Feuille de Travaux Dirigés n 6

Université Francois Rabelais de Tours
Master de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 6
M1, Algèbre
Semestre 8
Corps finis
Exercice 1
1) Trouver tous les polynômes degré 4 irréductibles sur Z/2Z.
2) Soit P (X) = X 4 + X + 1 ∈ Z/2Z[X], L un corps de rupture de P sur Z/2Z et α une racine de P
dans L. Quel est le cardinal de L ? Donner une base de L sur Z/2Z.
3) Montrer que α est un générateur du groupe multiplicatif (L∗ , ×).
4) En utilisant l’automorphisme de Frobenius φ défini par φ(x) = x2 , déterminer explicitement tous les
sous-corps de L (c’est à dire expliciter leurs éléments en fonction de α).
5) Justifier que L contient un corps de rupture du polynôme X 2 + X + 1 sur Z/2Z et factoriser ce
polynôme dans L.
6) Montrer (par un argument de degré) que l’équation x3 + x + 1 = 0 n’a pas de solution dans L.
7) Montrer que si x ∈ L est racine de P alors φ(x) est racine de P . En déduire que L est un corps de
décomposition de P .
8) On considère maintenant le polynôme Q(X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Soit L0 un corps de rupture
de Q sur Z/2Z et θ une racine de Q dans L0 . Justifier que L et L0 sont des corps isomorphes.
9) Est ce que θ est un générateur du groupe multiplicatif (L0∗ , ×) ?
10) Vérifier que θ + θ2 est racine de P dans L0 . En déduire un isomorphisme de corps explicite entre L
et L0 .
Exercice 2 Soit F un corps fini de caractéristique p et soit f ∈ F[X] un polynôme irréductible. L’objectif
de cet exercice est de montrer que f est séparable, c’est-à-dire que f n’admet aucune racine multiple. On
procède par contradiction et on suppose que f admet une racine multiple.
1) Montrer que pgcd(f, f 0 ) 6= 1.
2) En utilisant le fait que f est irréductible, en déduire que f 0 = 0.
3) Montrer qu’il existe un polynôme g ∈ F[X] tel que f (X) = g(X p ).
4) Montrer qu’il existe h ∈ F[X] tel que f (X) = (h(X))p .
[On utilisera le morphisme de Frobenius x 7→ xp . ]
5) Conclure.
Polynômes cyclotomiques
Exercice 3 Soit n un entier naturel. On note Φn le n-ème polynôme cyclotomique. L’objectif de l’exercice
est de démontrer que Φn est irréductible sur Q. On rappelle que si on note Un ⊂ C l’ensemble des racines
n-èmes de l’unité et Pn ⊂ Un l’ensemble des racines n-èmes primitives, alors
Y
Φn (X) =
(X − ω) ∈ Z[X].
ω∈Pn
Soit P un facteur irréductible unitaire de Φn sur Q et Q = Φn /P .
1) Rappeler pourquoi P et Q sont à coefficients entiers.
2) Soit ω ∈ C une racine de P et p un nombre premier tel que p - n. L’objectif de cette question est de
montrer que ω p est encore racine de P . On suppose par l’absurde que ω p n’est pas racine de P .
(a) Montrer que ω p est racine de Q.
(b) Montrer que P (X) divise Q(X p ) dans Z[X].
1
(c) On note P et Q la réduction modulo p de P et Q. Soit K un corps de décomposition de P sur
Z/pZ et α ∈ K une racine de P . Montrer que α est racine de Q.
(d) En déduire que α est racine double du polynôme X n − 1 ∈ Z/pZ[X].
(e) Obtenir une contradiction.
3) Soit ω ∈ C une racine de P et k un entier premier avec n. Soit k = p1 · · · pr sa décomposition en
facteurs premiers. Montrer que ω k est encore racine de P .
4) Conclure que P = Φn .
Groupe de Galois d’une extension
Exercice 4 (de cours)
Le groupe de Galois d’une extension F ⊂ E est défini par
Gal(E : F ) := {θ : F 7−→ F | θ est un ismorphisme et θ(a) = a pour tout a ∈ F }.
1) Montrer que Gal(E : F ) est un groupe.
2) Soit θ ∈ Gal(E : F ). Si t ∈ E est racine de P ∈ F [X] alors θ(t) est aussi racine P .
√
√
Exercice 5 On considère l’extension Q ⊂ Q( 2) et on pose G = Gal(Q( 2) : Q).
√
1) Soit θ ∈ G. Quelles sont les valeurs possibles de θ( 2) ?
2) Déterminer G.
√
√
Exercice 6 On considère l’extension Q ⊂ Q( 2, i) et on pose G = Gal(Q( 2, i) : Q). Soit θ ∈ G.
√
1) Quelles sont les valeurs possibles de θ( 2) ?
2) Quelles sont les valeurs possibles de θ(i) ?
3) Déterminer G.
Exercice 7 On considère l’extension l’extension Q ⊂ Q(j,
θ ∈ G.
√
1) Quelles sont les valeurs possibles de θ( 3 2) ?
2) Quelles sont les valeurs possibles de θ(j) ?
3) Déterminer G.
2
√
3
2) et on pose G = Gal(Q(j,
√
3
2) : Q). Soit