OB=
−→
AF,−→ DC=
−→
DC,−→ EF=
−→
EC,−→ FD=
−→
EA,−→ CA=
−→
CE,−→ EF=
×A
×
D
×
B
×F
×
C
×E
O
Équations trigonométriques
Exercice no28
On considère l’équation : cos x=−√2
2(E).
1. Résoudre cette équation dans ]−π;π]et pla-
cer sur le cercle trigonométrique les points
correspondants.
2. En déduire l’ensemble des solutions dans R.
Exercice no29
On considère l’équation : sin x=sin −
π
8(E′).
1. Résoudre l’équation (E′)dans R.
2. Résoudre l’équation (E′)dans ]0 ; 4π]
Exercice no30
Montrer que l’équation cos 2x=1
2a quatre solu-
tions dans ]−π;π]puis placer sur le cercle trigo-
nométrique les quatre points correspondants.
Exercice no31
On considère l’inéquation sin x<−√3
2.
1. Représenter sur le cercle trigonométrique les
solutions de cette inéquation dans ]−π;π].
2. Résoudre cette inéquation dans ]−π;π].
Exercice no32
On souhaite résoudre l’équation suivante dans R:
4 cos2x−2(1+√3)cos x+√3=0 (1)
1. On effectue un changement de variable.
On pose X=cos xavec x∈[−1 ; 1].
a. Quelle équation du second degré est équi-
valente à (1) ?
b. Montrer que son discriminant peut
s’écrire : 4(1−√3)2.
c. Déterminer les solutions de cette équation
du second degré.
2. En déduire les solutions de l’équation (1)
dans ]−π;π]puis dans R.
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