Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI DÉRIVABILITÉ
3 ROLLE ET ACCROISSEMENTS FINIS
16 Montrer que :
1) pour tout x¾0 : x¶ex−1¶xex.
2) pour tout x∈R: 0 ¶ch x−1¶xsh x.
————————————–
17 Montrer que pour tous x,y∈R:
Arctan x−Arctan y¶|x−y|.
————————————–
18 1) Soit f∈ C1[a,b],R. Montrer que fest lip-
schitzienne sur [a,b].
2) Soit f∈ C1(R,R)périodique. Montrer que fest
lipschitzienne sur R.
————————————–
19 Soit f∈ C2[a,b],R. On fait l’hypothèse que :
f(a) = f′(a)et f(b) = f′(b). Montrer, en étu-
diant la fonction x7−→ exf′(x)−f(x), que pour un
certain c∈]a,b[:f′′(c) = f(c).
————————————–
20 Soit f∈ D[0,1],R. On suppose que :
f(0) = f(1) = f′(0) = 0.
Montrer que la tangente de fen un certain point de
]0,1[passe par l’origine. On pourra étudier la fonction
x7−→ f(x)
x.
————————————–
21 Soient n¾2 entier et p,q∈R.
1) Montrer que le polynôme Xn+pX +qpossède
au plus trois racines réelles.
2) Montrer que si nest pair, Xn+pX +qpossède
même au plus deux racines réelles.
————————————–
22 Soit n∈N∗. On note Ple polynôme X2−1n.
1) Montrer que pour tout k∈¹0, n−1º:
P(k)(−1) = P(k)(1) = 0.
2) En déduire que P(n)est scindé sur R.
————————————–
23 1) a) Soit P∈R[X]. On suppose : ∂◦P¾2
et Pscindé sur Rà racines simples. Mon-
trer que P′est aussi scindé sur Rà racines
simples.
b) Même question, mais sans la préci-
sion « à racines simples ».
2)
a) Soit P∈R[X]scindé sur Rà racines simples.
Montrer que Pne peut posséder deux coeffi-
cients consécutifs nuls.
b) Soit P∈R[X]scindé sur R. Montrer que
pour tout λ > 0, P2+λest à racines simples.
————————————–
24 Soit f∈ C(R+,R)dérivable sur R∗
+, nulle en 0
et de dérivée croissante sur R∗
+. Montrer que la fonction
x7−→ f(x)
xest croissante sur R∗
+.
————————————–
25 Soit f:R+−→ Rune fonction continue sur
R+et dérivable sur R∗
+pour laquelle : lim
+∞f=f(0).
Montrer que f′s’annule sur R∗
+. Ce résultat est bien sûr
une extension du théorème de Rolle.
————————————–
26 Soit P∈R[X]. On suppose que : P(x)¾0
pour tout x∈R. On pose : Q=
+∞
X
k=0
P(k)— somme
finie.
1) Montrer que Qpossède un minimum sur R.
2) Que vaut Q−Q′? En déduire que : Q(x)¾0
pour tout x∈R.
————————————–
27 1) Soient f:[0, a]−→ Ret g:[0, a]−→ Rdeux
fonctions continues sur [0, a], dérivables sur ]0, a]
et telles que : f(0) = g(0) = 0. On suppose
en outre que get g′ne s’annulent pas sur ]0, a].
a) Pour tout x∈]0, a], appliquer le théorème
de Rolle à la fonction t7−→ f(x)g(t)−f(t)g(x).
b) En déduire que si : lim
x→0
f′(x)
g′(x)existe, alors :
lim
x→0
f(x)
g(x)existe aussi et ces deux limites
sont égales (règle de L’Hôpital).
2) Calculer : lim
x→0
ex−1−x−x2
2
sin x−x.
————————————–
28 Soient Iun intervalle et f∈ D(I,R). On sou-
haite montrer qu’alors f′(I)est un intervalle (théorème
de Darboux).
Soient a,b∈Iavec : a¶bet y∈Rcompris stric-
tement entre f′(a)et f′(b).
1) Montrer que la fonction x7−→ f(x)−x y n’est
pas monotone sur [a,b].
2) Montrer que la fonction x7−→ f(x)−x y n’est
pas injective sur [a,b].
3) Conclure.
————————————–
29 Soit f∈ D[0,1],R. On fait l’hypothèse
que : f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer que pour
tout n∈N∗, il existe des réels x1,...,xn∈]0,1[dis-
tincts pour lesquels :
n
X
k=1
f′(xk) = n. On pourra
s’intéresser aux réels k
n,kdécrivant ¹0, nº.
2