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Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce
E.Caudron
SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble
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Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]
20
18
16
14
12
10
8
x C
Ax
6
4
2
0
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
-2
B
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
x
-4
X
-4 -3 -2 -1 0
F(x)
14
7
2
-1
-2
1
-1
2
3
2
7
4
14
2
Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]
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18
16
14
12
10
8
x C
Ax
6
4
2
0
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
- 0,5
0
-2
B
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
x
-4
Points de la courbe
Abscisse des points
Pente de la tangente
A
3
6
B
0
0
C
-3
-6
x
2
3
Conclusion:
• Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une
fonction linéaire g définie par g(x) = 2.x
• Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la
fonction f ;Elle est notée f ’
f(x) = x² - 2
f’(x) = 2.x
• La pente de la tangente en un point de la courbe, d’abscisse
donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f
Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6
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Dérivées des fonctions usuelles
Fonctions
Fonctions dérivées
f(x)= a.x + b
f’(x) = a . x + b
f(x) = x²
f’(x)= 2 x ²
f(x) = x3
f’(x)= 3
f(x) =
1
x
x2
f’(x)= - 1
x2
5
f(x) = u(x) + v(x)
f(x) = a u(x)
f’(x) = u’(x) + v’(x)
f’(x) = a u’(x)
Exercices d’entraînement
6
Exercices d’entraînement
f(x) = x² + 5
f’(x) = 2.x
J(x) = - x² + 1
J’(x) = - 2.x
G(x) = 3x²
G’(x) = 3x 2.x = 6.x
H(x) = x3-1
H’(x) = 3x²
S(x) = 4x²-5x+2
S’(x) = 4x2x - 5 = 8x - 5
I(x) = -2x3+4x²-5x+7
I’(x) = -2x3x²+4x2x - 5 = -6x²+8x- 5
7
Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction
1.Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2x + 1 représentée ci-dessous
y
1
x
O
1
y
1
x
O
1
2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) :
X
Variations de
F(x)
-4
-1
0
2
3.Calculer F’(x),
la fonction dérivée de la fonction F(x)
F(x) = x² +2x + 1
F’(x) = 2x+2
4.Calculer :
F’( -4 ) = 2x(-4)+2 =-6
F’(-1) = 2x(-1)+2=0
F’(2) = 2x2+2 =6
F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 ,
F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et
F’(2) est appelé nombre dérivé en 2 .
6.Synthétiser dans un seul tableau
les deux tableaux précédents :
X
-4
Signe de F’ (x )
Variations de
F(x)
-1
-
0
2
+
9
9
0
DERIVÉES – BILAN

Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, et admettant une dérivée f’ sur I.
•Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I.
•Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I.
•Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I.
Une fonction atteint son extrema (maxima ou
minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ]
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