Nombre et fonction dérivée.

Première ES et S. Nombre et fonction dérivée.
Nombre et fonction dérivée.
I Nombre dérivé.
1 Dénition.
Soit f une fonction dénie sur I et a appartenant à I.
f est dérivable en a si
lim
h0
fah− fa
h
existe et est un réel (la limite n'est pas innie.)
Dans ce cas on note f ' a cette limite et on l’appelle le nombre dérivé de f en a.
lim
h0
fah− fa
h=f ' a
Remarque. On peut encore écrire
lim
xa
fx−fa
x−a=f 'a
( on remplace a + h par x )
2 Graphiquement .
Le plan est muni du repère
O , i , j.
A le point de la courbe représentative de f de
coordonnées
a , f a
et
Mah , f ah
un point mobile de la courbe.
fah− fa
h
est
le coe$cient directeur de la droite (AM) . Il y a une animation dans les cours de première. Voici un lien
mais je ne sais pas s'il fonctionne sur tous les ordinateurs : animation.
Quand M tend vers A la sécante tend vers une droite limite qui a un seul point commun avec la
courbe ( M et A sont confondus). Cette droite limite ( droite AC ) est appelée la tangente en A à la courbe.
Auteur Thierry Vedel page 1 sur 3

Première ES et S. Nombre et fonction dérivée.
Son coe$cient directeur est
f ' a,
limite du coe$cient directeur de la sécante quand h tend vers 0,
donc quand M tend vers A.
3 Propriété fondamentale.
Le nombre dérivé de la fonction f en a est le coecient directeur de la tangente à la courbe
représentative de f au point d'abscisse a.
Application.
Voir la construction de la tangente dans les cours de première.
II Fonction dérivée.
1 Dénition.
Soit I un intervalle de
Df
tel que f soit dérivable pour tout x de I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction f ' dénie par :
f ' :x > f′(x)
(nombre dérivé de f en x).
2 Fonctions dérivables.
Toutes les fonctions étudiées au lycée sont dérivables sauf les fonctions racine carrée en 0 et valeur
absolue en 0.
3 Formules de dérivation.
a Dérivée d'une fonction composée.
Les fonctions f et u sont dérivables sur des intervalles convenables ( de telle façon que f(u)
soit dérivable).
f°u
'=
fu
'=u' f 'u
Pratiquement.
Dans une formule de dérivation si on remplace la variable x par une fonction u il faut
multiplier la formule par u', fonction dérivée de u.
Exemples.
fx=x4
et
ux= x34x2
donc
gx= f°ux=x34x24
On peut écrire g sous la forme :
g=u4
f est la fonction « puissance 4 » sa dérivée est « 4 fois puissance 3 » donc
g'=4u' u3
u' x=3x28x
et
g' x=43x28xx34x2
On note ln la fonction qui s'annule en 1 et dont la dérivée est la fonction inverse.
lnx'=1
x
donc
ln u '=u'
u
Soit la fonction h dénie par
hx=ln x2
Soit
ux= x2
alors
u' x=2x
et
h=lnu
Auteur Thierry Vedel page 2 sur 3

Première ES et S. Nombre et fonction dérivée.
h' x=u ' x× 1
ux
et
h' x=2x1
x2=2
x
b Dérivées des fonctions usuelles.
f f ' f f '
k0
x1u u'
x2
2 x
u2
2u' u
x3
3x2
u3
3u' u2
x4
4x3
u4
4u' u3
xn
n xn−1
un
n u' un−1
x
1
2 x
u
u'
2 u
1
x
−1
x2
1
u
−u'
u2
1
x2
−2
x3
1
u2
−2u'
u3
1
xn=x−n
−n
xn1=−n x−n−1
1
un=u−n
−nu'
un1=−nu' u−n−1
ln x
1
x
ln u
u'
u
expx=ex
expx=ex
expu=eu
u' expu=u' eu
c Dérivées et opérations
somme :
uv
'=u'v'
produit par une constante :
ku
'=ku'
produit :
u v
'=u' vu v'
inverse :
1
u
'=−u'
u2
rapport :
(
u
v
)
'=u' v−uv '
v2
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