Table des matières

Cours PCSI Groupe Orthogonal.
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Les automorphismes orthogonaux....................................................................................................3
1- Définition et première caractérisation.........................................................................................3
2- Caractérisation avec les bases orthonormales.............................................................................4
3- Le groupe orthogonal..................................................................................................................6
4- Les matrices orthogonales...........................................................................................................7
a- Matrice d'un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale..................................7
b- Groupe orthogonal..................................................................................................................8
5- Symétries et réflexions................................................................................................................9
II- Automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace....................................................................12
1- n=2.............................................................................................................................................12
a- O(E).......................................................................................................................................12
b- O(2).......................................................................................................................................13
2- n=3.............................................................................................................................................14
a- Étude de O(E).......................................................................................................................14
b- Étude des rotations................................................................................................................14
c- O(3).......................................................................................................................................15
1/15

Cours PCSI Groupe Orthogonal.
Introduction
Principe de conservation d'une structure :
Algèbre : conservation des lois de compositions.
Morphisme de groupes.
Morphisme d'anneau.
Morphisme d'espaces vectoriels : applications linéaires.
Analyse : conservation la notion de proximité.
Pour une fonction continue.
L'image d'un intervalle est un intervalle.
L'image d'un intervalle fermé borné et un intervalle fermé borné.
Espace euclidien , la structure est définie par le produit scalaire.
On s'intéresse donc aux transformations qui conserve le produit scalaire.
Qu'est ce que la géométrie ?
Géo : terre : Métrie : mesure. Égyptiens, calcul des surfaces pour déterminer les impôts à payer.
Euclide : Les éléments. Problématique le 5
ième
postulat des parallèles. Impossible à démontrer.
Voici les 5 postulats d’Euclide :
1. Si on prend deux points, on peut toujours tracer un segment droit qui les relie.
2. On peut toujours prolonger un segment, autant que l’on veut, en ligne droite.
3. Etant donné deux points, on peut tracer un cercle qui a l’un des deux points pour centre, et
qui passe par l’autre point.
4. Tous les angles droits sont les mêmes.
5. Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule parallèle à celle-ci.
Naissances des géométries non euclidiennes au 19
ième
siècle : Lobathevsky (Russe), Bolyai (, Gauss.
Modèle de Poincaré : géométrie hyperbolique.
Unification : la mathématicien, Félix Klein publie le programme d'Erlangen en 1872.
Une géométrie est définie par un groupe de transformations.
L'étude d'une géométrie est l'étude des propriétés conservées par les transformations du groupe de
transformations qui la caractérise.
Exemple de groupes : Racines n
ième
, Nombre complexe de module 1, Groupe des unités d'un
anneau, Groupe linéaire, Groupe des vecteurs.
2/15

Cours PCSI Groupe Orthogonal.
I- Les automorphismes orthogonaux.
Dans tout le chapitre
E
désigne un espace euclidien de dimension finie
n
.
1- Définition et première caractérisation.
Un endomorphisme de
E
est orthogonal, s'il vérifie :
∀(
x
,
y
)∈
E
2
,
(
u
(
x
)∣
u
(
y
))=(
x
∣
y
)
Exemples : l'identité et son opposé, les symétries orthogonales, les rotations dans le plan.
Les projecteurs orthogonaux, ne sont pas des endomorphisme orthogonaux.
Théorème
Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si il conserve la norme.
∀
x
∈
E
,
∥
u
(
x
)∥=∥
x
∥
Démonstration :
S'il est orthogonal, alors il conserve la norme :
∥
u
(
x
)∥
2
=(
u
(
x
)∣
u
(
x
))=(
x
∣
x
)=∥
x
∥
2.
Deux nombres positifs sont égaux et seulement si leur carré sont égaux.
Réciproque, s'il conserve la norme, il est orthogonal.
Identité de polarisation :
(u(x)∣u(y))=
1
2
(∥u(x)+u(y)∥
2
∥u(x)∥
2
∥u(y)∥
2
)=
1
2
(∥u(x+y)∥
2
∥u(x)∥
2
∥u(y)∥
2
)
Or
u
conserve la norme, alors : (u(x)∣u(y))=
1
2
(∥x+y∥
2
∥x∥
2
∥y∥
2
)=(x∣y)
Remarques : un endomorphisme orthogonal, conserve les distances. ∥
u
(
x
)
u
(
y
)∥=∥
x
y
∥
C'est une isométrie vectorielle.
Il conserve aussi les angles, l'orthogonalité.
Il transforme une famille orthogonale (orthonormale) en une famille orthogonale (orthonormale).
Il transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
3/15

Cours PCSI Groupe Orthogonal.
Théorème
Un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Démonstration
Soit
u
un endomorphisme orthogonal. Montrons que
u
est injectif.
Soit
x
∈
Ker
(
u
), montrons que
x
=
0
.
u
(
x
)=
0
⇒∥
u
(
x
)∥=
0
⇒∥
x
∥=
0
car
∥
u
(
x
)∥=∥
x
∥⇒
x
=
0
u
est un endomorphisme injectif d'un espace vectoriel de dimension finie, c'est donc un
automorphisme.
Remarque : on ne parle pas d'endomorphismes orthogonaux mais d'automorphismes
orthogonaux.
2- Caractérisation avec les bases orthonormales.
Les automorphismes sont caractérisés par le fait qu'ils transforment une base en une base, et dans ce
cas , ils transforment toutes les base en bases.
On a un théorème similaire, pour les automorphismes orthogonaux.
Théorème
Un endomorphisme est un automorphisme orthogonal si et seulement si il transforme une base
orthonormale donnée en une base orthonormale.
Et dans ce cas, il transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
Démonstration :
Soit
u
un automorphisme orthogonal, montrons qu'il transforme toute base orthonormale, en une
base orthonormale.
Soit
e
=(
e
i
)
1
≤
i
<
n
une base orthonormale. On a :
(
u
(
e
i
)∣
u
(
e
j
))=(
e
i
∣
e
j
)=δ
ij
car
u
conserve le produit scalaire.
Donc :
(
u
(
e
i
))
1
≤
i
≤
n
est une base orthonormale.
Réciproque : Soit
e
=(
e
i
)
1
≤
i
<
n
une base orthonormale, et on suppose que
e
'
=(
e
'
i
=
u
(
e
i
))
1
≤
i
≤
n
est une base orthonormale.
4/15

Cours PCSI Groupe Orthogonal.
Montrons que
u
est un automorphisme orthogonal. C'est-à-dire, qu'il conserve la norme.
Soit : x=∑
i
n
x
i
e
i
. On a : u(x)=∑
i
n
x
i
u(e
i
) car
u
est linéaire.
Alors : ∥x∥
2
=∑
1
n
x
i
2
et ∥u(x)∥
2
=∑
1
n
x
i
2
car
e
et
u
(
e
)
sont des bases orthonormales.
On a donc :
∀
x
∈
E
,
∥
u
(
x
)∥=∥
x
∥
L'endomorphisme
u
conserve la norme, donc il est orthogonal.
Et dans ce cas, on a montré qu'il transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
Corollaire
Soient 2 bases orthonormales
e
et
e
'
, il existe un unique automorphisme orthogonal qui
transforme
e
en
e
'
:
Démonstration
Il existe une unique application linéaire qui transforme
e
en
e
'
, et c'est un automorphisme,
car elle transforme une base en une base.
Il est orthogonal car d'après le théorème précédant, il transforme une base orthonormale en une base
orthonormale.
Remarques : pour construire un automorphisme orthogonal, il suffit de se donner deux bases
orthonormales.
Si on se donne deux familles orthonormales, il existe toujours un automorphisme orthogonal qui
transforme la première en la seconde. Il suffit de compléter chaque famille en une base
orthonormale et d'appliquer le théorème. Si la famille comporte moins de n éléments, on n'a pas
d'unicité.
5/15