Corrige 1 - IMJ-PRG

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master de Sciences et Technologies
Mention Math´ematiques et Applications
Sp´ecialit´e Education et Formation, Section CAPES, M1
Ann´ee 2011 - 2012
Alg`ebre et g´eom´etrie 1
Corrig´e d’interrogation de contrˆole continu
Mercredi 9 novembre 2011
1.Donner la d´efinition d’un sous-groupe et la d´efinition d’un isomorphisme de
groupes.
Soit (G, ·) un groupe. Un sous-groupe Hde Gest un sous-ensemble H⊂Gtel
que
(1) Hcontient l’´el´ement neutre ede G,
(2) Hest stable par multiplication : si h1et h2sont des ´el´ements de H, alors
h1·h2∈H,
(3) Hest stable par inversion : si h∈H, alors h−1∈H.
Soient Get G0deux groupes. Un morphisme (de groupes) de Gdans G0est
une application f:G→G0telle que, pour tous ´el´ements g1et g2dans G, on ait
f(g1g2) = f(g1)f(g2). Si un morphisme de groupes f:G→G0est bijectif, on dit
que fest un isomorphisme.
2.Soit Gun ensemble muni d’une op´eration interne ¦qui v´erifie les propri´et´es
suivantes :
–il existe un ´el´ement ede Gtel que, pour tout ´el´ement ade G, on ait
a¦e=a,
–pour tout ´el´ement ade G, il existe un ´el´ement a0de Gtel que
a¦a0=e,
–pour des ´el´ements quelconques a,bet cde G, on a
(a¦b)¦c=a¦(b¦c).
Montrer que (G, ¦)est un groupe.
Solution. Pour d´emontrer que Gest un groupe, il est suffisant de montrer que,
pour tout ´el´ement ade G, on a e¦a=aet a0¦a=e, o`u a0est un ´el´ement de G
tel que a¦a0=e.
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Montrons d’abord l’´enonc´e suivant : si aet bsont deux ´el´ements de Gtels que
a¦b=e, alors b¦a=e. Notons b0un ´el´ement de Gtel que b¦b0=e. On a
b¦a= (b¦a)¦e= (b¦a)¦(b¦b0) = b¦(a¦b)¦b0== (b¦e)¦b0=b¦b0=e.
Maintenant, soit aun ´el´ement quelconque de G, et soit a0un ´el´ement de Gtel
que a¦a0=e. D’apr`es le r´esultat d´emontr´e ci-dessus, on a a0¦a=e. De plus,
e¦a= (a¦a0)¦a=a¦(a0¦a) = a¦e=a.
Ceci d´emontre que Gest un groupe.
3.Consid´erons le groupe C∗des nombres complexes non nuls (l’op´eration interne
est la multiplication habituelle).
(a) Montrer que l’ensemble Udes nombres complexes de module 1est un sous-
groupe de C∗.
(b) Donner une description g´eom´etrique des classes (`a gauche et `a droite)mod-
ulo U.
Solution.
(a) On a les trois propri´et´es suivantes.
– L’´el´ement neutre 1 de C∗est de module 1, donc cet ´el´ement appartient `a
l’ensemble U.
– Si z1∈Uet z2∈U, on a |z1|= 1 et |z2|= 1, d’o`u |z1z2|=|z1||z2|= 1,
c’est-`a-dire, z1z2∈U.
– Si z∈U, on a |z|= 1, ce qui implique que |1
z|=1 |z|= 1, c’est-`a-dire, z∈U.
Par cons´equent, Uest un sous-groupe de C∗.
(b) Le groupe C∗est commutatif, donc, dans C∗, toute classe `a gauche modulo
Uest une classe `a droite modulo U(et toute classe `a droite modulo Uest une classe
`a gauche modulo U).
Pour deux nombres complexes non nuls z1et z2, on a z1U=z2Usi et seulement
si z1
z2∈U, c’est-`a-dire, si et seulement si |z1|=|z2|. Donc, les classes modulo U
sont les cercles (de rayons strictement positifs) de centre 0.
4.Soit Gun groupe fini dont le nombre d’´el´ements est pair. Montrer qu’il existe
un ´el´ement gde Gtel que g6=eet g2=e, o`u eest l’´el´ement neutre de G.
Solution. Supposons que, pour tout g∈Gdiff´erent de l’´el´ement neutre ede G,
on a g26=e. Dans ce cas, pour tout g∈Gdiff´erent de l’´el´ement neutre ede G,
on a g6=g−1. Donc, les ´el´ements de Gdiff´erents de eforment des paires, chaque
paire ´etant compos´ee d’un ´el´ement et de son inverse. Par cons´equent, le nombre
d’´el´ements de Gdiff´erents de eest pair. Ceci contredit le fait que l’ordre de Gest
pair. Cette contradiction montre qu’il existe un ´el´ement gde Gtel que g6=eet
g2=e.