3ème : Chapitre12 : Équations 1. Égalités ; équations (rappels) Doc A.Garland page1/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons 2. Équation produit Si un produit est nul ALORS l’un au moins de ses facteurs est nul Autre formulation : Si A×B=0 alors A=0 ou B=0 Remarque : la réciproque est évidente : Si A=0 ou B=0 alors A×B=0 Exemple1 : Résoudre l’équation produit (x-8)×(x+5)=0 Solution : (x-8)×(x+5)=0 SI un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul. donc (x-8)=0 ou (x+5)=0 donc x-8+8=0+8 ou x+5-5=0-5 x=8 ou x=-5 Vérification : Quand x=8 on a (x-8)(x+5)=(8-8)(8-5)=0 Quand x=-5 on a (x-8)(x+5)=(-5-8)(-5+5)=0 L’équation admet deux solutions : 8 et -5 Exemple2 : Résoudre l’équation produit (-3x+8)(5x-4)=0 Solution : (-3x+8)(5x-4)=0 SI un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul. donc (-3x+8)=0 ou (5x-4)=0 donc -3x=-8 ou 5x=4 8 4 donc x ou x 3 5 Vérification (courte) : 8 Quand x on a (-3x+8)(5x-4)=0 3 4 Quand x on a (-3x+8)(5x-4)=0 5 8 4 L’équation admet deux solutions : et 3 5 3. Un exercice technique classique Énoncé : On a A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)² 1. Développer et réduire A. 2. Factoriser A. 3. Calculer A quand x Solution : 1. A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)² A=(x+3)(2x-1)-[(2x-1)²] A=(x+3)(2x-1)-[(2x)²-2×2x×1+1²] A=x×2x+x×(-1)+3×2x+3×(-1)-[(2x)²-2×2x×1+1²] A=2x²-x+6x-3-[4x²-4x+1] A=2x²+5x-3-4x²+4x-1 A=-2x²+9x-4 3. Quand x 1 3 4. Résoudre l'équation A=0 2. A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)² A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)(2x-1) A=(2x-1)[(x+3)-(2x-1)] A=(2x-1)[x+3-2x+1] A=(2x-1)(-x+4) 4. Écrire A=0 revient à écrire (2x-1)(-x+4)=0 SI un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul. donc (2x-1)=0 ou (-x+4)=0 donc 2x=1 ou -x=-4 donc x=1÷2 ou x=4 donc x=0,5 ou x=4 Vérification : Quand x=0,5 on a (2x-1)(-x+4)=0 Quand x=4 on a (2x-1)(-x+4)=0 L’équation admet deux solutions : 0,5 et 4 1 3 A=-2x²+9x-4 2 1 1 A=−2× +9× −4 3 3 1 9 A=−2× + −4 9 3 −2 27 36 A= + − 9 9 9 −11 A= 9 () 4. Résolution d'équations du type x²=a Soit a un nombre relatif Si a>0 ALORS l'équation x²=a admet deux solutions : a et − a Si a<0 ALORS l'équation x²=a n'a pas de solutions Si a=0 ALORS l'équation x²=a admet une solution : x=0 Remarque : Résoudre l'équation x²=a, c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'égalité x²=a reste vraie. Doc A.Garland page2/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons Enoncé1 : Résoudre 2x²=14 Solution : 2x²=14 2x²÷2=14÷2 x²=7 donc x= 7 ou x=− 7 Vérification : Quand x= 7 on a 2x²=14 ; Quand x=− 7 on a 2x²=14 L'équation admet deux solutions : 7 et − 7 Enoncé2 : Résoudre x²=-7 Solution : Un carré étant toujours positif, l'équation n'admet pas de solution Enoncé3 : Résoudre x²=0 Solution : L'équation admet une solution : 0 3ème : Objectifs Enoncé4 : Résoudre x²-1=8 : Solution : x²-1=8 x²-1+1=8+1 x²=9 donc x= 9=3 ou x=− 9=−3 Vérification : Quand x=3 on a x²-1=8 Quand x=-3 on a x²-1=8 L'équation admet deux solutions : 3 et -3 Enoncé5 : Résoudre 2x²-5=-x²+1 : Solution : 2x²-5=-x²+1 ; 2x²-5+x²+5=-x²+1+x²+5 ; 3x²=6 ; 3x²÷3=6÷3 ; x²=2 donc x= 2 ou x=− 2 Vérification : Quand x= 2 on a 2x²-5=x²+1 Quand x=− 2 on a 2x²-5=x²+1 L'équation admet deux solutions : 2 et − 2 et compétences - CHAPITRE16 : Équations 3N203 Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x²=a où a est un nombre positif. 3N401 Mettre en équation un problème (équation du premier degré). 3N402 Résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique ; méthode par essais successifs, ...) 3N407 Equations produits : Résoudre une équation mise sous la forme A(x).B(x) où A(x) et B(x) sont deux expressions du 1er degré de la même variable x. Doc A.Garland page3/3 SC335 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons