Chapitre 02, complément - Irma

Université de Strasbourg
O. Guichard.
M1 Analyse fonctionnelle (S1)
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Orthogonalisation de Gram-Schmidt
Nous rappelons rapidement le procédé de GramSchmidt pour trouver des familles orthogonales et orthonormées dans un espace de Hilbert. En fait la complétude
ne jouera pas de rôle particulier dans cette procédure.
Nous travaillerons donc plutôt avec les espaces préhilbertiens.
l’interprétation géométrique en termes de projections orthogonales de ce procédé.
En fait, puisque yn (ou zn ) est un vecteur orthogonal
⊥
à Mn−1 dans Mn = Mn−1 ⊕ Cxn , et puisque Mn ∩ Mn−1
est de dimension 1, on peut caractériser yn (ou zn ) par
son produit scalaire avec xn . Énonçons ceci dans une proposition.
Le procédé d’orthogonalisation
Proposition 1. Soit (x1 , x2 , . . . )n<N (avec N ∈ N∗ ∪
{∞}) une famille libre (finie ou dénombrable) d’un espace pré-hilbertien E. Appelons, pour tout n < N , Mn
le sous-espace engendré par (x1 , x2 , . . . , xn ). Soient, pour
tout n < N , yn et zn les vecteurs caractérisés par
Son principe est simple. On se donne une famille libre
(x1 , x2 , . . . ) dans un espace préhilbertien E (elle peut être
finie ou dénombrable) à partir de laquelle on construit
une famille orthonormale (et libre) (y1 , y2 , . . . ) et une famille orthonormée (z1 ,2 , . . . ).
yi
.
Le lien entre zi et yi est le plus immédiat : zi =
kyi k
Tandis que construire yi utilise les projections orthogonales. Pour tout n (plus petit ou égal au nombre d’éléments dans la famille (x1 , x2 , . . . )...), désignons par Mn
le sous-espace vectoriel (de dimension n) engendré par
(x1 , x2 , . . . , xn ). Alors
yn ∈ Mn , yn ⊥ Mn−1 , yn 6= 0, hyn , yn i = hxn , yn i ;
zn ∈ Mn , zn ⊥ Mn−1 , kzn k = 1, hxn , zn i est un réel
positif.
Alors les familles (yn )n<N et (zn )n<N sont celles obtenues à partir de la famille (xn )n<N par le procédé
d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. En formules, ceci
veut dire que les relations yn = xn − PMn−1 (xn ) et
zn = yn /kyn k.
yi = xi − PMi−1 (xi ).
Une récurrence permet de montrer que pour tout n,
la famille (y1 , y2 , . . . , yn ) est une base de Mn ainsi que la
famille (z1 , z2 , . . . , zn ). Par construction, (y1 , y2 , . . . ) est
orthonormale et (z1 , z2 , . . . ) est orthonomée.
En utilisant les formules pour les projections orthogonales, on peut exprimer yi par la formule suivante :
⊥
Démonstration. Soit e ∈ Mn ∩Mn−1
un vecteur de norme
1. Le vecteur yn caractérisé par les identités ci-dessus est
l’unique multiple λe de e avec λ 6= 0 et λλ̄ = λ̄hxn , ei
(autrement dit λ = hxn , ei). Le vecteur u = xn − yn appartient à Mn−1 (car il est orthogonal à e) et xn − u est
orthogonal à Mn−1 ainsi u = PMn−1 (xn ) (par la caractérisation des projections sur les sous-espaces). L’on a bien
démontré l’égalité yn = xn − Pmn−1 (xn ).
De la même manière zn est l’unique multiple µe avec
|µ| = 1 et r = µ̄hxn , ei = µ̄λ ∈ R+ . Alors on aura
yn = λ/µzn = λµ̄zn = rzn et donc r = kyn k et
zn = yn /kyn k.
y1 = x1
yi = xi −
i−1
X
hxi , zj izj .
j=1
Ces formules peuvent être utiles mais il est plus important de savoir comment les retrouver et de connaître
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