Cours développement, factorisation

1
DEVELLOPEMENT, REDUCTION ET FACTORISATION
I) Développement et réduction :
1) Rappels:
a) Activité :
b) Propriété 1 :
Pour tous nombres relatifs a, b et k
k( a + b) = k × a + k × b = k a + k b
Exemple:
15
5
3
5
5
)
3
(
5
+
=
×
+
×
=
+
x
x
x
2
6
)
1
(
2
3
2
)
1
3
(
2
+
−
=
−
×
−
×
−
=
−
−
x
x
x
c) Propriété 2 :
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d
( a + b)( c + d ) = a × c + a × d + b × c + b × d
( a + b)( c + d ) = a c + a d + b c + b d
Exemple :
Développer et réduire les expressions suivantes :
a)
)
7
2
)(
3
(
)
(
A
−
+
=
x
x
x
b)
)
2
)(
4
3
(
)
(
B
+
+
−
=
x
x
x
d) Propriété 3 :
Pour tous nombres relatifs a, b et c
a + ( b – c) = a + b – c les signes de b et c sont conservés
a – ( b – c ) = a – b + c les signes de b et c sont changés
Exemple :
2
2
5
2
3
)
5
2
(
3
−
=
−
+
=
−
+
x
x
x
7
7
3
4
)
7
3
(
4
−
−
=
−
+
−
=
+
−
−
−
x
x
x
x
x

2
e) Exemples :
Développer et réduire les expressions suivantes :
a)
)
4
5
)(
1
3
(
)
2
7
(
4
)
(
A
+
−
+
+
−
−
=
x
x
x
x
b)
)
8
)(
3
4
(
)
5
6
)(
1
(
)
(
B
+
−
−
−
−
+
=
x
x
x
x
x
f) A connaître :
x
x
6
3
2
=
×
x
x
3
3
1
=
×
0
3
0
=
×
x
x
x
x
5
3
2
=
+
x
x
x
−
=
−
3
2
x
x
x
5
3
2
−
=
−
−
2
6
3
2
x
x
x
=×
2
6)3(2 xxx −=−×
2
6)3(2 xxx =−×−
22
4)2( xx =
g) Rappels sur les nombres relatifs:
Schéma
h) Remarque:
Développer signifie transformer un produit en somme .
2) Identité remarquables:
a) Activité:
b) Identités remarquables:
Pour tous nombres relatifs a et b
(a + b)
ଶ
= a
ଶ
+ 2ab + b
ଶ
(a − b)
ଶ
= a
ଶ
− 2ab + b
ଶ
(a + b)(a − b) = a
ଶ
− b
ଶ
c) Exemples :
Développer et réduire les expressions suivantes :
2
)3()(A += xx
2
)52()(B −= xx
)
2
)(
2
(
)
(
C
−
+
=
x
x
x
d) Remarque :
Attention,
(a + b)
ଶ
≠ a
ଶ
+ b
ଶ
et (a − b)
ଶ
≠ a
ଶ
− b
ଶ

3
II) Factorisation :
1) Factorisation par la méthode du facteur commun (apparent) :
a) Activité :
b) Propriété :
Pour tous nombres relatifs a, b et k
k × a + k × b = k( a + b)
k × a – k × b = k( a – b)
Exemples:
)
2
5
(
4
2
4
5
4
8
20
+
=
×
+
×
=
+
x
x
x
)
9
(
3
9
3
3
27
3
−
=
×
−
=
−
x
x
x
c) Méthode de factorisation :
Factorisons l’expression
)
2
)(
1
3
(
5
)
2
(
)
(
A
−
+
−
×
−
=
x
x
x
x
On recherche le facteur commun (apparent)
)
2
)(
1
3
(
5
)
2
(
)
(
A
−
+
−
×
−
=
x
x
x
x
On écrit ce facteur une seule fois et dans un deuxième facteur, on
écrit les termes restants en tenant compte de l’opération (addition
ou soustraction).
))
1
3
(
5
)(
2
(
)
(
A
+
−
−
=
x
x
x
On supprime les parenthèses à l’intérieur du deuxième facteur
)
1
3
5
)(
2
(
)
(
A
−
−
−
=
x
x
x
On réduit à l’intérieur du deuxième facteur
)
4
3
)(
2
(
)
(
A
+
−
−
=
x
x
x
Exemples:
Factoriser les expressions suivantes :
1)
xxx 48)(A
2
−=
2)
)
1
2
)(
5
(
)
5
(
3
)
(
B
+
+
−
+
+
−
=
x
x
x
x
3)
)
7
4
)(
2
3
(
)
1
)(
2
3
(
)
(
C
+
−
−
−
+
−
=
x
x
x
x
x

4
d) Remarques :
- Factoriser revient à transformer une somme en produit.
- On recherche le facteur commun le « plus grand » possible.
- Pour vérifier si une factorisation est correcte, on peut développer
le résultat et l’expression de départ et les comparer ensuite.
2) Factorisation à l’aide des identités remarquables :
a) Identités remarquables:
Pour tous nombres relatifs a et b
a
ଶ
+ 2ab + b
ଶ
= (a + b)
ଶ
(1)
a
ଶ
− 2ab + b
ଶ
= (a − b)
ଶ
(2)
a
ଶ
− b
ଶ
=(a + b)(a − b) (3)
b) Méthode de factorisation :
On recherche l’identité remarquable à utiliser :
 Si on a à factoriser uniquement deux termes : identité (3)
 Si on a à factoriser trois termes : identités (1) ou (2)
- Si tous les termes sont du même signe : identité (1)
- Si les termes sont de signes différents : identité (2)
On recherche la valeur de a et la valeur de b.
Puis on conclut en inscrivant la forme factorisée de l’identité remarquable
en remplaçant a et b par les valeurs trouvées.
c) Exemples :
Factoriser les expressions suivantes :
81
18)(A 1)
2
+−= xxx
49)(B 2)
2
−= xx
9124)(C 3)
2
++= xxx