Chapitre 02, complément - Irma

Université de Strasbourg M1 Analyse fonctionnelle (S1)
O. Guichard. [email protected]
Orthogonalisation de Gram-Schmidt
Nous rappelons rapidement le procédé de Gram-
Schmidt pour trouver des familles orthogonales et ortho-
normées dans un espace de Hilbert. En fait la complétude
ne jouera pas de rôle particulier dans cette procédure.
Nous travaillerons donc plutôt avec les espaces préhil-
bertiens.
Le procédé d’orthogonalisation
Son principe est simple. On se donne une famille libre
(x1, x2, . . . )dans un espace préhilbertien E(elle peut être
finie ou dénombrable) à partir de laquelle on construit
une famille orthonormale (et libre) (y1, y2, . . . )et une fa-
mille orthonormée (z1,2, . . . ).
Le lien entre ziet yiest le plus immédiat : zi=yi
kyik.
Tandis que construire yiutilise les projections orthogo-
nales. Pour tout n(plus petit ou égal au nombre d’élé-
ments dans la famille (x1, x2, . . . )...), désignons par Mn
le sous-espace vectoriel (de dimension n) engendré par
(x1, x2, . . . , xn). Alors
yi=xi−PMi−1(xi).
Une récurrence permet de montrer que pour tout n,
la famille (y1, y2, . . . , yn)est une base de Mnainsi que la
famille (z1, z2, . . . , zn). Par construction, (y1, y2, . . . )est
orthonormale et (z1, z2, . . . )est orthonomée.
En utilisant les formules pour les projections ortho-
gonales, on peut exprimer yipar la formule suivante :
y1=x1
yi=xi−
i−1
X
j=1
hxi, zjizj.
Ces formules peuvent être utiles mais il est plus im-
portant de savoir comment les retrouver et de connaître
l’interprétation géométrique en termes de projections or-
thogonales de ce procédé.
En fait, puisque yn(ou zn) est un vecteur orthogonal
àMn−1dans Mn=Mn−1⊕Cxn, et puisque Mn∩M⊥
n−1
est de dimension 1, on peut caractériser yn(ou zn) par
son produit scalaire avec xn. Énonçons ceci dans une pro-
position.
Proposition 1. Soit (x1, x2, . . . )n<N (avec N∈N∗∪
{∞}) une famille libre (finie ou dénombrable) d’un es-
pace pré-hilbertien E. Appelons, pour tout n < N,Mn
le sous-espace engendré par (x1, x2, . . . , xn). Soient, pour
tout n<N,ynet znles vecteurs caractérisés par
yn∈Mn,yn⊥Mn−1,yn6= 0,hyn, yni=hxn, yni;
zn∈Mn,zn⊥Mn−1,kznk= 1,hxn, zniest un réel
positif.
Alors les familles (yn)n<N et (zn)n<N sont celles ob-
tenues à partir de la famille (xn)n<N par le procédé
d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. En formules, ceci
veut dire que les relations yn=xn−PMn−1(xn)et
zn=yn/kynk.
Démonstration. Soit e∈Mn∩M⊥
n−1un vecteur de norme
1. Le vecteur yncaractérisé par les identités ci-dessus est
l’unique multiple λe de eavec λ6= 0 et λ¯ λ=¯ λhxn, ei
(autrement dit λ=hxn, ei). Le vecteur u=xn−ynap-
partient à Mn−1(car il est orthogonal à e) et xn−uest
orthogonal à Mn−1ainsi u=PMn−1(xn)(par la caracté-
risation des projections sur les sous-espaces). L’on a bien
démontré l’égalité yn=xn−Pmn−1(xn).
De la même manière znest l’unique multiple µe avec
|µ|= 1 et r= ¯µhxn, ei= ¯µλ ∈R+. Alors on aura
yn=λ/µzn=λ¯µzn=rznet donc r=kynket
zn=yn/kynk.
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