D Division, diviseur, dividende, division euclidienne, divisibilité

La division est certainement celle des quatre opérations qui a la plus forte connotation d’obstacle dans
les apprentissages. Elle est souvent évoquée par les adultes en formation comme une opération non
maîtrisée et pour laquelle la technique reste « mystérieuse ». Il y a sûrement confusion entre l’opération
de division et le calcul d’un quotient qui a été le centre d’intérêt pendant de nombreuses années.
De même que l’addition, la soustraction ou la multiplication sont des opérations, la division est également
une opération qui recherche un troisième nombre à partir de deux autres sachant que l’existence de ce
troisième nombre n’est pas toujours assuré.
La division n’a aucune existence en tant que telle mais se définit par rapport à la multiplication dont elle
est l’opération inverse. Par exemple, 54 peut être divisé par 9 parce qu’il existe un nombre 6 qui multiplié
par 9 donne 54. Les termes de diviseur (b), dividende (a) et quotient (q) permettent l’affirmation « qmul-
tipliant bou l’inverse » donne a.
Dans son dictionnaire de mathématiques élémentaires, Stella Baruk rappelle que les termes utilisés à
l’école primaire, auxquels s’ajoute le reste (r), définissent ce qu’on appelle la division euclidienne qui
n’est pas une opération au sens mathématique du terme. En effet, selon l’ensemble dans lequel on tra-
vaille, il ne reste rien et le quotient existe ou ce quotient n’existe pas, c’est-à-dire que la technique de la
division ne nous a pas permis d’avoir un reste égal à 0.
Cela permettra également de dire si une division est définie ou pas. Par exemple, la division de 35 par
7 dans l’ensemble des naturels est définie, pas celle de 35 par 4, mais elle le sera dans l’ensemble des
décimaux. D’une manière générale, la division est toujours définie dans l’ensemble Q*(l’ensemble des
nombres rationnels sans le 0) ou dans l’ensemble R*(l’ensemble des nombres réels sans le 0). En effet,
la division par zéro n’est jamais définie, on dit qu’elle n’a pas de sens.
Les termes dividende et diviseur proviennent de « numerus dividendus » (nombre à diviser) et « numerus
divisor (nombre qui divise). Au fil du temps, « numerus » est tombé et il n’est resté que dividende et di-
viseur.
Concernant la divisibilité, un nombre entier naturel aest divisible par un entier naturel non nul bsi la di-
vision de apar bdonne un quotient entier et un reste nul.
Division-partition et division-quotition :
Dans une situation de partage, on parlera de division-partition. Exemple, partager équitablement 45 bon-
bons entre 6 enfants, c’est chercher le nombre de parts par enfant (ici le nombre de bonbons).
Dans une situation de regroupement, on parlera de division-quotition. Exemple, on désire faire des pa-
quets de 6 bonbons avec 45 bonbons. On cherche combien de parts il y aura (ici le nombre de paquets).
Pour introduire la division, il faut donc aborder les deux types de situations.
http://pernoux.pagesperso-orange.fr/division2.pdf
Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Stella Baruk, SEUIL
DDivision, diviseur, dividende, division euclidienne,
divisibilité, division quotition, division partition.
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