1 définitions de la dérivabilité 2 calculs de dérivées successives

DÉRIVABILITÉ
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
1
DÉFINITIONS
2
DE LA DÉRIVABILITÉ
Étudier la dérivabilité sur R de :
(x − 1)2 si x ¶ 1
1)
x 7−→
(x − 1)3 si x > 1.
x2 + x + 1
si x ¾ 1
2)
x 7−→
3
a x + bx + 2 si x < 1
p
si x ¾ 0
ch x
p
3)
x 7−→
cos −x si x < 0.
|x|
.
4)
x 7−→
1 + x 2 − 1
8
(a, b ∈ R).
9
CALCULS DE DÉRIVÉES SUCCESSIVES
Calculer les dérivées successives de :
1)
x 7−→ x α (α ∈ R).
2) x 7−→ a x (a > 0).
1
(a ∈ R).
3)
sin et cos.
4) x 7−→
x+a
1+ x
5)
x 7−→
.
6) x 7−→ ln(3 − 2x).
1− x
————————————–
1)
3)
————————————–
2
Montrer que la dérivée d’une fonction dérivable
paire (resp. impaire, resp. périodique) est impaire (resp.
paire, resp. périodique).
p
10
————————————–
3
Soient a ∈ R et f : R −→ R dérivable en a. Que
f (a + h) − f a + h2
vaut : lim
?
h→0
h
————————————–
————————————–
11
————————————–
Soit f ∈ D [a, b], R telle que :
f (a) = f (b)
5
et f ′ (a) > 0. Montrer qu’alors f ′ prend au moins
une valeur strictement négative sur [a, b].
12
————————————–
Soient I un intervalle, f ∈ D(I , R) et a ∈ I . On
suppose que : f ′ (a) 6= 0 et que f ′ est continue en
a. Montrer que f est injective au voisinage de a.
1
définie sur R.
1 + x2
Montrer qu’il existe, pour tout n ∈ N, une fonction polynomiale Pn telle que pour tout x ∈ R :
Pn (x)
f (n) (x) =
n+1 . Degré de Pn ?
1 + x2
2
2) On note f la fonction x 7−→ e x définie sur R.
Montrer qu’il existe, pour tout n ∈ N, une fonction polynomiale Pn telle que pour tout x ∈ R :
2
f (n) (x) = Pn (x)e x . Degré de Pn ?
1) On note f la fonction x 7−→
————————————–
p
2
On note f la fonction
x 7−→ x + 1.
1) Simplifier :
x 2 +1 f ′′ (x)+x f ′ (x)− f (x) pour
tout x ∈ R.
2) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R :
x 2 +1 f (n+2) (x)+(2n+1)x f (n+1) (x)+ n2 −1 f (n) (x) = 0.
3) En déduire une expression explicite de f (n) (0)
en fonction de n pour tout n ∈ N.
————————————–
7
On note f la fonction x 7−→ e x 3 sin x sur R.
1) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R :
p
nπ
.
f (n) (x) = 2n e x 3 sin x +
6
2) Retrouver 1) grâce à l’exponentielle complexe.
Soient I un intervalle, f : I −→ R, m : I −→ R et
4
M : I −→ R trois fonctions et a ∈ I . On suppose que :
— m(x) ¶ f (x) ¶ M (x) au voisinage de a,
— m(a) = f (a) = M (a),
— m et M sont dérivables en a et : m′ (a) = M ′ (a).
Montrer que f est dérivable en a et interpréter graphiquement.
6
Calculer les dérivées successives de :
x 7−→ xe x .
2) x 7−→ e2x sin x.
1
x 7−→ x 2 sin x.
4) x 7−→ 2
.
x −1
————————————–
————————————–
1) Soit f ∈ C 1 (R, R). On suppose que pour tout
x
x ∈ R : f ◦ f (x) = + 1.
4
a) Montrer que pour tout x ∈ R :
x
f ′ (x) = f ′
+1 .
4
13
x 7−→ x
n−1
Pour tout n ∈ N∗ , calculer la dérivée nème de
ln(1 + x) sur ] − 1, +∞[.
————————————–
1
Soit n ∈ N. On note f n la fonction x 7−→ x n e x
14
∗
sur R+ . Montrer que pour tout x ∈ R∗+ :
b) En déduire que pour tous x ∈ R et n ∈ N∗ :
Œ
‚
n−1
X
1
x
′
′
+
.
f (x) = f
4n k=0 4k
(−1)n+1 1
ex .
x n+2
————————————–
f n(n+1) (x) =
c) En déduire que f ′ est constante sur R.
2) Déterminer toutes les fonctions f ∈ C 1 (R, R)
x
telles que pour tout x ∈ R : f ◦ f (x) = + 1.
4
15
————————————–
Montrer que pour tous n ∈ N∗ et x ∈ R :
(n − 1)!
nπ
Arctan(n) (x) =
n sin n Arctan x + 2 .
1 + x2 2
————————————–
1
DÉRIVABILITÉ
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
3
16
ROLLE
ET ACCROISSEMENTS FINIS
Montrer que :
1) pour tout x ¾ 0 :
2) pour tout x ∈ R :
b) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R. Montrer que
pour tout λ > 0, P 2 + λ est à racines simples.
————————————–
x ¶ e x − 1 ¶ xe x .
0 ¶ ch x − 1 ¶ xsh x.
24
————————————–
17
Montrer que pour tous x, y ∈ R :
Arctan x − Arctan y ¶ |x − y|.
25
————————————–
18
+∞
————————————–
26
————————————–
Soit f ∈ C 2 [a, b], R . On fait l’hypothèse que :
19
f (a) = f ′ (a) et f (b) = f ′ (b). Montrer,
en étu
diant la fonction x 7−→ e x f ′ (x) − f (x) , que pour un
certain c ∈ ]a, b[ : f ′′ (c) = f (c).
— somme
————————————–
————————————–
Soit f ∈ D [0, 1], R . On suppose que :
27
Montrer que la tangente de f en un certain point de
]0, 1[ passe par l’origine. On pourra étudier la fonction
f (x)
x 7−→
.
x
————————————–
Soient n ¾ 2 entier et p, q ∈ R.
1) Montrer que le polynôme X n + pX + q possède
au plus trois racines réelles.
2) Montrer que si n est pair, X n + pX + q possède
même au plus deux racines réelles.
————————————–
n
Soit n ∈ N∗ . On note P le polynôme X 2 − 1 .
1) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1º :
28
P (k) (−1) = P (k) (1) = 0.
2) En déduire que P (n) est scindé sur R.
————————————–
23
P(x) ¾ 0
finie.
1) Montrer que Q possède un minimum sur R.
2) Que vaut Q − Q′ ? En déduire que : Q(x) ¾ 0
pour tout x ∈ R.
f (0) = f (1) = f (0) = 0.
22
Soit P ∈ R[X ]. On suppose que :
+∞
X
pour tout x ∈ R. On pose : Q =
P (k)
k=0
′
21
Soit f : R+ −→ R une fonction continue sur
R+ et dérivable sur R∗+ pour laquelle : lim f = f (0).
Montrer que f ′ s’annule sur R∗+ . Ce résultat est bien sûr
une extension du théorème de Rolle.
1) Soit f ∈ C 1 [a, b], R . Montrer que f est lipschitzienne sur [a, b].
2) Soit f ∈ C 1 (R, R) périodique. Montrer que f est
lipschitzienne sur R.
20
Soit f ∈ C (R+ , R) dérivable sur R∗+ , nulle en 0
et de dérivée croissante sur R∗+ . Montrer que la fonction
f (x)
est croissante sur R∗+ .
x 7−→
x
————————————–
Soit P ∈ R[X ]. On suppose : ∂ ◦ P ¾ 2
et P scindé sur R à racines simples. Montrer que P ′ est aussi scindé sur R à racines
simples.
Même question, mais sans la précib)
sion « à racines simples ».
1) a)
1) Soient f : [0, a] −→ R et g : [0, a] −→ R deux
fonctions continues sur [0, a], dérivables sur ]0, a]
et telles que : f (0) = g(0) = 0. On suppose
en outre que g et g ′ ne s’annulent pas sur ]0, a].
a) Pour tout x ∈ ]0, a], appliquer le théorème
de Rolle à la fonction t 7−→ f (x)g(t)− f (t)g(x).
f ′ (x)
existe, alors :
b) En déduire que si : lim ′
x→0 g (x)
f (x)
existe aussi et ces deux limites
lim
x→0 g(x)
sont égales (règle de L’Hôpital).
x2
ex − 1 − x −
2
2) Calculer : lim
.
x→0
sin x − x
————————————–
Soient I un intervalle et f ∈ D(I , R). On souhaite montrer qu’alors f ′ (I ) est un intervalle (théorème
de Darboux).
Soient a, b ∈ I avec : a ¶ b et y ∈ R compris strictement entre f ′ (a) et f ′ (b).
1) Montrer que la fonction x 7−→ f (x) − x y n’est
pas monotone sur [a, b].
2) Montrer que la fonction x 7−→ f (x) − x y n’est
pas injective sur [a, b].
3) Conclure.
————————————–
Soit f ∈ D [0, 1], R . On fait l’hypothèse
29
que : f (0) = 0 et f (1) = 1. Montrer que pour
tout n ∈ N∗ , il existe des réels x 1 , . . . , x n ∈ ]0, 1[ disn
X
tincts pour lesquels :
f ′ (x k ) = n. On pourra
2)
a) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R à racines simples.
Montrer que P ne peut posséder deux coefficients consécutifs nuls.
k=1
2
k
s’intéresser aux réels , k décrivant ¹0, nº.
n
DÉRIVABILITÉ
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1) Soit f ∈ C 3 [a, b], R avec : a < b.
a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction :
Š (x − a)3
ϕ
x − a€ ′
′
f (a) + f (x) −
A
x 7−→ f (x)− f (a) +
2
12
————————————–
30
Soit P ∈
R[X ] non constant. On suppose
l’ensemble : X = x ∈ R/ P(x) = sin x
infini.
1) Montrer que X est borné.
2) Montrer que les dérivées successives de P − sin
s’annulent chacune une infinité de fois.
3) Quelle contradiction ?
s’annule en b.
b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕ et de ses
dérivées, que pour un certain c ∈ ]a, b[ :
————————————–
Š (b − a)3
b − a€ ′
f (a)+ f ′ (b) −
f (3) (c).
2
12
2) Soient f ∈ C 2 [a, b], R et n ∈ N∗ . Pour tout
b−a
k ∈ ¹0, nº, on pose : x k = a + k
.
n
a) Montrer que pour tout k ∈ ¹0, n − 1º, pour
un certain ck ∈ ]x k , x k+1 [ :
f (b) = f (a)+
31
1)
Soient I un intervalle, f ∈ C n+1 (I , R)
et a ∈ I . Soit en outre x ∈ I fixé distinct de a.
a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction :
n
X
ϕ
f (k) (t)
A
(x−t)k −
(x−t)n+1
t 7−→ f (x)−
k!
(n
+
1)!
k=0
Z
s’annule en a.
b) Simplifier ϕ ′ .
c) En déduire que pour un certain c ∈ I :
f (x) =
n
X
k=0
[a,b]
¶
cos x = lim
n→+∞
n
X
k=0
(−1)k
34
Soit f ∈ C 2 (R∗+ , R). On suppose que la fonction x 7−→ x 2 f ′′ (x) est bornée et que : lim f (x) = 0.
x→0
1) Montrer que pour tous x ∈ R∗+ et a ∈ ]0, 1[, il
existe un réel ξ ∈ ]a x, x[ pour lequel :
x 2k
.
(2k)!
f (a x) = f (x)−(1−a)x f ′ (x)+
————————————–
Soit f ∈ C n [a, b], R . On suppose que f
32
s’annule en au moins n points distincts a1 , . . . an avec :
a1 < . . . < a n .
1) Soit x ∈ [a, b] fixé, distinct de a1 , . . . , an .
a) Déterminer un réel A pour lequel la fonction
2) En déduire que :
(1 − a)2 2 ′′
x f (ξ).
2
lim x f ′ (x) = 0.
x→0
————————————–
4
ϕ
t 7−→ f (t)−A(t−a1 ) . . . (t−an ) s’annule en x.
b) Montrer, en étudiant les zéros de ϕ et de ses
dérivées, que pour un certain c ∈ ]a, b[ :
SUITES
RÉCURRENTES
ET ACCROISSEMENTS FINIS
35
f (n) (c)
.
f (x) = (x − a1 ) . . . (x − an )
n!
ex
sur R+ .
x +2
a) Montrer que ]0, 1[ est stable par f .
b) Montrer qu’il existe un et un seul α ∈ ]0, 1[
eα
pour lequel :
= α.
α+2
2)
Soit u0 ∈ ]0, 1[. On note (un )n∈N la suite
eun
.
définie pour tout n ∈ N par : un+1 =
un + 2
a) Montrer que pour tout n ∈ N :
 ‹n
2e
,
|un − α| ¶
9
1)
Ce résultat est bien sûr encore vrai si x est l’un
des réels a 1 , . .. , an .
2) Pourquoi f (n) est-elle majorée sur [a, b]
? Mon(n) , alors
trer que si on pose : M = sup f
[a,b]
pour tout x ∈ [a, b] :
(b − a)3
M.
12n2
————————————–
Ce résultat s’appelle l’inégalité de Taylor-Lagrange.
Montrer que pour tout x ∈ R :
et
Š (b − a)3
b − a€
f (x k )+ f (x k+1 ) −
f ′′ (ck )
2n
12n3
Z

‹
n−1
b
X
f
(a)
+
f
(b)
b
−
a
b
−
a
−
f (x k )
f (x) dx −
a
n
2
n k=1
I
n
X
xk
n→+∞
k!
k=0
xk
f (k) (a)
f (n+1) (c)
(x−a)k +
(x−a)n+1 .
k!
(n + 1)!
n
X
f (k) (a)
|x − a|n+1
(x − a)k ¶
M.
f (x) −
k!
(n + 1)!
k=0
e x = lim
f (t) dt =
et interpréter géométriquement.
b) Pourquoi | f ′′ | est-elle majorée sur [a, b] ? Montrer que si on pose : M = sup | f ′′ | :
Ce résultat est
bien sûr encore vrai si x = a.
f (n+1) bornée sur I et on pose :
d) On suppose
(n+1)
. Montrer que pour tout x ∈ I :
M = sup f
2)
x k+1
n
Y
f (x) ¶ M
|x − ak |.
n! k=1
————————————–
On note f la fonction x 7−→
puis que la suite (un )n∈N converge vers α.
33
3
DÉRIVABILITÉ
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
b) Déterminer un rang n pour lequel un est une
approximation de α à 10−5 près.
————————————–
36
Soit u0 ∈ [0, 1]. On note (un )n∈N la suite telle
eun
que pour tout n ∈ N : un+1 = u
.
e n +1
1) Montrer que (un )n∈N est à valeurs dans [0, 1].
2) Montrer qu’il existe un et un seul α ∈ R pour
eα
lequel :
= α, et que α ∈ [0, 1].
eα + 1
3) a) Montrer que pour tout n ∈ N :
 ‹n
1
,
|un − α| ¶
4
puis que la suite (un )n∈N converge vers α.
b) Déterminer un rang n pour lequel un est une
approximation de α à 10−5 près.
————————————–
5
LIMITE
DE LA DÉRIVÉE
ET PROLONGEMENT DE CLASSE
37
Ck
Montrer que la fonction x 7−→ x 2 ln x, définie sur
est prolongeable en une fonction de classe C 1 sur
R+ tout entier.
R∗+ ,
————————————–
38
quelle valeur maximale de k la fonction
Pour
x 3 ln |x| si x 6= 0
x 7−→
est-elle de classe C k sur
0
si x = 0
R tout entier ?
————————————–
39
Soit f ∈ C 2 (R+ , R). On fait l’hypothèse que :
f (0) = 0. Montrer qu’il existe une fonction g ∈ C 1 (R+ , R)
pour laquelle pour tout x ∈ R+ : f (x) = g x 2 .
′
————————————–
4