1 définitions de la dérivabilité 2 calculs de dérivées successives

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI DÉRIVABILITÉ
1 DÉFINITIONS DE LA DÉRIVABILITÉ
1Étudier la dérivabilité sur Rde :
1) x7−→ (x−1)2si x¶1
(x−1)3si x>1.
2) x7−→ x2+x+1 si x¾1
ax3+bx +2 si x<1(a,b∈R).
3) x7−→ ch pxsi x¾0
cos p−xsi x<0.
4) x7−→ |x|
1+x2−1.
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2Montrer que la dérivée d’une fonction dérivable
paire (resp. impaire, resp. périodique) est impaire (resp.
paire, resp. périodique).
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3Soient a∈Ret f:R−→ Rdérivable en a. Que
vaut : lim
h→0
f(a+h)−fa+h2
h?
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4Soient Iun intervalle, f:I−→ R,m:I−→ Ret
M:I−→ Rtrois fonctions et a∈I. On suppose que :
—m(x)¶f(x)¶M(x)au voisinage de a,
—m(a) = f(a) = M(a),
—met Msont dérivables en aet : m′(a) = M′(a).
Montrer que fest dérivable en aet interpréter graphi-
quement.
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5Soit f∈ D[a,b],Rtelle que : f(a) = f(b)
et f′(a)>0. Montrer qu’alors f′prend au moins
une valeur strictement négative sur [a,b].
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6Soient Iun intervalle, f∈ D(I,R)et a∈I. On
suppose que : f′(a)6=0 et que f′est continue en
a. Montrer que fest injective au voisinage de a.
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71) Soit f∈ C1(R,R). On suppose que pour tout
x∈R:f◦f(x) = x
4+1.
a) Montrer que pour tout x∈R:
f′(x) = f′x
4+1.
b) En déduire que pour tous x∈Ret n∈N∗:
f′(x) = f′x
4n+
n−1
X
k=0
1
4k.
c) En déduire que f′est constante sur R.
2) Déterminer toutes les fonctions f∈ C1(R,R)
telles que pour tout x∈R:f◦f(x) = x
4+1.
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2 CALCULS DE DÉRIVÉES SUCCESSIVES
8Calculer les dérivées successives de :
1) x7−→ xα(α∈R). 2) x7−→ ax(a>0).
3) sin et cos. 4) x7−→ 1
x+a(a∈R).
5) x7−→ 1+x
1−x.6) x7−→ ln(3−2x).
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9Calculer les dérivées successives de :
1) x7−→ xex.2) x7−→ e2xsin x.
3) x7−→ x2sin x.4) x7−→ 1
x2−1.
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10 On note fla fonction x7−→ exp3sin xsur R.
1) Montrer que pour tous n∈Net x∈R:
f(n)(x) = 2nexp3sinx+nπ
6.
2) Retrouver 1) grâce à l’exponentielle complexe.
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11 1) On note fla fonction x7−→ 1
1+x2définie sur R.
Montrer qu’il existe, pour tout n∈N, une fonc-
tion polynomiale Pntelle que pour tout x∈R:
f(n)(x) = Pn(x)
1+x2n+1. Degré de Pn?
2) On note fla fonction x7−→ ex2définie sur R.
Montrer qu’il existe, pour tout n∈N, une fonc-
tion polynomiale Pntelle que pour tout x∈R:
f(n)(x) = Pn(x)ex2. Degré de Pn?
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12 On note fla fonction x7−→ px2+1.
1) Simplifier : x2+1f′′(x)+x f ′(x)−f(x)pour
tout x∈R.
2) Montrer que pour tous n∈Net x∈R:
x2+1f(n+2)(x)+(2n+1)x f (n+1)(x)+n2−1f(n)(x) = 0.
3) En déduire une expression explicite de f(n)(0)
en fonction de npour tout n∈N.
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13 Pour tout n∈N∗, calculer la dérivée nème de
x7−→ xn−1ln(1+x)sur ]−1,+∞[.
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14 Soit n∈N. On note fnla fonction x7−→ xne1
x
sur R∗
+. Montrer que pour tout x∈R∗ +:
f(n+1)
n(x) = (−1)n+1
xn+2e1
x.
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15 Montrer que pour tous n∈N∗et x∈R:
Arctan(n)(x) = (n−1)!
1+x2n
2
sinnArctan x+nπ
2.
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1

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3 ROLLE ET ACCROISSEMENTS FINIS
16 Montrer que :
1) pour tout x¾0 : x¶ex−1¶xex.
2) pour tout x∈R: 0 ¶ch x−1¶xsh x.
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17 Montrer que pour tous x,y∈R:
Arctan x−Arctan y¶|x−y|.
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18 1) Soit f∈ C1[a,b],R. Montrer que fest lip-
schitzienne sur [a,b].
2) Soit f∈ C1(R,R)périodique. Montrer que fest
lipschitzienne sur R.
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19 Soit f∈ C2[a,b],R. On fait l’hypothèse que :
f(a) = f′(a)et f(b) = f′(b). Montrer, en étu-
diant la fonction x7−→ exf′(x)−f(x), que pour un
certain c∈]a,b[:f′′(c) = f(c).
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20 Soit f∈ D[0,1],R. On suppose que :
f(0) = f(1) = f′(0) = 0.
Montrer que la tangente de fen un certain point de
]0,1[passe par l’origine. On pourra étudier la fonction
x7−→ f(x)
x.
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21 Soient n¾2 entier et p,q∈R.
1) Montrer que le polynôme Xn+pX +qpossède
au plus trois racines réelles.
2) Montrer que si nest pair, Xn+pX +qpossède
même au plus deux racines réelles.
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22 Soit n∈N∗. On note Ple polynôme X2−1n.
1) Montrer que pour tout k∈¹0, n−1º:
P(k)(−1) = P(k)(1) = 0.
2) En déduire que P(n)est scindé sur R.
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23 1) a) Soit P∈R[X]. On suppose : ∂◦P¾2
et Pscindé sur Rà racines simples. Mon-
trer que P′est aussi scindé sur Rà racines
simples.
b) Même question, mais sans la préci-
sion « à racines simples ».
2)
a) Soit P∈R[X]scindé sur Rà racines simples.
Montrer que Pne peut posséder deux coeffi-
cients consécutifs nuls.
b) Soit P∈R[X]scindé sur R. Montrer que
pour tout λ > 0, P2+λest à racines simples.
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24 Soit f∈ C(R+,R)dérivable sur R∗
+, nulle en 0
et de dérivée croissante sur R∗
+. Montrer que la fonction
x7−→ f(x)
xest croissante sur R∗
+.
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25 Soit f:R+−→ Rune fonction continue sur
R+et dérivable sur R∗
+pour laquelle : lim
+∞f=f(0).
Montrer que f′s’annule sur R∗
+. Ce résultat est bien sûr
une extension du théorème de Rolle.
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26 Soit P∈R[X]. On suppose que : P(x)¾0
pour tout x∈R. On pose : Q=
+∞
X
k=0
P(k)— somme
finie.
1) Montrer que Qpossède un minimum sur R.
2) Que vaut Q−Q′? En déduire que : Q(x)¾0
pour tout x∈R.
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27 1) Soient f:[0, a]−→ Ret g:[0, a]−→ Rdeux
fonctions continues sur [0, a], dérivables sur ]0, a]
et telles que : f(0) = g(0) = 0. On suppose
en outre que get g′ne s’annulent pas sur ]0, a].
a) Pour tout x∈]0, a], appliquer le théorème
de Rolle à la fonction t7−→ f(x)g(t)−f(t)g(x).
b) En déduire que si : lim
x→0
f′(x)
g′(x)existe, alors :
lim
x→0
f(x)
g(x)existe aussi et ces deux limites
sont égales (règle de L’Hôpital).
2) Calculer : lim
x→0
ex−1−x−x2
2
sin x−x.
————————————–
28 Soient Iun intervalle et f∈ D(I,R). On sou-
haite montrer qu’alors f′(I)est un intervalle (théorème
de Darboux).
Soient a,b∈Iavec : a¶bet y∈Rcompris stric-
tement entre f′(a)et f′(b).
1) Montrer que la fonction x7−→ f(x)−x y n’est
pas monotone sur [a,b].
2) Montrer que la fonction x7−→ f(x)−x y n’est
pas injective sur [a,b].
3) Conclure.
————————————–
29 Soit f∈ D[0,1],R. On fait l’hypothèse
que : f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer que pour
tout n∈N∗, il existe des réels x1,...,xn∈]0,1[dis-
tincts pour lesquels :
n
X
k=1
f′(xk) = n. On pourra
s’intéresser aux réels k
n,kdécrivant ¹0, nº.
2

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————————————–
30 Soit P∈R[X]non constant. On suppose
l’ensemble : X=x∈R/P(x) = sin xinfini.
1) Montrer que Xest borné.
2) Montrer que les dérivées successives de P−sin
s’annulent chacune une infinité de fois.
3) Quelle contradiction ?
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31 1) Soient Iun intervalle, f∈ C n+1(I,R)
et a∈I. Soit en outre x∈Ifixé distinct de a.
a) Déterminer un réel Apour lequel la fonction :
tϕ 7−→ f(x)−
n
X
k=0
f(k)(t)
k!(x−t)k−A (n+1)!(x−t)n+1
s’annule en a.
b) Simplifier ϕ′.
c) En déduire que pour un certain c∈I:
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+f(n+1)(c) (n+1)!(x−a)n+1.
Ce résultat est bien sûr encore vrai si x=a.
d) On suppose f(n+1)bornée sur Iet on pose :
M=sup
If(n+1). Montrer que pour tout x∈I:
f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k¶|x−a|n+1 (n+1)!M.
Ce résultat s’appelle l’inégalité de Taylor-Lagrange.
2) Montrer que pour tout x∈R:
ex=lim
n→+∞
n
X
k=0
xk
k!et cos x=lim
n→+∞
n
X
k=0
(−1)kx2k
(2k)!.
————————————–
32 Soit f∈ Cn[a,b],R. On suppose que f
s’annule en au moins npoints distincts a1,...anavec :
a1<...<an.
1) Soit x∈[a,b]fixé, distinct de a1,...,an.
a) Déterminer un réel Apour lequel la fonction
tϕ 7−→ f(t)−A(t−a1)...(t−an)s’annule en x.
b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕet de ses
dérivées, que pour un certain c∈]a,b[:
f(x) = (x−a1)...(x−an)f(n)(c)
n!.
Ce résultat est bien sûr encore vrai si xest l’un
des réels a1,...,an.
2) Pourquoi f(n)est-elle majorée sur [a,b]? Mon-
trer que si on pose : M=sup
[a,b]f(n), alors
pour tout x∈[a,b]:f(x)¶M
n!
n
Y
k=1|x−ak|.
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33
1) Soit f∈ C3[a,b],Ravec : a<b.
a) Déterminer un réel Apour lequel la fonction :
xϕ 7−→ f(x)−f(a) + x−a
2f′(a) + f′(x)−(x−a)3 12 A
s’annule en b.
b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕet de ses
dérivées, que pour un certain c∈]a,b[:
f(b) = f(a)+ b−a
2f′(a)+ f′(b)−(b−a)3 12 f(3)(c).
2) Soient f∈ C2[a,b],Ret n∈N∗. Pour tout
k∈¹0, nº, on pose : xk=a+kb−a
n.
a) Montrer que pour tout k∈¹0, n−1º, pour
un certain ck∈]xk,xk+1[:
Zxk+1
xk
f(t)dt=b−a
2nf(xk)+ f(xk+1)−(b−a)3 12n3f′′(ck)
et interpréter géométriquement.
b) Pourquoi |f′′|est-elle majorée sur [a,b]? Mon-
trer que si on pose : M=sup
[a,b]|f′′|:
Zb
a
f(x)dx−b−a
nf(a) + f(b) 2−b−a n
n−1
X
k=1
f(xk)
¶(b−a)3
12n2M.
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34 Soit f∈ C2(R∗
+,R). On suppose que la fonc-
tion x7−→ x2f′′(x)est bornée et que : lim
x→0f(x) = 0.
1) Montrer que pour tous x∈R∗
+et a∈]0,1[, il
existe un réel ξ∈]a x,x[pour lequel :
f(ax) = f(x)−(1−a)x f ′(x)+ (1−a)2
2x2f′′(ξ).
2) En déduire que : lim
x→0x f ′(x) = 0.
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4 SUITES RÉCURRENTES
ET ACCROISSEMENTS FINIS
35 1) On note fla fonction x7−→ ex
x+2sur R+.
a) Montrer que ]0,1[est stable par f.
b) Montrer qu’il existe un et un seul α∈]0, 1[
pour lequel : eα
α+2=α.
2) Soit u0∈]0,1[. On note (un)n∈Nla suite
définie pour tout n∈Npar : un+1=eun
un+2.
a) Montrer que pour tout n∈N:
|un−α|¶2e
9n
,
puis que la suite (un)n∈Nconverge vers α.
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b) Déterminer un rang npour lequel unest une
approximation de αà 10−5près.
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36 Soit u0∈[0,1]. On note (un)n∈Nla suite telle
que pour tout n∈N:un+1=eun
eun+1.
1) Montrer que (un)n∈Nest à valeurs dans [0,1].
2) Montrer qu’il existe un et un seul α∈Rpour
lequel : eα
eα+1=α, et que α∈[0,1].
3) a) Montrer que pour tout n∈N:
|un−α|¶1
4n
,
puis que la suite (un)n∈Nconverge vers α.
b) Déterminer un rang npour lequel unest une
approximation de αà 10−5près.
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5 LIMITE DE LA DÉRIVÉE
ET PROLONGEMENT DE CLASSE Ck
37 Montrer que la fonction x7−→ x2ln x, définie sur
R∗
+, est prolongeable en une fonction de classe C1sur
R+tout entier.
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38 Pour quelle valeur maximale de kla fonction
x7−→ x3ln|x|si x6=0
0 si x=0est-elle de classe Cksur
Rtout entier ?
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39 Soit f∈ C2(R+,R). On fait l’hypothèse que :
f′(0) = 0. Montrer qu’il existe une fonction g∈ C1(R+,R)
pour laquelle pour tout x∈R+:f(x) = gx2.
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4