Table des matières

Cours PCSI
Groupe Orthogonal.
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Les automorphismes orthogonaux....................................................................................................3
1- Définition et première caractérisation.........................................................................................3
2- Caractérisation avec les bases orthonormales.............................................................................4
3- Le groupe orthogonal..................................................................................................................6
4- Les matrices orthogonales...........................................................................................................7
a- Matrice d'un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale..................................7
b- Groupe orthogonal..................................................................................................................8
5- Symétries et réflexions................................................................................................................9
II- Automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace....................................................................12
1- n=2.............................................................................................................................................12
a- O(E).......................................................................................................................................12
b- O(2).......................................................................................................................................13
2- n=3.............................................................................................................................................14
a- Étude de O(E).......................................................................................................................14
b- Étude des rotations................................................................................................................14
c- O(3).......................................................................................................................................15
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Groupe Orthogonal.
Introduction
Principe de conservation d'une structure :
Algèbre : conservation des lois de compositions.
Morphisme de groupes.
Morphisme d'anneau.
Morphisme d'espaces vectoriels : applications linéaires.
Analyse : conservation la notion de proximité.
Pour une fonction continue.
L'image d'un intervalle est un intervalle.
L'image d'un intervalle fermé borné et un intervalle fermé borné.
Espace euclidien , la structure est définie par le produit scalaire.
On s'intéresse donc aux transformations qui conserve le produit scalaire.
Qu'est ce que la géométrie ?
Géo : terre : Métrie : mesure. Égyptiens, calcul des surfaces pour déterminer les impôts à payer.
Euclide : Les éléments. Problématique le 5ième postulat des parallèles. Impossible à démontrer.
Voici les 5 postulats d’Euclide :
1. Si on prend deux points, on peut toujours tracer un segment droit qui les relie.
2. On peut toujours prolonger un segment, autant que l’on veut, en ligne droite.
3. Etant donné deux points, on peut tracer un cercle qui a l’un des deux points pour centre, et
qui passe par l’autre point.
4. Tous les angles droits sont les mêmes.
5. Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule parallèle à celle-ci.
Naissances des géométries non euclidiennes au 19ième siècle : Lobathevsky (Russe), Bolyai (, Gauss.
Modèle de Poincaré : géométrie hyperbolique.
Unification : la mathématicien, Félix Klein publie le programme d'Erlangen en 1872.
Une géométrie est définie par un groupe de transformations.
L'étude d'une géométrie est l'étude des propriétés conservées par les transformations du groupe de
transformations qui la caractérise.
Exemple de groupes : Racines nième, Nombre complexe de module 1, Groupe des unités d'un
anneau, Groupe linéaire, Groupe des vecteurs.
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I- Les automorphismes orthogonaux.
Dans tout le chapitre
E désigne un espace euclidien de dimension finie n .
1- Définition et première caractérisation.
Un endomorphisme de E est orthogonal, s'il vérifie :
∀(x , y)∈E 2 , (u (x)∣u (y))=(x∣y )
Exemples : l'identité et son opposé, les symétries orthogonales, les rotations dans le plan.
Les projecteurs orthogonaux, ne sont pas des endomorphisme orthogonaux.
Théorème
Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si il conserve la norme.
∀ x∈ E , ∥u ( x)∥=∥x∥
Démonstration :
S'il est orthogonal, alors il conserve la norme : ∥u (x )∥2 =(u( x)∣u( x))=(x∣x)=∥x∥2 .
Deux nombres positifs sont égaux et seulement si leur carré sont égaux.
Réciproque, s'il conserve la norme, il est orthogonal.
Identité de polarisation :
1
1
( u( x)∣u(y ))= (∥u(x)+u (y)∥2 ∥u ( x)∥2 ∥u ( y)∥2)= (∥u(x+y)∥2 ∥u ( x)∥2 ∥u (y )∥2 )
2
2
1
2
2
2
Or u conserve la norme, alors : ( u( x)∣u(y ))= (∥x+y∥ ∥x∥ ∥y∥ )=(x∣y)
2
Remarques : un endomorphisme orthogonal, conserve les distances. ∥u (x ) u( y )∥=∥x y∥
C'est une isométrie vectorielle.
Il conserve aussi les angles, l'orthogonalité.
Il transforme une famille orthogonale (orthonormale) en une famille orthogonale (orthonormale).
Il transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
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Théorème
Un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Démonstration
Soit u un endomorphisme orthogonal. Montrons que u est injectif.
Soit x ∈Ker ( u) , montrons que x=0 .
u( x)=0 ⇒∥u ( x)∥=0⇒∥x∥=0 car∥u (x )∥=∥x∥⇒ x=0
u est un endomorphisme injectif d'un espace vectoriel de dimension finie, c'est donc un
automorphisme.
Remarque : on ne parle pas d'endomorphismes orthogonaux mais d'automorphismes
orthogonaux.
2- Caractérisation avec les bases orthonormales.
Les automorphismes sont caractérisés par le fait qu'ils transforment une base en une base, et dans ce
cas , ils transforment toutes les base en bases.
On a un théorème similaire, pour les automorphismes orthogonaux.
Théorème
Un endomorphisme est un automorphisme orthogonal si et seulement si il transforme une base
orthonormale donnée en une base orthonormale.
Et dans ce cas, il transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
Démonstration :
Soit u un automorphisme orthogonal, montrons qu'il transforme toute base orthonormale, en une
base orthonormale.
Soit
e=(e i)1≤i<n une base orthonormale. On a :
( u( ei )∣u (e j))=(ei∣e j)=δij car u conserve le produit scalaire.
Donc : ( u( ei ))1≤i ≤n est une base orthonormale.
Réciproque : Soit e=(e i)1≤i<n une base orthonormale, et on suppose que e ' =(e ' i=u(ei ))1≤i ≤n
est une base orthonormale.
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Montrons que u est un automorphisme orthogonal. C'est-à-dire, qu'il conserve la norme.
n
n
i
i
Soit : x=∑ x i ei . On a : u( x)=∑ x i u (e i ) car u est linéaire.
n
n
2
Alors : ∥x∥ =∑ x et ∥u (x )∥ =∑ x i car e et u (e) sont des bases orthonormales.
2
2
i
1
2
1
On a donc : ∀ x∈ E , ∥u ( x )∥=∥x∥
L'endomorphisme u conserve la norme, donc il est orthogonal.
Et dans ce cas, on a montré qu'il transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
Corollaire
Soient 2 bases orthonormales e et e ' , il existe un unique automorphisme orthogonal qui
transforme e en e ' :
Démonstration
Il existe une unique application linéaire qui transforme e en e ' , et c'est un automorphisme,
car elle transforme une base en une base.
Il est orthogonal car d'après le théorème précédant, il transforme une base orthonormale en une base
orthonormale.
Remarques : pour construire un automorphisme orthogonal, il suffit de se donner deux bases
orthonormales.
Si on se donne deux familles orthonormales, il existe toujours un automorphisme orthogonal qui
transforme la première en la seconde. Il suffit de compléter chaque famille en une base
orthonormale et d'appliquer le théorème. Si la famille comporte moins de n éléments, on n'a pas
d'unicité.
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3- Le groupe orthogonal.
Théorème
Les automorphismes orthogonaux forment un groupe.
C'est un sous-groupe du groupe linéaire. C'est le groupe orthogonal de
E , noté O(E) .
Démonstration
Pour montrer que c'est un groupe, on montre que c'est un sous-groupe de GL ( E) .
On a : O( E )⊂GL ( E )
Il contient l'élément neutre, Id E .
Stable par produit. Stable par composition. Conservation de la norme.
Soit (u , v )∈O (E) 2 , montrons que : u ∘ v∈O( E)
∥u ∘ v ( x)∥=∥u( v ( x ))∥=∥v ( x )∥ car u est un automorphisme orthonormal, donc il conserve la
norme. Et : ∥u ∘ v ( x )∥=∥v ( x)∥=∥x∥ car v est un automorphisme orthonormal, donc il conserve
la norme.
u ∘ v est un endomorphisme qui conserve la norme. C'est un automorphisme orthogonal.
Stable par inverse :
∥u (x )∥=∥x∥ . En appliquant cette égalité à u 1 ( x) on obtient :
1
1
1
1
∥u (u (x))∥=∥u (x)∥⇒∥x∥=∥u (x)∥ et ∥u (x )∥=∥x∥
u 1 conserve la norme. C'est un automorphisme orthogonal.
C'est un donc un groupe.
Définition
Les automorphismes orthogonaux de déterminant 1, forment un sous-groupe de O( E ) .
C'est le groupe des rotations, noté SO(E). C'est le groupe spécial orthogonal.
Démonstration : une intersection de sous-groupe est un sous-groupe.
Noyau d'un morphisme.
Remarque : les automorphismes orthogonaux conservent les distances, les angles et donc les
volumes. Leur déterminant est 1 ou -1. On démontrera ce résultat rigoureusement.
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4- Les matrices orthogonales.
a- Matrice d'un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale.
Propriété
Soient e=( ei )1≤i≤n une base orthonormale et u∈L (E) On considère : M=Mat e ( u) .
u∈O(E) si et seulement si les vecteurs colonnes de M , forment une base
orthonormale de ℝ n muni de son produit scalaire canonique.
Démonstration
u∈O(E) si et seulement si u transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
u∈O(E) si et seulement si ( u (e i )1≤i ≤n) est une base orthonormale.
Les vecteurs colonnes de M sont les coordonnées de ( u (e i )1≤i ≤n) dans la base orthonormale
e=( ei )1≤i≤n et : (u (e i )∣u (e j ))=t C i C j
Définition
Soit
M un matrice carrée de M n (ℝ) . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1- Les vecteurs colonnes de
M , forment une base orthonormale de ℝ n .
2- t M M=I n
3-
M est inversible et M 1= t M
4- M t M=I n
5- Les vecteurs lignes de
M , forment une base orthonormale de ℝ n .
Une telle matrice est dite orthogonale.
Démonstration :
On a : (Ci∣C j)=δij ⇔ t M M=I n ⇔ M 1= t M ⇔ M t M=I n ⇔ 5
Propriété
Si M est orthogonal, alors : det (M )∈{ 1,1}
Démonstration
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t
t
2
Det ( M M)=Det ( M)Det (M)=(Det (M)) =Det(I n )=1 . Donc : Det ( M)∈{ 1,1}
Théorème
Soient e une base orthonormale, u∈L (E) et M=Mat e ( u) , u est orthogonale si et
seulement si M est orthogonale.
Corollaire
Soit e une base orthonormale. e ' est une base orthonormale si et seulement si P (e , e ') est
une matrice orthogonale.
Démonstration :
Soit u l'application linéaire telle que : Mat e ( u)=P
u est orthogonal si et seulement si e ' =u (e) est une base orthonormale.
u est orthogonal si et seulement si P est orthogonal.
b- Groupe orthogonal.
Définition
L'ensemble des matrices orthogonales forment un groupe, qui est le groupe orthogonal noté O( n)
. Il est isomorphe à O( E ) .
Démonstration : c'est un sous-groupe de GLn (K) .
- Contient l'élément neutre : I n ∈O( n) .
- Stable par produit.
t
2
t
t
t
t
t
(M 1 , M 2)∈O(n ) ⇒ M 1 M 1=I n et M 2 M 2=I n ⇒ (M 1 M2 )(M1 M 2 )= M2 M1 M 1 M 2= M 2 I n M 2=I n
- M ∈O(n )⇒ M 1∈O(n)
Isomorphisme : on fixe un base orthonormale e et on considère l'application :
O ( E ) → O (n)

֏ Mate (u )
u
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Démonstration :
C'est un morphisme de groupe. On montre qu'il est injectif et surjectif.
Injectif car si la matrice d'un automorphisme orthogonal u est I n , alors u=Id E .
Le noyau du morphisme est réduit à l'élément neutre. Donc il est injectif.
Soit une matrice orthogonale M. Il existe u un automorphisme tel que : Mat e ( u)=M .
Et comme e est une base orthonormale, alors M orthogonale implique u orthogonal.
Définition
Les matrices orthogonales de déterminant 1 forment le groupe des rotations noté SO(n ) .
C'est le groupe spécial orthogonal. Il est isomorphe à SO(E ) .
Démonstration : intersection de sous-groupe, noyau de morphisme.
5- Symétries et réflexions
Théorème
Une symétrie est un automorphisme orthogonal si et seulement si c'est une symétrie
orthogonale.
Remarque :
Cela n'a rien d'évident. Un projecteur orthogonal n'est pas un automorphisme orthogonal. Il n'est
même pas bijectif.
Démonstration.
Si une symétrie est orthogonale, alors c'est un automorphisme orthogonal.
( s( x)∣s( y))=( x 1 x 2∣ y1 y 2)=(x 1∣x 2)+( y 1∣y 2 )
( x∣y)=(x 1+ x 2∣y 1+ y 2 )=(x 1∣x 2)+( y 1∣y 2 )
Et donc : ( s (x)∣s ( y))=( x∣y )
Montrons la réciproque.
Soit s un symétrie qui conserve le produit scalaire, montrons que c'est une symétrie orthogonale.
Soient F et G les deux sous-espaces vectoriels tels que s soit la symétrie par rapport à F
parallèlement à G. Montrons que c'est une symétrie orthogonale, c'est-à-dire que F et G sont
orthogonaux.
Soit : (x , y)∈F×G , montrons que (x∣y )=0 .
(s( x)∣s( y))=(x∣y ) car s est un automorphisme orthogonal.
Mais : F=Ker (s Id E )={x ∈E ,s (s)=x} , est l'ensemble des sous-espaces invariants.
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Et G=Ker (s+Id E)={x∈E , s(x)= x} . Donc :
(s( x)∣s( y))=(x∣ y)= (x∣y ) Et on obtient : (x∣y )= (x∣y)⇒(x∣y)=0
Définition
Une symétrie par rapport à un hyperplan est une réflexion.
Lemme
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u ∈GL ( E ) et F un sous-espace vectoriel stable
par u, alors : u ( F )=F .
Remarque : le théorème se traduit par. En dimension finie, un sous-espace vectoriel stable par un
automorphisme est invariant par cet automorphisme.
Démonstration :
Or la restriction de u à F u F est injective.
Elle est donc bijective et Im (u F )=F
Théorème : Si
F est de dimension finie.
F est stable par u∈O( E) , alors F ⊥ est aussi stable par u.
Démonstration
F est stable par u signifie : x ∈F ⇒ u (x )∈F .
Montrons que F ⊥ est stable par u.
Soit y∈F ⊥ , montrons que u(y )∈F ⊥ .
Soit x ∈F , (x∣y )=0 ⇒( u(x)∣u(y ))=0
Donc : u(y )∈u (F)⊥ .
D'après le lemme précédent : u ( F )=F donc : u( y )∈F ⊥
Corollaire : Soit : F=Ker ( u Id E ) , alors F ⊥ est stable par u.
Démonstration : dans ce cas, F est l'ensemble des vecteurs invariants de u , et est stable par
u . Donc on orthogonal est aussi stable par u .
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Théorème
Un automorphisme orthogonal tel que l'ensemble de ces points invariants forment un hyperplan est
une réflexion par rapport à cet hyperplan.
Démonstration
Soit H=Ker (u Id E ) . C'est un hyperplan, d'après les hypothèses et u H est l'identité.
Soit n un vecteur normal tel que : Vect (n )=H ⊥
Comme u est un automorphisme orthogonal et que
.
H est stable par u, H ⊥ est sable par u
La restriction de u à Vect (n) qui est un espace vectoriel de dimension 1, est soit I d ou
Id .
Si u (n)=n , dans ce cas u=I d et l'ensemble des points invariants est E ce qui est contraire aux
hypothèses.
Donc : u (n)= n .
Et u est bien la symétrie orthogonale par rapport à
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H .
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II- Automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace.
Si n=1 , on a deux automorphismes orthogonaux : I d et I d .
Les seuls applications linéaires d'un espace vectoriel de dimension 1, sont les homothéties.
Les seuls homothéties qui conservent la norme sont : I d et I d .
1- n=2.
a- O(E)
On considère : F=Ker ( u Id E ) , l'ensemble des points invariants.
Soit : dim (F)=2 , et dans ce cas u=Id E .
Soit dim (F)=1 , F est un hyperplan et u est la symétrie orthogonale par rapport à
parallèlement à F ⊥ .
F ,
Soit dim (F)=0 , le seul vecteur invariant est le vecteur nul.
Dans ce cas on considère un vecteur donné a≠0 . u (a ) est différent de a .
On considère la symétrie orthogonale s qui transforme f (a ) en a (et réciproquement).
C'est la symétrie orthogonale par rapport à : Vect (a+ f (a )) . (on peut traiter le cas :
f (a )= a )
Donc on a : s ∘f (a )=a
s ∘f admet donc un vecteur invariant. Si l'ensemble des vecteurs invariants de s ∘f était de
dimension 2 on aurait : s ∘f =I d ⇒s ∘s ∘f =s∘ I d ⇒ f =s
Alors f serait une symétrie ce qui n'est pas la cas car f n'a pas de vecteurs invariants non
nuls..
Donc s ∘f est une symétrie et : s ∘f =s ' ⇒f =s ∘s ' .
f est la composée de deux symétries orthogonales, c'est une rotation.
O( E ) est composée des réflexions et des rotations (dont l'identité).
Remarque : tout automorphisme orthogonal peut s'écrire comme le produit d'au plus 2 réflexions.
Les réflexions engendrent le groupe orthogonal.
Cette propriété se généralise.
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b- O(2)
Soit M une matrice orthogonale. Ces vecteurs colonnes forment une base orthonormale de ℝ2 .
C1=(cos( θ), sin(θ)) et C2 est un vecteur unitaire orthogonal à C1 .
On a deux choix possibles : C2=( sin(θ) , cos(θ)) ou C2=(sin( θ), cos(θ))
On a deux familles possibles de matrices orthogonales :
(
R θ= cos(θ)
sin (θ)
)
(
sin (θ)
cos (θ)
et Sθ=
cos (θ)
sin (θ)
)
sin (θ)
cos (θ)
On a : det (R θ)=1 et det (Sθ)= 1
θ
ℝθ est la rotation d'angle θ et Sθ est la symétrie par rapport à le droite d'angle
2
Les matrices ℝθ forment le groupe des rotations. (ensembles des automorphismes orthogonaux de
déterminant 1)
Pour tout vecteur unitaire a : cos (θ)=(a∣u (a )) et sin(θ)=Det (a , u (a )) .
L'application (ℝ , +) dans SO(2) qui à θ associe ℝθ est un morphismes de groupe. Il est
surjectif, mais non injectif. Son noyau est 2 π ℤ (les sous groupes discrets de ℝ sont de la forme
aℤ )
R (θ+θ ')=R (θ) R (θ') et R (θ) 1=R( θ)
Le groupe
SO(2) est commutatif.
Remarques : les matrices orthogonales de déterminant
groupe. Pas de stabilité.
1 (les symétries) ne forment pas un
La composée d'une rotation et d'une symétrie est une symétrie.
La composée de deux symétries est une rotation.
Une rotation peut être décomposée en produit de deux réflexions, la première étant donnée
arbitrairement.
La composée de deux rotations est une rotation.
Une symétrie orthogonale peut être représentée dans une base orthonormale par une matrice de la
forme :
(
1
0
0
1
)
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2- n=3.
a- Étude de O(E)
L'étude se base sur l'ensemble des vecteurs invariants.
On considère : F=Ker ( u Id E ) .
Soit dim (F)=3 , et dans ce cas u=Id E .
Soit dim (F)=2 ,
F est un hyperplan. Et dans ce cas u est la réflexion par rapport à
F .
Soit dim (F)=1 , soit a un vecteur invariant par F .
La restriction de u à F ⊥ est un automorphisme orthogonal d'un sous-espace de dimension 2
sans point invariant. C'est donc une rotation.
Soit dim (F)=0 , on considère un vecteur a≠0 . Soit
u( a) .
s la réflexion qui transforme a en
s ∘ u( a)=a . s ∘ u admet un vecteur a invariant.
s ∘ u ne peut être l'identité car
f
n'est pas une symétrie.
Si s ∘ u=s '⇒ u=s∘ s ' , alors u est une rotation et a donc un vecteur invariant.
Vect (a)= H ∩H '
On a nécessairement : s ∘ u=r ⇒ u=s ∘ r où r est une rotation d'axe a . La rotation est un
produit de deux symétries orthogonales, donc u est le produit de 3 symétries orthogonales.
b- Étude des rotations
Soit r la rotation par rapport à l'axe dirigé par un vecteur a unitaire et d'angle θ .
Soit v un vecteur unitaire orthogonal à a, alors :
r ( v)=(cos( θ))v+sin (θ) a∧v
Soit x un vecteur orthogonal à a, on pose : v=
x
et la relation précédente donne aussi :
∥x∥
r (x )=(cos( θ))x+sin( θ)a ∧x
(x∣r (x ))=∥x∥2 cos (θ) ou Tr ( A)=1+2 cos( θ)
et : x∧r (x)=∥x∥2 sin (θ)a Ou encore : Det ( a , x , r ( x))=∥x∥2 sin (θ)
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c- O(3)
Méthode d'étude.
1- On vérifie que les matrices sont orthogonales.
On peut montrer par exemple que les vecteurs colonnes (ou les vecteurs lignes) forment une base
orthonormales. On peut aussi montrer que : t M M=I n
2- On cherche l'ensemble des vecteurs invariants. On résout le système linéaire :
MX = X .
Si le sous-espace des vecteurs invariants est de dimension 2, c'est une réflexion.
S'il est de dimension 1, c'est une rotation. La résolution du système donne un vecteur a
On peut déterminer l'angle avec : Tr ( M)=1+2 cos (θ) .
(x∣u (x ))
On peut aussi considérer un vecteur x orthogonal à a : cos (θ)=
∥x∥2
Le cosinus n'est pas suffisant pour déterminer l'angle.
Le signe du sinus est donné par la relation : Det (a , x , u (x ))=∥x∥2 sin (θ)
Si on n'a pas de points invariants, u est la composée d'une symétrie orthogonale
rotation r d'axe orthogonal au plans de s .
s et d'une
MX = X pour déterminer l'axe.
On résout :
L'angle se détermine par la relation : Tr ( M)= 1+2 cos(θ) ou on peut procéder comme dans le
cas des rotations en prenant un vecteur orthogonal à x.
Exemple :
M=
1
4
(
2
√6
√6
√ 6 √6
1
3
3
1
)
1- On vérifie que les vecteurs colonnes forment une base orthonormale.
2- On résout le système : MX=X. On trouve que c'est une rotation d'axe a=
3- La relation Tr ( M)=1+2 cos (θ) donne cos (θ)=
La détermination du sinus montre que : θ=
2π
3
15/15
1
2
1
(0,1 ,1)
√2