Le cours en PDF - Académie de Nancy-Metz

3ème : Chapitre12 : Équations
1. Égalités ; équations (rappels)
Doc A.Garland page1/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons

2. Équation produit
Si un produit est nul ALORS l’un au moins de ses facteurs est nul
Autre formulation : Si A×B=0 alors A=0 ou B=0
Remarque : la réciproque est évidente : Si A=0 ou B=0 alors A×B=0
Exemple1 : Résoudre
l’équation produit (x-8)×(x+5)=0
Solution : (x-8)×(x+5)=0
SI un produit est nul alors l'un au
moins de ses facteurs est nul.
donc (x-8)=0 ou (x+5)=0
donc x-8+8=0+8 ou x+5-5=0-5
x=8 ou x=-5
Vérification :
Quand x=8 on a
(x-8)(x+5)=(8-8)(8-5)=0
Quand x=-5 on a
(x-8)(x+5)=(-5-8)(-5+5)=0
L’équation admet deux solutions :
8 et -5
Exemple2 : Résoudre l’équation produit (-3x+8)(5x-4)=0
Solution : (-3x+8)(5x-4)=0
SI un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
donc (-3x+8)=0 ou (5x-4)=0
donc -3x=-8 ou 5x=4
donc
3
8
x
ou
5
4
x
Vérification (courte) :
Quand
3
8
x
on a (-3x+8)(5x-4)=0
Quand
5
4
x
on a (-3x+8)(5x-4)=0
L’équation admet deux solutions :
3
8
et
5
4
3. Un exercice technique classique
Énoncé : On a A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)²
1. Développer et réduire A. 2. Factoriser A. 3. Calculer A quand
3
1
x
4. Résoudre l'équation A=0
Solution :
1. A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)²
A=(x+3)(2x-1)-[(2x-1)²]
A=(x+3)(2x-1)-[(2x)²-2×2x×1+1²]
A=x×2x+x×(-1)+3×2x+3×(-1)-[(2x)²-2×2x×1+1²]
A=2x²-x+6x-3-[4x²-4x+1]
A=2x²+5x-3-4x²+4x-1
A=-2x²+9x-4
2. A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)²
A=(x+3)(2x-1)-(2x-1)(2x-1)
A=(2x-1)[(x+3)-(2x-1)]
A=(2x-1)[x+3-2x+1]
A=(2x-1)(-x+4)
3. Quand
3
1
x
A=-2x²+9x-4
A=−2×
(
1
3
)
2
+9×1
3−4
A=−2×1
9+9 3−4
A=−2
9+27 9−36 9
A=−11
9
4. Écrire A=0 revient à écrire (2x-1)(-x+4)=0
SI un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs
est nul.
donc (2x-1)=0 ou (-x+4)=0
donc 2x=1 ou -x=-4
donc x=1÷2 ou x=4
donc x=0,5 ou x=4
Vérification :
Quand x=0,5 on a (2x-1)(-x+4)=0
Quand x=4 on a (2x-1)(-x+4)=0
L’équation admet deux solutions : 0,5 et 4
4. Résolution d'équations du type x²=a
Soit a un nombre relatif
Si a>0 ALORS l'équation x²=a admet deux solutions :
a
et
− a
Si a<0 ALORS l'équation x²=a n'a pas de solutions
Si a=0 ALORS l'équation x²=a admet une solution : x=0
Remarque : Résoudre l'équation x²=a, c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'égalité x²=a reste
vraie.
Doc A.Garland page2/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons

Enoncé1 : Résoudre 2x²=14
Solution :
2x²=14
2x²÷2=14÷2
x²=7
donc
x= 7
ou
x=− 7
Vérification :
Quand
x= 7
on a 2x²=14 ;
Quand
x=− 7
on a 2x²=14
L'équation admet deux solutions :
7
et
− 7
Enoncé2 : Résoudre x²=-7
Solution :
Un carré étant toujours positif, l'équation n'admet
pas de solution
Enoncé3 : Résoudre x²=0
Solution :
L'équation admet une solution : 0
Enoncé4 : Résoudre x²-1=8 :
Solution :
x²-1=8
x²-1+1=8+1
x²=9
donc
x= 9=3
ou
x=− 9=−3
Vérification :
Quand x=3 on a x²-1=8
Quand x=-3 on a x²-1=8
L'équation admet deux solutions : 3 et -3
Enoncé5 : Résoudre 2x²-5=-x²+1 :
Solution :
2x²-5=-x²+1 ;
2x²-5+x²+5=-x²+1+x²+5 ;
3x²=6 ;
3x²÷3=6÷3 ;
x²=2
donc
x= 2
ou
x=− 2
Vérification :
Quand
x= 2
on a 2x²-5=x²+1
Quand
x=− 2
on a 2x²-5=x²+1
L'équation admet deux solutions :
2
et
− 2
3ème : Objectifs et compétences - CHAPITRE16 : Équations
3N203 Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x²=a où a est un nombre positif.
3N401 Mettre en équation un problème (équation du premier degré).
3N402 Résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique ; méthode par essais successifs, ...) SC335
3N407 Equations produits : Résoudre une équation mise sous la forme A(x).B(x) où A(x) et B(x) sont deux expressions du 1er degré de la même
variable x.
Doc A.Garland page3/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons