DM de révisions : Toutes sortes de calculs

DM de révisions : Toutes sortes de calculs
I. Règles de calculs sur les fractions
 Egalité de deux fractions : Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on
obtient la même fraction.
On fait apparaître un diviseur commun au numérateur et au dénominateur et ensuite on simplifie.
Exercice 1 : Simplifie les fractions suivantes : 6
8 ; 3 9 ; 12 4 ; 14 21 ; 24 64 .
 Multiplication de deux ou plusieurs fractions :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exercice 2 : Calcule les expressions 3
7  14 9 ; 15 28  14 25 et 21  3 7
 Addition et soustraction de deux ou de plusieurs fractions :
Exercice 3 : Calcule les expressions suivantes : 1
2 + 1 3 ; 3 5 - 1 10 ; 2 3 + 4 5 + 8 15 ; - 5 4 + 3 2 et
2
1
4
3
4
3
 Division de fractions :
Pour diviser par une fraction, on multiplie par la fraction inverse.
Exercice 4 : Calcule les expressions suivantes :
14
3
21
6
;
3
5
7
2
;
49
9
7
;
7
5
15
;
5
44
3
2
1
II. Règles de calcul sur les puissances
Soient n et m deux nombres entiers positifs non nuls
Produit
Inverse
Quotient
Puissance de puissance
Exemple :
Exemple :
Exemple :
Exemple :
Par convention a0 = 1. De plus (a×b)n = an ×bn.
Exercice 5:
Calculer les nombres suivants :
43 ; (-1)7 ; 53 ; (-2)4; 104 ; 33 ; (-10)5 ; 2-1
Exercice 6:
Mettre les expressions suivantes sous la forme an :
A  312  37 ; B  (53)5 ; C  77
72 ; D  712  212 ; E  42  45  (43)2 ; F 
55 4
2
N =
6
4
5
5
2
2
; O = 25  35  75
Exemple : 9
15 = 3  3
3  5 = 3
5
Exemple :
3
55 93 5 5 9 3 5 5 3 3 1 3
Exemple : 1
4 + 1 3 = 1  3
4  3 + 1  4 3  4 = 3
12 + 4 12 = 3 + 4 12 = 7 12
Exemple :
5
1
3355 533 9
15
25
3
15
9
25
3

III. Calcul littéral
 Il y a deux développements à connaître :
k (a + b) = k a + k b = ka + kb et (a + b) (c + d)= a c + a d + b c + b d
Attention : il faut respecter la règle des signes pour les produits
 3 identités remarquables à connaître :
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a  b)² = a²  2ab + b² (a + b)(a  b) = a²  b²
 Factoriser 
ka+ kb = k(a + b) ka  kb = k(a  b) k est appelé le facteur commun
 remarquable : il faut
-dessous.
a ² + 2ab + b²= (a + b)² a²  2ab + b²= (a  b)² a²  b²= (a + b)(a  b)
Exercice 7 : Développer et réduire
a. (2x-3)(-x+2) b. (-4x+3)(2x+1) c. 4x²-(-5x+2)(x-3) d. (2x-3)(x+5)-4(2x-1)
e. (5x+2)²= f. (5-6x)²= g. (3-4x)(3+4x)= h. (2x+3)(3x-1)-(2x+5)²
Exercice 8 : Factoriser les expressions suivantes
a. 15x+45 b. -9x+9 c. 4x²+3x d. 36x²+36x+9 e. 49x²-9
f. (3x-1)(x-2)-(2x+5)(3x-1) g. x²-6x+9 h. (3x-4)²-81 i. (-x+7)(6x+1)+6x+1
j. (2x-5)²+(2x-5)(x+2) k. (4x+5)²-(2x-1)² l. (4x-1)(-2x+3)-4x+1
IV. Résolutions déquations
Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble de solutions.
 Propriété :
équation équivalente.
 un même nombre non nul, on obtient
une équation équivalente.
Exemple :      
Exercice 9 : Résoudre les équations suivantes
a. 3(x+2) – 5
2 (x-3) = 3 – 2x ; b. 2(x-1) + 3 (x+1) = x ; c.
x−3
2 +
x−2
3 = 5 ; d. 1 – 2(x+1) 3 - 3(x−2) 2 = 1 4 - 2x
e. 3x+4
3 - 2x+1 3 =
x
2 + 13 12 ; f. 7x 6 - 3x−1 2 = 3 – 2x+11 6 ; g.
x+6
2 + 2(x+7) 3 + 5(x−2) 6 = 2x+6 ; h. 1 x−1 - 1 x+1 = 1 x²−1
 Equation produit :
Propriété : 
Autrement dit : A×B=0 équivaut à A=0 ou B=0
Exemple :       équivaut à      ou    ,
c'est-à-dire à    ou  .  : -5 et 2. Notation : S= .
Remarque : soit   , 
  équivaut à    , c'est-à-dire à   .
Exercice 10 : Résoudre les équations suivantes
a. (2x-1)² = (x+2)² ; b. (2x-5)² + (x-1)(5-2x)= 4x²-25 ; c. 3x²-x + (3x-1)²=1-3x ; d. (2x+3)² = 25 ; e.
x+1
x−1 = 0