Feuille de Travaux Dirigés n 6

Université Francois Rabelais de Tours
Master de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦6
M1, Algèbre Semestre 8
Corps finis
Exercice 1
1) Trouver tous les polynômes degré 4irréductibles sur Z/2Z.
2) Soit P(X) = X4+X+ 1 ∈Z/2Z[X],Lun corps de rupture de Psur Z/2Zet αune racine de P
dans L. Quel est le cardinal de L? Donner une base de Lsur Z/2Z.
3) Montrer que αest un générateur du groupe multiplicatif (L∗,×).
4) En utilisant l’automorphisme de Frobenius φdéfini par φ(x) = x2, déterminer explicitement tous les
sous-corps de L(c’est à dire expliciter leurs éléments en fonction de α).
5) Justifier que Lcontient un corps de rupture du polynôme X2+X+ 1 sur Z/2Zet factoriser ce
polynôme dans L.
6) Montrer (par un argument de degré) que l’équation x3+x+ 1 = 0 n’a pas de solution dans L.
7) Montrer que si x∈Lest racine de Palors φ(x)est racine de P. En déduire que Lest un corps de
décomposition de P.
8) On considère maintenant le polynôme Q(X) = X4+X3+X2+X+ 1. Soit L0un corps de rupture
de Qsur Z/2Zet θune racine de Qdans L0. Justifier que Let L0sont des corps isomorphes.
9) Est ce que θest un générateur du groupe multiplicatif (L0∗,×)?
10) Vérifier que θ+θ2est racine de Pdans L0. En déduire un isomorphisme de corps explicite entre L
et L0.
Exercice 2 Soit Fun corps fini de caractéristique pet soit f∈F[X]un polynôme irréductible. L’objectif
de cet exercice est de montrer que fest séparable, c’est-à-dire que fn’admet aucune racine multiple. On
procède par contradiction et on suppose que fadmet une racine multiple.
1) Montrer que pgcd(f, f 0)6= 1.
2) En utilisant le fait que fest irréductible, en déduire que f0= 0.
3) Montrer qu’il existe un polynôme g∈F[X]tel que f(X) = g(Xp).
4) Montrer qu’il existe h∈F[X]tel que f(X)=(h(X))p.
[On utilisera le morphisme de Frobenius x7→ xp.]
5) Conclure.
Polynômes cyclotomiques
Exercice 3 Soit nun entier naturel. On note Φnle n-ème polynôme cyclotomique. L’objectif de l’exercice
est de démontrer que Φnest irréductible sur Q. On rappelle que si on note Un⊂Cl’ensemble des racines
n-èmes de l’unité et Pn⊂Unl’ensemble des racines n-èmes primitives, alors
Φn(X) = Y
ω∈Pn
(X−ω)∈Z[X].
Soit Pun facteur irréductible unitaire de Φnsur Qet Q= Φn/P .
1) Rappeler pourquoi Pet Qsont à coefficients entiers.
2) Soit ω∈Cune racine de Pet pun nombre premier tel que p-n. L’objectif de cette question est de
montrer que ωpest encore racine de P. On suppose par l’absurde que ωpn’est pas racine de P.
(a) Montrer que ωpest racine de Q.
(b) Montrer que P(X)divise Q(Xp)dans Z[X].
1

(c) On note Pet Qla réduction modulo pde Pet Q. Soit Kun corps de décomposition de Psur
Z/pZet α∈Kune racine de P. Montrer que αest racine de Q.
(d) En déduire que αest racine double du polynôme Xn−1∈Z/pZ[X].
(e) Obtenir une contradiction.
3) Soit ω∈Cune racine de Pet kun entier premier avec n. Soit k=p1···prsa décomposition en
facteurs premiers. Montrer que ωkest encore racine de P.
4) Conclure que P= Φn.
Groupe de Galois d’une extension
Exercice 4 (de cours) Le groupe de Galois d’une extension F⊂Eest défini par
Gal(E:F) := {θ:F7−→ F|θest un ismorphisme et θ(a) = apour tout a∈F}.
1) Montrer que Gal(E:F)est un groupe.
2) Soit θ∈Gal(E:F). Si t∈Eest racine de P∈F[X]alors θ(t)est aussi racine P.
Exercice 5 On considère l’extension Q⊂Q(√2) et on pose G=Gal(Q(√2) : Q).
1) Soit θ∈G. Quelles sont les valeurs possibles de θ(√2) ?
2) Déterminer G.
Exercice 6 On considère l’extension Q⊂Q(√2, i)et on pose G=Gal(Q(√2, i) : Q). Soit θ∈G.
1) Quelles sont les valeurs possibles de θ(√2) ?
2) Quelles sont les valeurs possibles de θ(i)?
3) Déterminer G.
Exercice 7 On considère l’extension l’extension Q⊂Q(j, 3
√2) et on pose G=Gal(Q(j, 3 √2) : Q). Soit
θ∈G.
1) Quelles sont les valeurs possibles de θ(3
√2) ?
2) Quelles sont les valeurs possibles de θ(j)?
3) Déterminer G.
2