Nombre et fonction dérivée.

Première ES et S.
Nombre et fonction dérivée.
Nombre et fonction dérivée.
I Nombre dérivé.
1 Définition.
Soit f une fonction définie sur I et a appartenant à I.
f est dérivable en a si lim
h0
f  ah− f  a
existe et est un réel (la limite n'est pas infinie.)
h
Dans ce cas on note f ' a cette limite et on l’appelle le nombre dérivé de f en a.
f  ah− f  a
lim
= f ' a
h
h0
Remarque. On peut encore écrire lim
x a
f  x − f  a
= f '  a
x−a
( on remplace a + h par x )
2 Graphiquement .
Le plan est muni du repère O , i , j  . A le point de la courbe représentative de f de
f  ah− f  a
coordonnées a , f a et M ah , f  ah un point mobile de la courbe.
est
h
le coefficient directeur de la droite (AM) . Il y a une animation dans les cours de première. Voici un lien
mais je ne sais pas s'il fonctionne sur tous les ordinateurs : animation.
Quand M tend vers A la sécante tend vers une droite limite qui a un seul point commun avec la
courbe ( M et A sont confondus). Cette droite limite ( droite AC ) est appelée la tangente en A à la courbe.
Auteur Thierry Vedel
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Nombre et fonction dérivée.
Son coefficient directeur est
donc quand M tend vers A.
f '  a  , limite du coefficient directeur de la sécante quand h tend vers 0,
3 Propriété fondamentale.
Le nombre dérivé de la fonction f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentative de f au point d'abscisse a.
Application.
Voir la construction de la tangente dans les cours de première.
II Fonction dérivée.
1 Définition.
Soit I un intervalle de D f tel que f soit dérivable pour tout x de I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction f ' définie par :
f ' : x > f ′ (x ) (nombre dérivé de f en x).
2 Fonctions dérivables.
Toutes les fonctions étudiées au lycée sont dérivables sauf les fonctions racine carrée en 0 et valeur
absolue en 0.
3 Formules de dérivation.
soit dérivable).
a Dérivée d'une fonction composée.
Les fonctions f et u sont dérivables sur des intervalles convenables ( de telle façon que f(u)
'
'
 f °u  = f u  =u ' f ' u
Pratiquement.
Dans une formule de dérivation si on remplace la variable x par une fonction u il faut
multiplier la formule par u', fonction dérivée de u.
Exemples.
3
2
3
2 4
f  x =x 4 et u  x= x 4 x donc g x = f °u  x = x 4 x 
On peut écrire g sous la forme : g=u 4
3
f est la fonction « puissance 4 » sa dérivée est « 4 fois puissance 3 » donc g '=4 u ' u
u '  x =3 x 28 x et g'  x =43 x 2 8 x x 34 x 2 
On note ln la fonction qui s'annule en 1 et dont la dérivée est la fonction inverse.
1
u'
ln x ' =
donc  ln u  '=
x
u
2
Soit la fonction h définie par h  x =ln  x 
Soit u  x= x 2 alors u '  x =2 x et h=ln u
Auteur Thierry Vedel
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Première ES et S.
Nombre et fonction dérivée.
h '  x =u '  x ×
1 2
1
et h '  x =2 x 2 =
x
u  x
x
b Dérivées des fonctions usuelles.
f
f'
k
0
x
1
f
f'
u
u'
2x
u
2
2u' u
3
3 x2
u3
3 u ' u2
x4
4 x3
u4
4 u ' u3
x
2
x
xn
nx
n−1
u
1
x
2x
n
n u' u
n−1
u
u'
2 u
1
x
−1
2
x
1
u
−u '
u2
1
2
x
−2
3
x
1
2
u
−2 u '
3
u
1
=x −n
n
x
−n
=−n x −n −1
n1
x
1
=u−n
n
u
−n u '
=−n u ' u−n−1
n1
u
ln  x
1
x
ln u
u'
u
exp  x =e
x
exp  x =e
x
exp u=e
c Dérivées et opérations
somme :
'
 uv  =u 'v '
produit par une constante :
 u v  =u ' vu v '
inverse :
1 ' −u '
= 2
u
u
rapport :
Auteur Thierry Vedel
'
produit :
'
 k u  =k u '

u ' u ' v−u v '
=
v
v2
()
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u
u ' expu =u ' e
u